［摘要］:本文首先介绍了方阵A的最小多项式，进而给出了最小多项式 的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. ［关键词］:方阵；最小多项式;不变因子
Minimal polynomial of a square matrix and its applications
FENG Yu-xiang
(Class L Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)
Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui
［Abstract］ :The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four
methods of solution for the minimal polynomial are presented・ Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied・
［Keywords］ : squaie matrix; minimal polynomial; invariant operation
—、引言
文献［1］中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求 法.本文试图通过对文献［1］中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提 出一种新的求法•与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应 用，为最小多项式的应用提供了新的思想.
本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C上n阶方阵和多项式.
二、最小多项式的性质及求法
山哈密尔顿定理可知，对于一 n阶矩阵A , /(2) = |/t£-^|是人的特征多项 式，则 /\")
= A” 一(5
+ …+ …+(_l)”|4|E = 0,即就是任给数域 P
上的一个“级矩阵A,总可以找到数域P上的多项式f(x),使得/(A) = 0.如果 多项式于(对使得f(A) = 0 ,我们就称/(X)为矩阵A的零化多项式.X然A的零化 多项式很多的，于是我们有
1 /II
定义1设A e CWXH，次数最低的首项为1的A的零化多项式称为A的最小 多项式，记为TJZ).
最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1]设则
(1) A的任一零化多项式都能被屮.4(刃整除； (2) A的最小多项式出4(刃是唯一的； (3) 相似矩阵最小多项式相同. 2. 1由特征多项式求最小多项式
定理2[1]血是A的特征多项式零点的充分条件是心为A的最小多项式 出° (刃的零点.
证明：见参考文献[1].
推论1若\"阶方阵4的特征多项式被分解为不同的一次因式方幕的乘积：
/(2) = (A-21p (2 一九2严…(入-九$严,
其中人是A的相异的特征值，叫是特征值人的重数，且=儿则A的最小多
r-1
项式具有如下形式：
TA (2)=(兄一人屮(兄一儿)么…(兄一 &.)必，
其中％ < 7H, (/ = 1,2,- -,5)为正整数.
推论1实际上给出了山方阵人的特征多项式，求最小多项式的方法. 例1求矩阵
'2 1 1'
A= 1
2 1 1 1 2_
的最小多项式.
解：因为A的特征多项式为/(2) = (A-l)2(A-4),根据推论1便可知，A的
2/11
最小多项式有以下两种可能：
(兄一1)(兄一4) , (2 —1)~(A — 4)
3/11
由于
'1 1 f 1 1 1 1 1 1
・-2 1 1
1 -2 1 1 1 -2
0 0 o' 0 0 0
(A-E)(A-4E) =
= 0 0 0 =0
因此，A的最小多项式为(2-1)(2-4).
有时/(刃在分解时比较困难，但由推论1可知, A的最小多项式实质包含A 的特征多项式中的所有不同的一次因式之积, 故可先求出册丽
例2求矩阵
A =
的最小多项式.
-1 一3 3 一-3 -1 一 3 3 3 -3 -1 -3 一3 3 一3 一
2 + 1 3 一3 3 3 几+1 3 一
4=2 +4才 一48才-3202-512 解：\\AE-A\\ = 3 -3 3 兄+1 -3
一3 3 A +1
/(2) = 24 + 4才 一4822 一3202-512 广⑷=4(才 + 3才 _ 242
3
_ 80)
由辗转相除法求得(/(刃,广(刃)=才+82 + 16 于是
/(2)
_ 才 + 4才-4822 一3202-512
(/\")/\")) 22+82 + 16
二，一4兄一32二(兄 + 4)(几一8)
于是 /(2) =(2 + 4)3(A-8)
A的最小多项式有以下三种可能：
(A + 4)(几一8), (A + 4)~ (兄一8), (兄 + 4)' (A — 8)
4/11
而 (A + 4E)(A-8£) = 0,
因此A的最小多项式为(2 + 4)(2 -8).
2. 2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式
定理3［1］任意〃阶矩阵A都存在最小多项式T4(/l).
证明：参见文献［1］.
