2019高三一轮复习数学试卷

2

选择题

OM

的最大值为MF一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。）1.已知抛物线y4x的焦点为F，O为原点，若M是抛物线上的动点，则A．33B．63C.233D．263x2y262.已知双曲线C:-2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=x，F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为双曲4b2线C上的一点，PF1:PF2=3:1，则PF1+PF2的值是()A．4B．26C.210D．6105x2y2

3.已知点P在以F1,F2为左右焦点的椭圆C:221(ab0)上，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足abQF1QP，若sinF1PQ15A．,53

5

，则该椭圆离心率取值范围是（13

12C．,52

）26

B．26,1262D．26,2

x2y2

4.已知点F为双曲线E:221(a,b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于M，N两点，若abMFNF，设MNF，且[,]，则该双曲线的离心率的取值范围是（126A．[2,2）6]2

B．[2,31]C．[2,26]D．[2,31]

5.已知F为抛物线C:y4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|4|DE|的最小值为A．36B．40C．1282

（）D．2082

x2y2

6.已知F是椭圆E:221(ab0)的左焦点，经过原点的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若ab|PF|2|QF|，且PFQ120，则椭圆E的离心率为（）高三文科数学限时训练（一）第-1-页，共4页A．13B．12C.33D．227.三棱锥PABC的底面ABC是边长为2的正三角形，顶点P在底面的射影为BC的中点，若该三棱锥的体积为1，则该几何体的外接球的表面积为()A.43B.83C.163D.2038.已知正三角形ABC三个顶点都在表面积为112的球面上，球心O到平面ABC的距离为23，则三棱锥OABC的体积为（A．23）C.24D．B．274213）9.设a,b是不同的直线，,是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（A．若ab,a,b，则b//C.若a，，则a//10.给出下列四个命题：B．若a//,，则D．若ab,a,b，则a①如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a//；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．411.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，H为EF的中点，沿AE,EF,FA将正方形折起，使B,C,D重合于点O，在构成的四面体AOEF中，下列结论中错误的是（．．A．AO平面EOF

）B．直线AH与平面EOF所成角的正切值为22C.四面体AOEF的外接球表面积为6D．异面直线OH和AE所成角为60

12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．642B．12C.442D．4高三文科数学限时训练（一）第-2-页，共4页第II卷

2

2非选择题

2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.）13.已知P(x,y)是抛物线y4x上的点，则(x3)(y2)x的最大值是14.给定双曲线C:x2

．2y2511，若直线l过C的中心，且与C交于M,N两点，P为曲线C上任意一点，若直.线PM,PN的斜率均存在且分别记为kPM,kPN，则kPMkPN

15.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点，ABE,BCF,CDG,ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起ABE,BCF,CDG,ADH，使得E,F,G,H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．16.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是①异面直线AB与CD所成角为90°；②直线AB与平面BCD所成角为60°；③直线EF∥平面ACD④平面AFD⊥平面BCD．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤.）17.如图，三棱锥ABCD的侧面△ABD是等腰直角三角形，BAD90，BDDC，BDC120，且AC2AB．（I）求证：平面ABD平面BCD；（II）若AB2，F、G分别是BC、AC的中点，求四面体ADFG的体积．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.高三文科数学限时训练（一）第-3-页，共4页19.（12分）在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．⑴证明：平面ACD⊥平面ABC；⑵Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=2DA，求三棱锥Q-ABP的体积．320.（12分）设抛物线C：y2=2x，点A(2,0)，A(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．⑴当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；⑵证明：∠ABM=∠ABN．x2y213

21.在平面直角坐标系中，椭圆C：221(ab0)的离心率为，点M(1,)在椭圆C上．22ab

（1）求椭圆C的方程；（2）已知P(2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．22.（本小题满分12分）已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l:ykxm与曲线C相交于A,B两点（A,B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,求证：直线l过定点,并求出定点的坐标.高三文科数学限时训练（一）第-4-页，共4页5,虚轴长为2.2

