2015-2016学年四川省广安市岳池县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分．四个选项中只有一个选项是正确的． 1．下列成语故事中所描述的事件为必然发生事件的是（ ） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．拔苗助长 D．守株待兔
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．正三角形 D．圆
3．一元二次方程x2﹣4x+1=0配方后可变形为（ ） A．C．（x﹣2）2=5 B．（x+2）2=5 （x﹣2）2=3 D．（x+2）2=3
4．若反比例函数y=的图象经过（﹣2，5），则该反比例函数的图象在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．如果一个正多边形的中心角是60°，那么这个正多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
6．若x2+mx+36是一个完全平方式，则m的值为（ ） A．6 B．±6 C．12 D．±12
7．抛物线y=x2﹣3x+4与x轴的交点个数为（ ） A．零个 B．一个 C．两个 D．三个
8．二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠BDC=40°（点D在⊙O上），则∠ACB=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
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10．如果a、b是两个不相等的实数，且满足a2﹣a=2，b2﹣b=2，那么代数式2a2+ab+2b﹣2015的值为（ ）
A．2011 B．﹣2011 C．2015 D．﹣2015
二、填空题：每小题3分，共18分．
11．点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是 ．
12．抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为 ．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14． 在半径为2cm的⊙O中，弦AB的长为2cm，则这条弦所对的圆周角为 ．
15．布袋中有红、黄、蓝三种不同颜色的球各一个，从中先摸出一个球，记录下颜色后不放回布袋，将布袋搅匀，再摸出一个球，这时摸出的两个球是“一红一黄”的概率为 ．
16．如图，点A是反比例函数y=﹣的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P是x轴上的一个动点，则△ABP的面积为 ．
三、解答题：共23分．第17题5分，第18、19、20题各6分． 17．解方程：x2﹣16=2（x+4）．
18．先化简，再求值：（
19．如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=点．
（1）求k1和k2的值； （2）结合图象直接写出k1x+b﹣
＞0的x的取值范围．
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﹣）÷
，其中x为方程x2+x﹣3=0的根．
（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两
20．已知▱ABCD的一组邻边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣4x+m=0的两个实根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）在第（1）问的前提下，若∠ABC=60°，求▱ABCD的面积．
四、实践应用题：第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分．
21．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有2个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2．现从甲袋中随机抽取一个小球，将标有的数字记录为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，将标有的数字记录为y，确定点M的坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象上的概率． 22．某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售． （1）求平均每次下调的百分率；
（2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？
23．如图，将圆心角都是90°的扇形OAB和扇形OCD叠放在一起，连接AC、BD． （1）将△AOC经过怎样的图形变换可以得到△BOD？
（2）若的长为πcm，OD=3cm，求图中阴影部分的面积是多少？
24．张师傅准备用长为8cm的铜丝剪成两段，以围成两个正方形的线圈，设剪成的两段铜丝中的一段的长为xcm，围成的两个正方形的面积之和为Scm2． （1）求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
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（2）当x取何值时，S取得最小值，并求出这个最小值．
五、推理论证：9分．
25．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8cm，CD=2cm，求弦AE的长．
六、拓展研究：10分．
26．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．如果一条直线与果圆只有一个交点，则这条直线叫做果圆的切线．已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点，E为半圆的圆心，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AC为半圆的直径． （1）分别求出A、B、C、D四点的坐标； （2）求经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M，求△OBM的面积．
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2015-2016学年四川省广安市岳池县九年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分．四个选项中只有一个选项是正确的． 1．下列成语故事中所描述的事件为必然发生事件的是（ ） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．拔苗助长 D．守株待兔 【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，故A错误； B、瓮中捉鳖是必然事件，故B正确； C、拔苗助长是不可能事件，故C错误； D、守株待兔是随机事件，故D错误； 故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．正三角形 D．圆 【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误． 故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．一元二次方程x2﹣4x+1=0配方后可变形为（ ） A．C．（x﹣2）2=5 B．（x+2）2=5 （x﹣2）2=3 D．（x+2）2=3 【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形即可得到结果． 【解答】解：方程变形得：x2﹣4x=﹣1， 配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3． 故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．
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4．若反比例函数y=的图象经过（﹣2，5），则该反比例函数的图象在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【考点】反比例函数的性质．
