第19章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列图形中不是凸多边形的是( )
2．一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( ) A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．无法确定
3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝
AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为( )
A．40 B．24 C．20 D．15
4．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD C．AB∥CD，AD∥BC
D．AB＝CD，AD∥BC
5．如图，在Rt△ABC中， ∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是BC边上的一点，
作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值是( )
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
6．设四边形的内角和等于a，六边形的外角和等于b，则a－b等于( ) A．180° B．－180° C．0° D．360°
7．如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE＋∠CBD，
AC＝1，则BD必定满足( )
A．BD＜2 B．BD＝2 C．BD＞2 D．BD＝3
1
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边
作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是( )
A．∠ECD＝112.5° C．∠DEC＝30°
B．DE平分∠FDC D．AB＝2CD
9．如图，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF
＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( )
A． 7° B．21° C．23° D．24°
10．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD
于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE＝BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为5－1.其中正确的说法有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题(每题3分，共18分)
11．用正多边形镶嵌一个平面，若每个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，
则m＋n＝________．
12．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE
＝5 cm，则AD的长为________cm.
2
13．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则
线段BE的长为________．
14．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，
再一次折叠，使点D落到EF上G点处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为________．
15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边AB上一动点(不与A，B两
点重合)，过点E作EF⊥AB交对角线AC于点F，连接DF.当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于____________．
16．平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，若△AOB
是等腰三角形，则平行四边形ABCD的面积是__________________． 三、解答题(17～18题每题7分，19～20题每题8分，21题10分，22题12分，
共52分)
17．如果某个多边形的各个内角都相等，且它的每个内角比其外角大100°，那
么这个多边形的边数是多少？
3
18.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在AB上，点F在CD上，
EF经过点O.求证：四边形BEDF是平行四边形．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，
BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若DC＝5，AC＝2，求OE的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角
∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
4
21．操作与证明：如图，把一个含45°角的直角三角尺ECF和一个正方形ABCD
摆放在一起，使三角尺的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AC，AE，AF.其中AC与EF交于点N，取AF的中点M，连接MD，MN. (1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)请判断MD，MN的数量关系和位置关系，并给出证明．
22．在矩形ABCD中，AB＝CD＝6 cm，BC＝10 cm，点P从点B出发，以2 cm/s
的速度沿BC向点C运动，如图①.设点P的运动时间为t s.
(1)PC＝________cm(用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，△ABP≌△DCP？请说明理由；
(3)如图②，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度
沿CD向点D运动．是否存在这样的v，使△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
5
答案
一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7．A 点拨：∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB， 同理∠CBD＝∠CDB. ∵∠DBE＝∠ABE＋∠CBD， ∴∠DBE＝∠AEB＋∠CDB， ∴∠AED＋∠CDE＝180°， ∴AE∥CD.∵AE＝CD
，
∴四边形AEDC为平行四边形． ∴BC＝CD＝DE＝AC＝1. 在△BCD中，∵BD＜BC＋CD， ∴BD＜2.故选A.
8．C 点拨：∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°.∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°， ∴AD＝DC，∠ECD＝∠ACB＋∠ACD＝112.5°，故A正确；∵E，F分别是1
BC，AC的中点，∴FE＝2AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝45°，∠FEC1＝∠B＝67.5°.由F是AC的中点，∠ADC＝90°，AD＝DC，易知FD＝2AC，1DF⊥AC，∠FDC＝45°.∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠FDE＝∠FED＝2(180°11－∠EFD)＝2(180°－90°－45°)＝22.5°，∴∠FDE＝2∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确；∵∠FEC＝67.5°，∠FED＝22.5°，∴∠DEC＝∠FEC－∠FED＝45°，故C错误；∵∠ADC＝90°，AD＝DC，∴AC＝2CD.又∵AB＝AC，∴AB＝2CD，故D正确．故选C.
9．C 点拨：在矩形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，所以∠FEA＝∠ECD，
∠ACD＝90°－∠ACB＝69°.因为∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，∠AFC＝∠FAE＋∠FEA，所以∠ACF＝2∠FEA，所以∠ACD＝∠ACF＋∠ECD＝3∠ECD＝69°，所以∠ECD＝23°.故选C.
