矩阵论试题

2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷

(17级专业硕士)

专业 学号 姓名 得分

一．判断题（每小题3分，共15分）

1．线性空间V上的线性变换A是可逆的当且仅当零的原像是零， 即kerA=0。（ ）

2．实数域上的全体n阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A是n阶方阵，则Ak(k1,2,)当k时收敛的充分 必要条件是A的谱半径(A)1。（ ）

4．n阶多项式矩阵A()与B()相抵当且仅当它们具有相同的秩。（ ） 5．对于任意n阶复矩阵A与B，有eAeBeAB。（ ）

二．填空题（每小题4分，共20分）

1．设V是数域K上全体n阶反称矩阵按通常的加法与数乘构成的一个 线性空间，则其维数dimV= ，V的一组基是

。

12．A()3(21)的初等因子组为

2(1)

，不变因子组为

。

2`13．设A12，则||A||1= ，||A||F= ，

||A||2= ，cond(A)2 。

1

4． 设P[x]n1是数域K上次数不超过n1的多项式空间，求导算子D 在基1,x,x2,,xn1 以及基1,x,

， 。

5．设A是复数域上的正规矩阵，则A满足： ，并

写出常用的三类正规矩阵 。

三．计算题（每小题12分，共48分）

1．在R3中，试用镜像变换（Householder变换）将向量(1,2,2)T 变为与e3(0,0,1)T同方向的向量，写出变换矩阵。 。

121x,,xn1下的矩阵分别为 2!(n1)! 2

100100002． R22中，取基（I）：E11,E,E,E00120021102201 ，

10111110以及基（II）：E11,E,E,E00120021102201，

（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；（2）若定义R22中线性变换

A(A)a0

bcA，求A在基（I）下的矩阵。

3

4123．设A946，试求：（1）A的不变因子及初等因子;

935

（2）A的极小多项式及若尔当（Jordan）标准形J。 （3）求变换矩阵P，使得P1APJ。

4

21At4．设A，（1）求及sinAt（要求用两种方法） e10

5

四．证明题（第一小题10分，第二小题7分）

1．设A是n阶矩阵，如果A的某算子范数||A||1，证明：

EA可逆，且||E(EA)1||||A||。

1||A||

2．设A是数域K上n维线性空间V上的线性变换，满足A2= A，

V1|A0，V2|A，证明：VV1V2。

6