【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数的值，然后根据反比例函数的性质确定其图象的位置即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过（﹣2，5）， ∴k=﹣2×5=﹣10＜0，
∴反比例函数的图象位于二、四象限， 故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式，并根据反比例函数的性质确定其图象的位置．
5．如果一个正多边形的中心角是60°，那么这个正多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可． 【解答】解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是60°， ∴这个正多边形的边数=
=6．
故选B．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．
6．若x2+mx+36是一个完全平方式，则m的值为（ ） A．6 B．±6 C．12 D．±12 【考点】完全平方式． 【专题】计算题．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【解答】解：∵x2+mx+36是一个完全平方式， ∴m=±12， 故选D
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．抛物线y=x2﹣3x+4与x轴的交点个数为（ ） A．零个 B．一个 C．两个 D．三个 【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】令y=0，则得到关于x的一元二次方程x2﹣3x+4=0，根据根的判别式判断有几个解就是该抛物线与x轴有几个交点．
【解答】解：当与x轴相交时，函数值为0．即x2﹣3x+4=0， △=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0， ∴没有实数根，
∴抛物线y=x2﹣3x+4与x轴没有交点，
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故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．
8．二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象．
【分析】利用排除法解决：首先由a=﹣1＜0，可以判定抛物线开口向下，去掉A、C；再进一步由对称轴x=﹣
=1，可知B正确，D错误；由此解决问题．
【解答】解：∵y=﹣x2+2x，a＜0， ∴抛物线开口向下，A、C不正确， 又∵对称轴x=﹣
=1，而D的对称轴是x=0，
∴只有B符合要求． 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，观察图象得到二次函数经过的点的坐标是解题的关键．
9．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠BDC=40°（点D在⊙O上），则∠ACB=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50° 【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A及∠ABC的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BDC与∠A是同弧所对的圆周角，∠BDC=40°， ∴∠A=∠BDC=40°． ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=90°﹣40°=50°． 故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
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10．如果a、b是两个不相等的实数，且满足a2﹣a=2，b2﹣b=2，那么代数式2a2+ab+2b﹣2015的值为（ ）
A．2011 B．﹣2011 C．2015 D．﹣2015 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．
【分析】先把a2=a+2代入2a2+ab+2b﹣2015中得到原式=2（a+b）+ab﹣2011，再利用a、b是两个不相等的实数，且满足a2﹣a﹣2=0，b2﹣b﹣2=0，则可把a、b看作方程x2﹣x﹣2=0的两根，根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a2﹣a=2， ∴a2=a+2，
∴2a2+ab+2b﹣2015=2a+4+ab+2b﹣2015=2（a+b）+ab﹣2011， ∵a、b是两个不相等的实数，且满足a2﹣a﹣2=0，b2﹣b﹣2=0， ∴a、b可看作方程x2﹣x﹣2=0的两根， ∴a+b=1，ab=﹣2，
∴2a2+ab+2b﹣2015=2（a+b）+ab﹣2011=2×1﹣2﹣2011=﹣2011． 故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
二、填空题：每小题3分，共18分．
11．点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是 （﹣3，2） ． 【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）， ∴点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
12．抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为 （﹣1，﹣4） ． 【考点】二次函数的性质． 【专题】探究型．
【分析】把抛物线化为顶点式的形式直接解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2+2x﹣3可化为：y=（x+1）2﹣4， ∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 故答案为：（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 13．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1且k≠0 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
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【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0， 解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0． 故答案为：k＜1且k≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 14． 在半径为2cm的⊙O中，弦AB的长为2cm，则这条弦所对的圆周角为 60°或120° ．【考点】垂径定理；圆周角定理． 【分析】首先根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，通过垂径定理，即可推出∠AOD的度数，求得∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠AMB和∠ANB的度数． 【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， ∵OA=2cm，AB=2cm， ∴AD=BD=2， ∴AD：OA=：2， ∴∠AOD=60°， ∴∠AOB=120°， ∴∠AMB=60°， ∴∠ANB=120°．
故答案为：60°或120°．
【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于根据题意正确的画出图形，运用圆周角定理和垂径定理认真的进行分析．
15．布袋中有红、黄、蓝三种不同颜色的球各一个，从中先摸出一个球，记录下颜色后不放回布袋，将布袋搅匀，再摸出一个球，这时摸出的两个球是“一红一黄”的概率为
．
【考点】列表法与树状图法． 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】解： 画树状图得：