这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是: 第一步试解
A =
若能解出血，则人的最小多项式为
若A = A0E关于血无解，则做
第二步试解
A2 = 2()£ + 兄］E
若能解出血与则A的最小多项式为
T4(/l) = 22-A0-/l12
若不能解出心与仏，则做
第三步试解
A5 = A0£ + 21A +
若能解出心，入与则，则A的最小多项式为
若不能解出九，人与禺，则再做
第四步试解
A4 =20E + AIA + A2A2+A3A3
等等，直到求出儿(,=0」2…，〃小使矩阵方程成立为止(山哈密尔顿
5/11
凯莱定
理，这样的过程最多只有〃步即可终止） 这时用几代替A ,便得到所求最小项式TJ2）.
例2求矩阵
111-1 11-10 A = 0-111 -10 11
多
的最小多项式.
显然关于兄。无解. 解: (1)试解 A = ^E,
(2)试解 A2 =A^E + ^A
写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求血和 例如，比较第一行（3 ,
2 ,
0 ,
-1 ） ； AQE + A{A的第一行为
（+人,兄］9人,-人）9从而的方程组
入+人=3
2, = 2 = 0 .-A=-2
此方程组显然无解.
（3）试解
A3 = A^E + 人 A + A2A
2写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解心，人和久2,这可山此比较方程两边 第 一 列 ：
（6,7,-7,-7尸
； A.E + ^A + ^A2
的 第 一
列:（20 +人+ 3心人+ 22,,-222，一人一 2A）-1,得关于血，儿和12的方程组：
AQ + 人 + 3 兄2 = 6 Aj + 2 兄了 = 7 * -22, =-7
=-7
7
7
6/11
解此方程组得 Ao = ,
2
Aj =0,
1
入=—
\"2
因为对于上面解出的九，人和兄2,矩阵方程
A =-A--A2 2
成立.所以A的最小多项式为
T<(/l) = /l3--22+-
2 2
2. 3利用Jordan标准型求最小多项式
32 定理4［1］设矩阵A G ，则A的最小多项式可以山
屮、（兄）= （；［_入产（&_人）叭…（兄_&）心
给岀，其中/1（ = 12・“）是A的相异的特征根，d（ = 12・・“）是在A的Jordan
J中包含人的各分块的最大阶数.
证明：参见文献［1］.
推论2当A的所有特征值都相异时，A的最小多项式出iS）就是A的特征多 项式/(2) = A£-A.
山定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J 获得 .
例3求矩阵
0 2 0 A = 0 0 -1
0
0 0 1 -1 -1 0 2 1 0 0 0
0 0 0 0 2 0
-1 -1 0 0 0 2
0 2 0
0
0 0
的最小多项式.
解:lliA的特征多项式
F(2) =|AE-A| = (2-1)3(2-2F
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知A有两个不同的特征值：入=1,人=2 (均为三重的)•容易求得 rank(A-E) = 5 ,所以对于人=1的特征向量仅有一个，这表示对应的Jordan块 的数U是1•乂山于rank(A-2E) = 4,对应于22 = 2的特征向量有2个，因此对应 于入=2的Jordan块共有2块.故A的Jordan标准型为：
] ■
1 1 1
2 1 2
_ 2_
可见丿中包含人=1的块的阶数=3 ,包含2, =2的•/OMGH块的最大阶数 妁=2,因此4的最小多项式为：
出\") = (/1— 1)3(2 —2尸
2. 4利用不变因子求最小多项式
引理1 [4]人的最小多项式是A的初等因子的最小公倍式.
证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子•因此只要对A的若、勺标准 型矩阵丿证明即可•设
J ■
厶
，其中A = Js.
a 1 ■
A
现在对任一多项式/(几)有
并且工®= n.我们已知丿i的最小多项式是(2 - A,)'1',
/(人)」
因此/(7) = 0当且仅当/(£) = /(厶)=…=/(人)=0 •这就是说
8/11
乙〉是丿的化零多项式/(几)是人，丿2,…，人的化零多项式，进一步，
g(/l)是丿的最小多项式必须g(刃是人，厶，…，人的化零多项式,因此是的最小多
项式的公倍式；另一方面，这些人的最小多项式的任一公倍式必须是丿的化零多 项式，因而被g(/l)整除.故丿的最小多项式必须是人，厶，…，人的最小多项式,即 丿的初等因子“ -人)\"■(2 一兄2严…仏一九y的最小公倍式.
