高三数学复习试卷

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡应位置上．．． 相．．．．．．

1.已知集合 A  {1, 0, 2} ， B  {1,1, 2} ，则 A  B .

2. 已知复数 z 满足(1  i) z  2i ，其中i 是虚数单位，则 z 的模为

.

3. 某校高三数学组有 5 名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积

分依次为 35,35,41,38,51,则这 5 名党员教师学习积分的平均值为

4. 根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为

.

.

a5. 已知等差数列{a } 的公差d 不为 0，且a ，a ，a 成等比数列，则 1

1 2 4 n

d

的值为 .

6. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的

概率为 .

7. 在正三棱柱 ABC  A1 B1C1 中， AA1  AB  2 ，则三棱锥 A1  BB1C1 的体积为

3

6

.

8. 已知函数 f (x)  sin(x  ) ( 0) ，若当 x  时，函数 f (x) 取得最大值，则的

最小值为 .

9. 已知函数 f (x)  (m  2)x 2  (m  8)x (m  R) 是奇函数，若对于任意的 x  R ，关于 x

的不等式 f (x2 +1)  f (a) 恒成立，则实数a 的取值范围是

10. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A, B 分别在双曲线C : x2  y2  1 的两条渐近

.

线上,且双曲线 C 经过线段 AB 的中点，若点 A 的横坐标为 2，则点 B 的横坐标为

.

11. 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,

例如.地震时释放出的能量 E(单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为

lg E  4.8  1.5M .2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震,它释放出来的能量是 2019

年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的 倍.

.

 12. 已知ABC 的面积为 3，且 AB  AC ，若CD  2DA ，则 BD 的最小值为

1

2 2

13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C : x2  y2  2x  y  a  0 相 1 : x y 8 与圆C 2

交于 A, B 两点，若圆C1 上存在点 P ，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值 组成的集合为

.

|| x 1| 1|, x  0  

，若关于 x 的方程 f 2 (x)  2af (x)  1  a2  0 有五个



, x  0  x  1

14. 已知函数 f (x)  x

不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .

二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答．．．．．．．时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 14 分）

如图，在三棱锥 P  ABC 中， PA  平面 ABC ， PC  AB ， D, E 分别为 BC, AC 的中点.

求证：（1） AB∥平面 PDE ；

（2）平面 PAB  平面 PAC .

16.（本小题满分 14 分）

在ABC 中，已知 AC  4 ， BC  3 ， cos B   .

4 1

（1） 求sin A 的值.

 （2） 求 BA  BC 的值.

2

17.（本小题满分 14 分）

x2 y2

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : 2  2  1 (a  ，两条准线 b  0) 的焦距为 4

ab

间的距离为 8，A,B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。(1)求椭圆 E 的标准方程:

(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC=4，点 M,N 分别在边 BC,CD 上，AM 与 BN 相交于第一象限内的点 P.

①若 M,N 分别是 BC,CD 的中点，证明:点 P 在椭圆 E 上; ②若点 P 在椭圆 E 上，证明:

BM

为定值，并求出该定值.

CN

18.（本小题满分 16 分）

在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图,小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为a 的正三角形

2ABC 绕其中心 O 逆时针旋转  到三角形 A B C ， 且 (0, 顺次连结 

A,A1,B,B1,C,C1,A,得到六边形徽标 AA1BB1CC1.



(1) 当 时,求六边形徽标的面积；

6

1 1 1

)3

(2) 求六边形微标的周长的最大值.

3

19.（本小题满分 16 分）



1  (1)n

an1 ( R) . 已知数列{an } 满足： a1  1 ，且当n  2 时， an  2

（1）若 1 ，证明：数列{a2n1} 是等差数列； （2）若 2 .

①设b  a + ，求数列{b } 的通项公式；

n

3

1 2n

 a ，证明：对于任意的 p, m  N * ，当 p  m ，都有C ②设C  C . i n p m n

n  3 i 1

2

n 2n

20.（本小题满分 16 分）

设函数 f (x)  (ax   a)e x (a  R) ，其中e 为自然对数的底数.

x 1

（1） 当a  0 时，求函数 f (x) 的单调减区间；

（2） 已知函数 f (x) 的导函数 f '(x) 有三个零点 x1 , x2 , x3 (x1  x2  x3 ) .

①求a 的取值范围；

②若m1 , m2 (m1  m2 ) 是函数 f (x) 的两个零点，证明： x1  m1  x1  1 .

4

附加题（40 分）

21．【选做题】本题包含 A、B、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4—2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）

a

2 2 的属于特征值 3 的一个特征向量. 已知a, b  R ，向量 是矩阵 A      

2 b 1  



（1） 求矩阵 A；

（2） 若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P '(2, 2) ，求点 P 的坐标.

B．[选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）

x  3 2  t 

在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程（ t 为参数），椭圆 t

y   2

x  2 cos

C 的参数方程为C P l

（为参数） ，求椭圆 上的点 到直线 的距离的最大

y  sin



值.

C．[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）

已知a,b, c 都是正实数，且    1 . 证明：（1） abc  27 ；

1 1 1

a b c

b c a（2） 2  2  2  1 .

abc

5

第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分 10 分）

如图，在直四棱柱 ABCD  A1 B1C1 D1 中，AD∥BC ，AB  AD ，AB  AD  AA1  2BC  2 .

（1） 求二面角C1  B1C  D1 的余弦值；

（2） 若点 P 为棱 AD 的中点，点Q 在棱 AB 上，且直线 B1C 与平面 B1 PQ 所成角的

正弦值为

4 5

，求 AQ 的长. 15

23.（本小题满分 10 分）

一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只.现从口袋中先后有放回地取球2n 次(n  N*) ，且每次取 1 只球.

（1） 当n  3 时，求恰好取到 3 次红球的概率；

 X , X 为奇数（2） 随机变量 X 表示2n 次取球中取到红球的次数，随机变量Y  ，

0, X 为偶数 



求Y 的数学期望（用n 表示）.

6