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由树状图可知共有3×2=6种可能，一红一黄”的有2种，所以概率是=故答案为：．
，
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．如图，点A是反比例函数y=﹣的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P是x轴上的一个动点，则△ABP的面积为 2 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设A的坐标为（a，﹣），过A作AQ⊥OP，则三角形ABP中AB为底，AQ为高，利用三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：设A的坐标为（a，﹣），过A作AQ⊥OP，交OP点Q， ∴AB=a，AQ=，
则S△ABP=AB•AQ=a•=2． 故答案为：2．
【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是明白A的横坐标为三角形的底，A的纵坐标为底上的高．
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三、解答题：共23分．第17题5分，第18、19、20题各6分． 17．解方程：x2﹣16=2（x+4）．
【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】先把方程变形为（x+4）（x﹣4）﹣2（x+4）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（x+4）（x﹣4）﹣2（x+4）=0， （x+4）（x﹣4﹣2）=0， x+4=0或x﹣4﹣2=0， 所以x1=﹣4，x2=6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x为方程x2+x﹣3=0的根．
【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把方程x2+x﹣3=0变为x2+x=3整体代入进行计算即可． 【解答】解：原式=（
+
）×
=×
=x（x+1） =x2+x，
∵x为方程x2+x﹣3=0的根， ∴x2+x=3，
∴原式=x2+x=3． 【点评】此题考查分式的化简求值，掌握分式的化简方法以及整体代入的思想是解决问题的关键．
19．如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=点．
（1）求k1和k2的值； （2）结合图象直接写出k1x+b﹣
＞0的x的取值范围．
（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两
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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）先把A（1，6）代入y=
得到k2=1×6=6，再把B（3，a）代入y=得a=2，
则B点坐标为（2，3），然后利用待定系数法求一次函数的解析式，得到k1的值； （2）根据函数的图象结合A、B的坐标即可求得． 【解答】解：（1）∵直线y=k1x+b与反比例函数y=3）两点，
∴k2=1×6=6，3a=6，即a=2， ∴B点坐标为（2，3），
∵一次函数y=k1x+b的图象过A（1，6），B（2，3）两点， ∴
，
（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，
解得，
∴k1=﹣3，k2=6； （2）k1x+b﹣
＞0的x的取值范围为1＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式；求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标就是把两个图象的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．也考查了待定系数法．
20．已知▱ABCD的一组邻边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣4x+m=0的两个实根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）在第（1）问的前提下，若∠ABC=60°，求▱ABCD的面积．
【考点】菱形的判定与性质；根的判别式；平行四边形的性质． 【分析】（1）四边形ABCD是菱形时，AB=AD，由一元二次方程根的判别式=0即可求出m的值；
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（2）连接AC、BD交于点O，由一元二次方程的根求出AB的长，进一步利用菱形的性质和30°角的直角三角形的性质求得对角线的长，利用面积计算方法计算得出答案即可． 【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形时，AB=AD，
∵AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4=0的两个实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4m=0， 解得：m=4，
∴当m=4时，四边形ABCD是菱形 （2）如图，连接AC、BD交于点O，
当m=4时， x2﹣4x+4=0， 解得：x1=x2=2， 则AB=2，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠ABO=∠ABC=30°， D═2OB，AC=2OA，AC⊥BD， 在直角△AOB中， ∵∠ABO=30°， ∴OA=AB=1， 0B=，
BD=2OB=2， AC=2OA=2，
∴S菱形ABCD=BD•AC=×2×2
=2
．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，一元二次方程根的判别式；熟练掌握菱形性质，含30°角的直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
四、实践应用题：第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分．
21．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有2个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2．现从甲袋中随机抽取一个小球，将标有的数字记录为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，将标有的数字记录为y，确定点M的坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象上的概率． 【考点】列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题． 【分析】（1）画树状图可展示所有6种等可能的结果数；
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（2）根据二次函数图象上点的坐标特征可判断M（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象上的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，它们为（0，﹣1），（0，﹣2），（1，﹣1），（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2）；
（2）点M（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象上的结果数为2， 所以点M（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象上的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 22．某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售． （1）求平均每次下调的百分率；
（2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题． 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从500元下调到320列出一元二次方程求解即可；