定理5[4] A的最小多项式恰为A的最后一个不变因子.
证明 曲于A的最后一个不变因子dn (2)具有性质(2)1 dn(2), 心1,2,…‘-1,所以
d，M 中 包含了人的初等因子所有互异的指数最高一次因式 的幕，它恰是A的全
部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.
例5证明
0 … 0
-1 2 0 … 0 0 -1 2 … 0
A(A) = • • • • • • ■ • • • • • • •
•
0 0 0 … A
0
5
0 0
■
0 ・・・兄+ q 一1
的不变因子是1,1,「1，/(2),其中/(几)=才+“#\"+ ••• + %/ + %
证明：因为人(刃的左下角的八-1阶子式为,所以久\")=1,于 是
D、(几)=D2 (2)=…=£)”_] (2)
将卜(刃|的第二，第三，…，第”-1行，第\"行分别各乘以入肌…,/巴才\"都加 至第一行上，依第一行展开即得：
D„(2) = |A(2)| = 2W + 绚
+ …-+线_区 + 锋
因此，AS)的不变因子是17二3，/(2).
山定理5可知，A的最小多项式实质为A的最后一个不变因子心(兄)，而
9/11
心(刃=召丄，其中Q(刃为A的\"阶行列式因子，故可得求A的最小多项式 Dn-lW 的方法.
例6 求矩阵
2
A(2)=
0 0 5
0 -1 2 3 0 0 -1 2 + 2
0 0 -1
=/+2 才+3才+4兄 + 5
0 0 -1 2 + 2
的最小多项式.
2 -1 0 0 2 -1 0 0 5 4
2 3
解：D4 =
-1 0
A(2)右上角有一个三级子式 2 -1
0 2
所以
=1,〃2 =14 =1皿4 =力+2加+3 护+42 + 5
所以4(2)的不变因子是1, 1, 1,才+2/+3才+4几+ 5,它的最小多项式为 才+2/+3才+4兄+ 5
三、最小多项式的应用
这一节我们将讨论最小多项式的一些应用
3. 1 求矩阵的高次專
例7已知
_
3 -10 -6_ A= 1
-4 -3 4
,求刀
00
-1 5
2解：/(2)=|2£?-A| = (2-1)3, lllA-E^O, f^(A-E) =0,知 A 的最
小多项式g\") = (2-1)2,所以A不能对角化.但我们有
10
/11
兀00 =（兄 一 1）%（刃 + （（以 + b）
用待定系数法 令2 = 1 , a + h = \\ ,对上式求导后再令 2 = 1 ,解得 a = 100, b = -99
因此，A100 = 100/\\-99£ =
3. 2
201 -1000 -600
100 -499 -300 100 500 300
判断矩阵是否可逆
例8设g(刃是矩阵A的最小多项式.力(刃是任意多项式，证明：加兄)可逆的 充要条件是(Zz(2),g(/l)) = l
证：若(/z(2),g(A)) = l,则存在 u(2),v(A),使
A(2)w(2) + g(2)v(2) = 1
于是A(2)w(A) = E，故|〃(A)|H0,从而加刃可逆. 反之,当/?(刃可逆时，设⑺(刃,g“)) = d(2), 于是
/1(A) = W(2)6/(2) , g(Q) = v(2)r/(2)
从而有 0 = g(A) = v(>4)d(A) , h(A) = u(A)d(A) (*)
因为\\h(A)\\ 0 ,所以|〃(A)|H0,即d(A)可逆，这就有等式(*)推出 v(A) = 0,并进一步得到
v(A) = g“)且 d“) = 1.
本文在文献［1］的基础上对最小多项式的求法做了总结和改进，并提出一些 新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幕和判断方阵可逆 上，以此达到理论与实践的良好结合. ［参考文献］
1. 夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法［J］,高等数学研究，2003 , 3 : 34- 39.
2. 杨子胥，高等代数习题解[M],山东:山东科学技术出版社「2001.
11
/11
3. 北京大学数学力学系，高等代数[M],北京：高等教育出版社，1988. 4. 刘玉森，苏仲阳主编，高等代数应试训练[M],北京:地质出版社,1995.
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