一、背景知识： 【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 一
位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营 A 出发， 先到河边饮马， 然后再去河岸同侧的军营 B 开会， 应该怎样走 才能使路程最短？这个问题的答案并不难， 据说海伦略加思索就解决了它． 从此以后， 这个 被称为“ 将军饮马 ”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移；
解题思路】找对称点，实现折转直
名叫海伦 ．一天，
、将军饮马问题常见模型
1. 两定一动型： 两定点到一动点的距离和最小 例 1：在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小， 即 PA+PB
最小 .
作法 ：连接 AB ，与直线 l 的交点 Q，
Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q 处，
PA+PB 最小，且最小值等于 AB.
原理： 两点之间线段最短。
证明：连接 AB ，与直线 l 的交点 Q，P为直线 l 上任意一点，
在⊿PAB 中，由三角形三边关系可知： AP+PB ≧ AB（当且仅当 PQ 重合时取﹦ ）
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例 2：在定直线 l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，
即 PA+PB 的和最小 .
关键：找对称点
作法：作定点 B 关于定直线 l 的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点， 即当动点
P跑到了点 Q处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC.
原理： 两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线 l的交点 Q，P为直线 l上任意一点， 在⊿PAC 中，由三角形三边关系可知： AP+PC≧ AC（当且仅当 PQ 重合时取﹦ ） 2. 两动一定型 例 3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周
长最短．
作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A'，作点 A 关于 ON 的对称点 A''，连接 A' A '，'与 OM 交于点
B，与 ON 交于点 C，连接 AB，AC ，△ ABC 即为所求．
原理： 两点之间，线段最短
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例 4：在∠ MON 的内部有点 A 和点 B，在 OM 上找一点 C ，在 ON 上找一点 D ，使得四边 形 ABCD 周长最短．
作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A'，作点 B 关于 ON 的对称点 B'，连接 A' B，'与 OM 交 于点 C，与 ON 交于点 D，连接 AC，BD，AB ，四边形 ABCD 即为所求． 原理： 两点之间，线段最短
3. 两定两动型最值
例 5：已知 A 、B 是两个定点， 在定直线 l 上找 两个动点 M 与 N，且 MN 长度等于定长 d（动
点M 位于动点 N左侧），使 AM+MN+NB 提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
的值最小 .
作法一： 将点 A 向右平移长度 d 得到点 A'， 作 A'关于直线 l 的对称点 A''，连接 A''B， 交直线 l 于
点 N，将点 N 向左平移长度 d， 得到点 M 。
作法二 ：作点 A 关于直线 l 的对称点 A1，将点 A1 向右平移长度 d 得到点 A2，连接 A2 B， 交直线 l 于
点 Q ，将点 Q 向左平移长度 d，得到点 Q。
原理： 两点之间，线段最短，最小值为 A''B+MN
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例 6： （ 造桥选址 ）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河
流的宽度为 30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
例 6： 直线 l1∥l2，在直线 l1 上找一个点 C，直线 l2上找一个点 D，使得 CD⊥l2, 且
AC ＋BD ＋CD 最短．
作法： 将点 A 沿 CD 方向向下平移 CD 长度 d 至点 A'，连接 A'B，交
l2 于点 D，过点 D 作 DC⊥l2 于点 C，连接 AC．则桥 CD 即为所
原理： 求．此时最小值为 A'B+CD 两点之间，线段最短，
4. 垂线段最短型 例 7：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B，
在 ON 上找一点 C，使得 AB ＋ BC
最短．
原理： 垂线段最短
点A 是定点， OM，ON是定线，
点 B、点 C 是 OM 、ON 上要找的点，是动点．
作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A'，过点 A'作 A'C⊥ ON，
交 OM 于点 B，B、C 即为所求。
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例 8：在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之差最小， 即 PA-PB 最小 .
作法： 连接 AB ，作 AB 的中垂线与 l 的交点，即为所求点 此时
|PA-PB |=0
原理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例 9：在定直线 l 上找一个动点 C，使动点 C 到两个定点 A 与 B 的距离之
差最大， 即 |PA-PB |最大
作法：延长 BA 交 l于点 C，点 C 即为所求，
即点 B、A、C 三点共线时，最大值为
原理： 三角形任意两边之差小于第三边
例 10：在定直线 l 上找一个动点 C，使动点 C 到两个定点 A 与 B 的距离
之差最大， 即|PA-PB | 最大
AB 的长度。
作法：作点 B关于 l 的对称点 B，连接 AB， 交交 l 于点 P 即为所求，最大值为 AB 的长度。 原理： 三角形任意两边之差小于第三边
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典型例题 三角形 1．如图，在等边△ ABC 中，AB = 6 ，AD⊥BC，
且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值
E 是 AC 上的一点， M 是 AD 上的一点，
A
C
BH ⊥AC 于点 H，
C
解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B ， 连接 BE，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最小， 过点 B 作
则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 在直角△ BHE 中， BE = BH2 + HE2
= (3 3)2 + 12 = 2 7
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