（2）利用求得的百分率代入求解即可． 【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x． 由题意，得500（1﹣x）2=320．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意）， 符合题目要求的是x1=0.2=20%． 答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）预计第三次下调后的销售单价为320（1﹣20%）=320×0.8=256，
答：平均每次下调的百分比为20%，预计第三次下调后的销售单价为256元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
23．如图，将圆心角都是90°的扇形OAB和扇形OCD叠放在一起，连接AC、BD． （1）将△AOC经过怎样的图形变换可以得到△BOD？
（2）若的长为πcm，OD=3cm，求图中阴影部分的面积是多少？
【考点】旋转的性质；扇形面积的计算． 【专题】计算题．
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【分析】（1）根据旋转的定义求解；
（2）先利用弧长公式计算出OA=2，再根据旋转的性质得到△AOC≌△BOD，则S△AOC=S△BOD，接着根据S△AOC+S扇形COD=S△BOD+S扇形AOB+S阴影部分得到S阴影部分=S扇形COD﹣S扇形AOB，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵扇形OAB和扇形OCD的圆心角都是90°， ∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴将△AOC绕点O顺时针旋转90°可以得到△BOD； （2）∵
=π，
∴OA=2，
∵△AOC绕点O顺时针旋转90°可以得到△BOD， ∴△AOC≌△BOD， ∴S△AOC=S△BOD，
∵S△AOC+S扇形COD=S△BOD+S扇形AOB+S阴影部分， ∴S阴影部分=S扇形COD﹣S扇形AOB=
﹣
=π（cm2）．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线
段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形的面积公式．
24．张师傅准备用长为8cm的铜丝剪成两段，以围成两个正方形的线圈，设剪成的两段铜丝中的一段的长为xcm，围成的两个正方形的面积之和为Scm2． （1）求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当x取何值时，S取得最小值，并求出这个最小值． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）由题意可知：设其中一段长为xcm，则另一段长为8﹣xcm，根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积=（2）由函数的性质求得最值．
【解答】解：（1）设一段铁丝的长度为x，另一段为（8﹣x），则边长分别为x，（8﹣x），则S=
x2+
（8﹣x）（8﹣x）=x2﹣x+4；自变量的取值范围：0＜x＜8；
×周长×周长”列出面积的函数关系式；
（2）S=（x﹣4）2+2，
所以当x=4cm时，S最小，最小为2cm2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，列出关系式并整理成顶点式形式是解题的关键．
五、推理论证：9分．
25．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8cm，CD=2cm，求弦AE的长．
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【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和角平分线得出∠2=∠3，证出∴OC∥AD，再由已知条件得出CD⊥OC，即可得出结论；
（2）作OF⊥AE于F，则AF=AE，四边形OFDC是矩形，得出OF=CD=2定理求出AF，即可得出AE的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵OA=OC， ∴∠1=∠3，
∵AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴OC∥AD， ∵CD⊥AD， ∴CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：作OF⊥AE于F，如图2所示： 则AF=AE，四边形OFDC是矩形， ∴OF=CD=2
cm，
cm，由勾股
∵OA=AB=4cm， ∴AF=
∴AE=2AF=4．
=
=2，
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【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和垂径定理是解决问题的关键．
六、拓展研究：10分．
26．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．如果一条直线与果圆只有一个交点，则这条直线叫做果圆的切线．已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点，E为半圆的圆心，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AC为半圆的直径． （1）分别求出A、B、C、D四点的坐标； （2）求经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M，求△OBM的面积．
【考点】圆的综合题． 【分析】（1）连接DE，根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C的坐标，根据题意求出半圆的直径，根据勾股定理求出OD的长，得到点D的坐标；
（2）根据射影定理求出EF的长，得到点F的坐标，运用待定系数法求出经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）根据切线的性质得到经过点B的果圆的切线与抛物线只有一个公共点，根据一元二次方程的判别式解答即可求出点M的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）连接DE， ∵y=x2﹣2x﹣3， ∴x=0时，y=﹣3，
y=0时，x1=﹣1，x2=3， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）， ∵AC=4， ∴AE=DE=2， ∴OE=1， ∴OD=
=，
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∴D点的坐标为（0，）； （2）∵DF是果圆的切线， ∴ED⊥DF，又DO⊥EF， ∴DE2=EO•EF， ∴EF=4，则OF=3，
∴点F的坐标为（﹣3，0），
设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b， 则
，
解得．
∴经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=x+；
（3）设经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax+c， ∵点B的坐标为（0，﹣3），
∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax﹣3， 由题意得，方程组
只有一个解，
即一元二次方程x2﹣（a+2）x=0有两个相等的实数根， △=（a+2）2﹣4×1×0=0， 解得a=﹣2，
∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=﹣2x﹣3， 当y=0时，x=﹣，
∴点M的坐标为（﹣，0），即OM=， ∴△OBM的面积=×OM×OB=．
【点评】本题考查的是圆的切线的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系以及坐标与图形的性质，灵活运用相关的定理、数形结合思想以及方程思想是解题的关键．
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2016年3月8日
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