6
10．C 点拨：当点E与点C重合时，AG＝GE，故①错误；∵四边形ABCD为
正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∵BF⊥AE，∴∠BAG＋∠ABG＝90°.又∵∠ABG＋∠GBE＝90°，∴∠GBE＝∠BAG.在△ABE和△BCF中，
∠BAE＝∠CBF，∵AB＝BC， ∠ABE＝∠BCF，
∴△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，故②正确； 1
由题意知点G运动的轨迹是以AB为直径的4圆弧． 11
∵AB＝2，∴圆弧的长为4×2×π＝2π.故③错误． 当直线CG过AB的中点时，CG取得最小值． 此时CG＝5－1，故④正确． 二、11.3 12.10 13.5 14．60° 点拨：如图所示：
由题意易得∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°， 1
∴NG＝2AM，∴AN＝NG，∴∠2＝∠4. ∵EF∥AB，∴∠4＝∠3，
1
∴∠1＝∠2＝∠3＝3×90°＝30°，∴∠DAG＝60°.
15．3 2或3 点拨：①当AF＝AD＝6时，易知AF＝2AE，∴AE＝3 2；②
当AF＝DF时，△ADF是等腰直角三角形，∴AD＝2AF＝6，∴AF＝3 2.在等腰直角三角形AEF中，AF＝2AE，∴AE＝3；③当AD＝DF时，∠AFD＝45°，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意．综上所述，当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于3 2或3. 16．48或2455
点拨：①当OA＝OB时，如图①. ∵OA＝OB，∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD的面积是48；
7
②当AB＝AO＝OC＝6时，作AH⊥CB交CB的延长线于H，如图②. 设HC＝x.
∵AH2＝AB2－BH2＝AC2－CH2，
43455
∴62－(x－8)2＝122－x2，∴x＝4，∴AH＝4， 455
∴四边形ABCD的面积为8×4＝2455；
③当AB＝OB时，与②的解题过程类似，可得四边形ABCD的面积为2455. 综上所述，四边形ABCD的面积是48或2455.
三、17.解：设每个内角的度数为x，边数为n，则x－(180°－x)＝100°，
解得x＝140°.
∴(n－2)·180°＝140°·n，解得n＝9.即这个多边形的边数是9. 18．证明：在▱ABCD中，DC∥AB，OD＝OB，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.
∴△ODF≌△OBE，∴OF＝OE，∴四边形BEDF是平行四边形． 19．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB. ∵AB＝BC，∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
1
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝2AC＝1.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD＝CD2－OC2＝2，∴BD＝2OD＝4. ∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°. 1
∵OB＝OD，∴OE＝2BD＝2.
20．(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE， 1
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝2×180°＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．
8
(2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．证明如下：
由(1)知∠BAD＝∠DAC，四边形ADCE是矩形． ∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DCA＝45°， ∴DC＝AD. ∴四边形ADCE是正方形． 21．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠ADF＝90°.
∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形． (2)解：MD＝MN，且MD⊥MN.
证明：在Rt△ADF中， ∵M是AF的中点，∴DM＝1
2
AF.
∵EC＝FC，CA平分∠ECF，∴AC⊥EF，EN＝FN，∴∠ANF＝90°， ∴MN＝1
2AF，∴MD＝MN.
由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠FAD. ∵DM＝1
2AF＝AM，∴∠FAD＝∠ADM，
∴∠FMD＝∠FAD＋∠ADM＝2∠FAD.
∵AM＝FM，EN＝FN，∴MN∥AE，∴∠FMN＝∠EAF. ∵∠BAD＝∠EAF＋∠BAE＋∠FAD＝∠EAF＋2∠FAD＝90°， ∴∠DMN＝∠FMN＋∠FMD＝∠EAF＋2∠FAD＝90°， ∴MD⊥MN. 22．解：(1)(10－2t)
(2)当t＝2.5时，△ABP≌△DCP.
理由如下：
当t＝2.5时，BP＝2×2.5＝5(cm)，∴PC＝10－5＝5(cm)．∴BP＝PC.
中，AB＝DC，
在△ABP和△DCP∠B＝∠C＝90°
， BP＝CP，
∴△ABP≌△DCP(SAS)．
9
(3)存在．
①当△ABP≌△PCQ时，AB＝PC，BP＝CQ. 即10－2t＝6，2t＝vt.解得t＝2，v＝2. ②当△ABP≌△QCP时，AB＝QC，BP＝CP. 即vt＝6，2t＝10－2t.解得t＝2.5，v＝2.4. 综上所述，v＝2或2.4.
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