矩阵典型习题解析

矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!

知识要点解析

2.1.1 矩阵的概念

1．矩阵的定义

由m×n个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)组成的m行n列的矩形数表

a11a A21am1a12a22a1na2n amnam2称为m×n矩阵，记为A(aij)mn 2．特殊矩阵

（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；

（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）

三角阵；

（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；

（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设A(aij)mn;B(bij)mn

若 aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)，则称A与B相等，记为A=B。

2.1.2 矩阵的运算

1．加法

（1）定义：设A(Aij)mn,B(bij)mn，则CAB(aijbij)mn （2）运算规律

① A+B=B+A； ③ A+O=A

②（A+B）+C=A+（B+C）

④ A+（-A）=0， –A是A的负矩阵

2．数与矩阵的乘法

（1）定义：设A(aij)mn,k为常数，则kA(kaij)mn

（2）运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② (K+L)A=KA+LA,

③ (KL) A= K (LA)

3．矩阵的乘法

（1）定义：设A(aij)mn,B(bij)np.则

ABC(Cij)mp,其中Cijak1nikbkj

（2）运算规律

①(AB)CA(BC)；②A(BC)ABAC ③(BC)ABACA （3）方阵的幂

①定义：A(aij)n，则AkAA

K②运算规律：AmAnAmn；(Am)nAmn （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

①ABBA

②AB0,不能推出A0或B0;

③(AB)kAkBk 4．矩阵的转置

（1）定义：设矩阵A=(aij)mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为AT(aji)nm，

（2）运算规律

①(AT)TA; ③(kA)TKAT;

②(AB)TATBT； ④(AB)TBTAT。

（3）对称矩阵与反对称矩阵

若ATA,则称A为对称阵；

ATA，则称A为反对称阵。

5．逆矩阵

（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称

A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作BA1。

（2）A可逆的元素条件：

A可逆A0

（3）可逆阵的性质

①若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =A； ②若A可逆，k≠0，则kA可逆，且(kA)111A； k③若A可逆，则AT也可逆，且(AT)1(A1)T； ④若A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB)1B1A1。 （4）伴随矩阵

①定义：A*(Aij)Tn，其中Aij为aij的代数余子式， ②性质：

i）AA*A*AAE； iii）(A*)*An2 ii）A*A

n1；

A；

iv）若A可逆，则A*也可逆，且(A*)1(A1)*③用伴随矩阵求逆矩阵公式：A12.1.3 方阵的行列式

1*A A1A A1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫

做方阵A的行列式，记为A或detA。

2．性质：

（1）ATA，

（2）kAknA，

（3）ABAB，

（4）A11 A3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵

(1) 单位阵E：E1;E1E；

(2) 数量矩阵kE：kEkn;当k0时,(kE)1E (3)对角阵：

1*1k2,n则12n;

111若12n0，则12 1n4． 上（下）三角阵

a11设A*a22,则Aa11a22ann ann若A0，则A1仍为上（下）三角阵

2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换

①交换两行（列）；

②某行（列）乘一个不为零的常数k；

③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。

2．初等矩阵

（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；

交换i ,j两行（列），记为E(i, j)；

第i行（列）乘以不为零的常数k记为E(i(k))；

第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i； （2）初等矩阵的性质

初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵； 而[E(ij)]1E(ij)1[E(i(k))]1E(i)

k[E(j(k) i)]1E[j(k) i]

（3）方阵A可逆与初等阵的关系

若方阵A可逆，则存在有限个初等阵P1,P2,,Pt，使AP1P2Pt，

（4）初等阵的行列式

E(ij)1,E(i(k))k,E(j(k) i)1

（5）初等阵的作用：

对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且

E(ij)AA,E(i(k))AkA,E(j(k) i)A

3．矩阵的等价

（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价， （2）A与B等价的三种等价说法，

①A经过一系列初等变换变到B；

②存在一些初等阵E1,,Es,F1,,Ft，使得EsE1AF1FtB ③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B

2.1.5 分块矩阵

1．分块矩阵的定义

以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2．分块矩阵的运算

（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有

A11A A21As1A1tA2tAstB11BB21Bs1B1tB2t Bst则

AB(AijBij)(i1,2,,s;j1,2,,t)

（2）kA(kAij)(i1,2,,s;j1,2,,t)