2018～2019学年第一学期第1周限时训练高中三年数学（文科）科试卷参考答案

1.C2.C3.A4.D5.A6.C7.D8.C9.C10.C11.D12.D13.22114.50035115.16.①③④272

17.证明：（I）如图，取BD中点E，连结AE、CE，1分因为△ABD是等腰直角三角形，所以AEBD，·····································································································2分设ABa，则BDCD2a，················································································3分在△CDE中，由余弦定理得：CE2(2227a)(2a)22a2acos120a2，······················································4分2222a，2因为AC2AB2a，AE所以AC2AE2CE2，即AECE，·········································································5分又AEBD，BDCEE，所以AE平面BCD，所以平面ABD平面BCD；····················································································6分（II）因为G是AC的中点，所以△AFG与△CFG的面积相等，···························7分过点G作GHCE，垂足为H，因为AECE，所以GH//AE，·······························8分由（I）知：AE平面BCD，所以GH平面BCD，且GH所以四面体ADFG的体积：VADFGVGCDF1VABCD··························································································10分41AE，······················9分2111(22)2sin1202·················································································11分4326．··············································································································12分6高三文科数学限时训练（一）第-5-页，共4页18.（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得APAD2PD25，故cosDAP所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5.5AD5.AP5（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DFCD2CF225,在Rt△DPF中，可得sinDFP所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为19.解：5.5PD5.DF5（1）由已知可得，BAC=90°，BA⊥AC．又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32．又BPDQ2DA，所以BP22．3高三文科数学限时训练（一）第-6-页，共4页1作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC．3由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥QABP的体积为111VQABPQES△ABP1322sin451．33220.解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．11所以直线BM的方程为y=x1或yx1．22（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．yk(x2),2由2得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．ky2x,直线BM，BN的斜率之和为kBMkBNy1y2xyxy2(y1y2)．①2112x12x22(x12)(x22)将x1y1y2，x222及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得kk2y1y24k(y1y2)880．kkx2y1x1y22(y1y2)所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．21.（1）∵c1

，∴a2c，a2

x2y2

椭圆的方程为221，4c3c将(1,)代入得32192

，∴c1，122

4c12c

x2y2

∴椭圆的方程为1．43x2y2

1,

（2）设l的方程为xmy1，联立43xmy1,

消去x，得(3m4)y6my90，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，有y1y2

2

2

6m9

，，yy12223m43m4高三文科数学限时训练（一）第-7-页，共4页121m212(1m2)

有|AB|1m，

3m243m24

2点P(2,0)到直线l的距离为31m12，点Q(2,0)到直线l的距离为1m2，112(1m2)4241m21

从而四边形APBQ的面积S（或S|PQ||y1y2|）2223m243m421m令t1m，t1，224t1124

，设函数，f(t)3tf'(t)30，所以f(t)在[1,)上单调递增，2213t13tttt

124t24有3t4，故S26，t3t13t1

t

有S

所以当t1，即m0时，四边形APBQ面积的最大值为6．10x2

22.（1）y21（2）,0

34

x2y2c5试题解析：（1）设双曲线的标准方程为221a0,b0,由已知得,2b2,又a2b2c2,解aba2x2

得a2,b1,所以双曲线的标准方程为y21.4高三文科数学限时训练（一）第-8-页，共4页ykxm222

14kx8mkx4m10,有（2）设Ax1,y1,Bx2,y2,联立x2,得2

y14

64m2k21614k2m2108mkm24k222

0,y1y2kx1mkx2mkx1x2mkx1x2m,以x1x22214k14k

4m21x1x20214k

AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D2,0,kADkBD1,即2

y1y2m24k24m116mk1,y1y2x1x22x1x240,40,222x12x2214k14k14k3m216mk20k20,解得m2k或m

已知矛盾；当m

10k

.当m2k时,l的方程为ykx2,直线过定点2,0,与3

1010k10

时,l的方程为ykx,直线过定点,0,经检验符合已知条件,所以直线l过定333

点,定点坐标为

10

,0.3

考点：双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.高三文科数学限时训练（一）第-9-页，共4页