（3）设A(aij)mn,B(bij)np,分块成

A11 AAs1A1tAstB11BBt1B1r Btr其中Ai1,Ai2,,Ait的列数分别等于B1j,B2j,,Btj的行数，则

ABC(cij)sr，其中cijAk1tikBkj(i1,2,3,,s; j1,2,,r)

3．准对角阵 （1）定义：形如

A1AA2 Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。 As（2）准对角阵的行列式及逆矩阵

A1设AA2则AA1A2As；若每个Ai可逆，则A可逆，，As且

A11 1AsA11A2（3）特殊的准对角阵

A1（i）A（ii）AA2A111，若A1, A2可逆，则AA2A11，若A, A可逆，则A12A11D是B0,C0,则ABC0 C 1A21A2 （iii）ABO且

B1A01B1DC1 1C（iv）AB0,B0,C0，则 DCB10AC1DB1C1

1 经典题型解析

2.2.1 矩阵的运算

1L21、若2L1L c1152L1=c1c1LbL23L122则c= 解：由41a5得a=0, c11=4 而-1+2b+6=-1得b=-3, c22=-7

45 从而 c=

17 提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。

12（A）____. 2、设A为三阶矩阵，且A4,则2121211 解：（A）AgA2

2444易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错

12（A）误就是对矩阵进行行列式计算时，把的阶数给忘记计算。 233、设A为33矩阵，B为44，且A1则BA___. ，B2，解：BABA2g18.

3易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时

BABA2g12是我们常犯的错误。

34、设A1L2L3，B1L1L1，则ATB___.

k解：ATBATBgATBATBAT(BAT)(BAT)(BAT)B

k11L1L1 6k121L1L6k12L2L2.

33L3L31易错提示：本题关键是要求我们注意到ATB是矩阵，但BAT=1L1L12=63却是数，

1L1L11L1L1倘若先计算ATB2L2L2，然后再求2L2L2，则计算式相当繁琐的。

3L3L33L3L3k1L0L1n5、设A0L1L0，求A.

0L0L1解：

方法一：数学归纳法.

1L0L11L0L2 因为A0L1L0，A2AgA0L1L0，

0L0L10L0L11L0L3A3A2gA0L1L0，

0L0L11L0Ln1 一般的，设An-10L1L0，

0L0L11L0Ln11L0L11L0Ln则AnAn1gA0L1L00L1L00L1L0.

0L0L10L0L10L0L11L0Ln所以，有归纳法知An0L1L0。

0L0L1个A64n748n方法二：因为A是初等矩阵，AEgAgAA，相当于对单位矩阵

1L0L0E=0L1L0，施行了n次初等列变换（把第一列加到第三列），故0L0L11L0LnAn0L1L0。

0L0L1方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。

1L0L11L0L00L0L1 令 A=0L1L00L1L00L0L0EB，

0L0L10L0L10L0L00L0L1其中B0L0L0，

0L0L00L0L10L0L10L0L0又因为B20L0L00L0L00L0L0，所以BkO(k2)。

0L0L00L0L00L0L01L0Ln故有 AnEnngEn1BEnB0L1L0.

0L0L1提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少，读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。

3086、设矩阵A316，求A1002A50。

2053L0L8解：A的特征多项式f()EA3L1L6(1)(1)2，

2L0L5则f()有根1，-1（二重）。

若设g()=100250，那么所求A1002A50g(A)， 而

dg()10010049， d由代数学中的整除性质，q(),st g()=q()f()a2bc，

-1=1100-2150=g(1)=q(1)f(1)abcabc，10050 2-1）q(-1)f(1)abcabc，-1=（-1）（dg()0=-100+100=（1）2ab,d解之得：a=b=0,c=-1。

所以，g()=q()f()1，从而A1002A50g(A)=q(A)f(A)EE。 点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习惯。

207、设A00100200，求An。 039013B02139BC，其中，0213 0Cn解：由分块矩阵知ABn∴ A00 nC又 B20012EP 0200∴ Bn2EPn(2E)nn(2E)n1P

2n 0n2n1 n2n3939n139而的秩为1，有6131313

2n0从而An00n2n12n000036n16n10 n19636n10

2.2.2 矩阵的逆（逆矩阵）及其运用

1、设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，A解：因为A*AA11-11（A）8A* ，计算3811A，所以81-11（A）8A*3A1A12A12364。 3A易错提示：切记将2提出时应为2k，其中k为该矩阵的阶数。 2、已知矩阵A满足关系式A22A3EO，求A4E。 解：因为OA22A3EA+4EA-2E+8E-3E

12 A4EA-2E5EA4EEAE，

55-1 A4E-121EA. 55思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。

3、设n阶可逆矩阵A1,2,n，i为n维列向量（i=1,2,…n）, 为n维非零列向量，且与1,2,n1均正交， 则B1,2,n1,可逆。

解：要证明矩阵B可逆，我们这里只需要证明向量组1,2,n1,线性无关

即可。

为此，我们令：

k11k22kn1n1kn0， 两边同乘以T，即

k1T1k2T2kn1Tn1knT0， QTi0，（i=1,2,…n-1）且T0

knT0

我们可以得出kn0，那么即得：k1T1k2T2kn1Tn10， 又QA是可逆矩阵，

 1,2,n1线性无关。

从而我们有k1=k2==kn=0，即证明了1,2,n1,线性无关， 同时也就说明了矩阵B1,2,n1,是可逆矩阵。

思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于mn矩阵A，我们可以把其每一列看作一列向量（记为1,2,n），则

A=（1,2,n），这就很形象的转化为线性方程组问题了，而A=（1,2,n）可逆向量组1,2,n线性无关。

4、设A为n阶实矩阵，若A+AT为正定矩阵，则A为可逆矩阵。 证明：用反证法

假设A为不可逆矩阵，

则n维列向量X00，使得AX00，

TA+AT）X0X0TAX0X0TATX0X0T(AX0)(AX0)TX0 而对于X0（ =X0T00TX00，

TAAT）X00， 从而我们知存在X00，使得X0（ 但这与A+AT为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，

这也就说明了A为可逆矩阵。

点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很

多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵A是正定矩阵，我们应掌握以下几个等价定理：

(1)定义法（最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的的）；

(2)来说明A的所有特征值全部都大于零；

(3)来说明A的所有顺序主子式都大于零（这种方法再给出具体的矩阵表

达形式时较常用）;

(4)存在可逆矩阵P，使得A=PTP; (5)存在正交矩阵S，使得A=S2;

1K(6)存在正交矩阵Q，使得QTAQQ-1AQ=MO0L0M，i0(i1,2,n)。 n223x34x1x24x1x38x2x3， 5、已知二次型f(x1,x2,x3)4x2 (1)写出该二次型的矩阵表达式；

(2)用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵。 解：

（1）f的矩阵表达式为

022x1 f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)244x2；

243x3（2）由（1）得知该二次型的矩阵为

022 A244，

243 A的特征方程为

22 EA244(1)(6)(6)=0， 243由此可得出A的特征值：11，26，36，对应的特征向量为

211 1=0，2=5，3=1。

122对应的单位特征向量为：

112306551，， 1023。

613022530625因此可得正交矩阵 Q1,2,3015130530230161， 626那么对二次型f做正交变换XQY，则该二次型就可以化为标准型

226y3 f(x1,x2,x3)y126y2。

点评：化二次行为标准形式二次型矩阵最常见的一种题型 ，在研究生入学考试中也是个重要的考察知识点，但题目一般难度不大，解答事业都有固定的模式，但它却要求我们必须仔细对待，切不可有所懈怠。 6、二次曲面S在空间直角坐标系中的方程为 x24y2z24xy8xz4yz10，

做直角坐标变换，把它化成标准方程，并且指出S是什么样的二次曲面？ 解：首先把方程左端的二次项部分

f(x,y,z)=x24y2z24xy8xz4yzLLLLLL（）

经正交变换化成标准型。而二次型矩阵A为

124 A=242，

4215525同时，根据上题知，我们可以找到正交矩阵T=50500使得T-1AT050。于是我们做正交变换

004xuyT vLLLLLLLLLL（）zw4515251553231， 323则，可以把原而次型（*）化成下述的标准型： f(x,y,z)=5u2+5v2-4w2，

因此，这里我们只需要做直角变换（），原二次曲面在新坐标系中的方程是

5u2+5v2-4w21。

并且，由此方程我们可以看出，S是单叶双曲面。

点评：通过正交变换把二次曲面方程化为标准方程是矩阵在几何上的一个重要的应用；除此方法之外，有时我们还可以用配方法来代替正交变换法对二次曲面方程进行化简，坐标变换，从而得到其标准方程。