线性代数综合练习题

线性代数综合练习题

时间：120分钟

一、选择题（每小题3分，共15分）:

1．设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（ ）。

010010； （B）101； 100（A）101001010011； （D）100。 100（C）0110012．设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。

3．下列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是（ ）。

（A）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=0的所有向量； （B）Rn中，坐标是整数的所有向量；

（C）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=1的所有向量；

（D）Rn中，坐标满足x1=1，x2，…， xn可取任意实数的所有向量。

1-1

4．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）有一个特征值等于（ ）。

34311（A）； （B）； （C）； （D）。

34245．任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。

（A）合同； （B）相似； （C）等价； （D）以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

210，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E1201．设矩阵A=001是三阶单位矩阵，则|B|= 。

1x11122．已知线性方程组23a2x23无解，则a= 。 21ax30

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1a0213．若A=b0为正交矩阵，则a= ，b= 。

20014．设A为n阶矩阵，且|A|≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特征值λ，则（A*）2+E必有特征值 。

5．若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，则t的取值范围是

。

三、（15分）

x2(1a)x12x1(2a)x2设有齐次线性方程组：3x13x24x14x2四、（10分）

x32x3(3a)x3x42x43x400 004x3(4a)x4试问a取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。 设R3的两组基为：

1(1,0,1)T,2(1,1,0)T,3(0,1,1)T和1(1,1,1)T,2(1,1,2)T,3(1,2,1)T，向量α=（2，3，3）T

（1）求基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵； （2）求α关于这两组基的坐标。

五、（15分）

设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T是属于λ1 = -2的特征向量。试求：

（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量； （2）A的伴随矩阵A*。

六、（10分）

设二次型fx1x2x32ax1x22x1x32bx2x3

x1y122通过正交变换x2Py2化为：fy22y3，求a、b。

xy33七、（10分）

222已知A ，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵，试证：A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=？

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八、（10分）

设A为n阶矩阵，且r(A)n1,A11A22Ann1，其中Aii是A中元素

aii的代数余子式（i=1，2，…，n）。试证：A的伴随矩阵A*的特征值是0和1，

并说明各个特征值的重数。

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线性代数综合练习参考答案

一、选择题：

1．（D）；2（A）；3．（A）；4．（B）；5．C）； 二、填空题：

111|A| 1．；2．-1；3． ，；4．1；5．-2t2

92221111a1a22a2a22行三、解：A=33a33a34444a4a111a00B 0a000a（1）当a=0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：

x1+x2+x3+ x4=0由此得一基础解系为：

y1(1,1,0,0)Ty2(1,0,1,0)T， 故全部解为：XC1y1C2y2C3y3 y3(1,0,0,1)T（其中C1,C2,C3为任意常数）……（7分）

1a2（2）当a≠0时，B34111a10210030100014000100 010001当a=-10时，r（A）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：

2x1x23x14x1x3x400，解之，可得一个基础解系为： 0y=（1，2，3，4）T，故全部解为：X=ky（其中k为任意常数）……（15分）

备注：此题也可另解 ∵|A|=（a+10）a3

∴当|A|=0时，即a=0或a=-10时，齐次线性方程组有无穷解。

110111，C=（112 011四、解：（1）记B=（1,2,3）=）=,,123101121精选资料，欢迎下载

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11001021101111则有：01111201001 21011211001112从而，由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为：

11021-1

A=BC= 01………………………（5分）

21112（2）设α关于基1,2,3的坐标为（y1,y2,y3）

即：y11y22y330

y2y3y1y22y3由此可得：y1y2yy23123，解之得：y10,y21,y31， 3故α关于基1,2,3的坐标为（0，1，1），

110012x1y11又∵x2Ay2=0111

2xy33112112即α关于基1,2,3的坐标为（1，1，2）…………………………（10分） 五、解：（1）设A的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x1，x2，x3）T， 则∵A是实对称矩阵，

1=0， 1∴（x1，x2，x3）T与α1正交，即有：（x1，x2，x3）1也即：x1+x2+x3=0， 解之：α2=（-1，1，0）T

α3=（-1，0，1）T

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∴A的属于λ2=1的全部特征向量为：k1α2+ k2α3

（k1，k2不同时为0）………………（5分）

（2） ∵A*=|A|A-1

∴A*的特征值为：|A|·（- 又∵|A|=-2

∴A*的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）

1*

A（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）2

2001（α，α，α）-1 020A*=（α1，α2，α3）123

020001111021100=021010111110 10111），|A|·1（2重） 2001111=1100200210102211120=3021111333121

333112333113313121133 33331123111……………………………………………111=（15分） 111六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：

1a1000 Aa1b和B010

1b1002于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）

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也即：λ3-3λ2+（2-a2-b2）λ+（a-b）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ

(ab)20各幂次项系数有： 222ab2a0∴………………………………………………………（10分）

b0七、证明：∵2A-1B=B-4E

左乘A，得：2B=AB-4A…………………………………………（5分） 即：AB-2B-4A=0 ∴（A-2E）（B-4E）=8E 故A-2E可逆，

1且（A-2E）-1=（B-4E）……………………………………（10分）

8八、证明：∵r（A）=n-1

∴r（A*）=1………………………………………………………（2分）

又∵齐次线性方程组（0E-A*）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量， ∴0是A*的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分） 另外，tr（A）= A11+A22+…Ann

*

=λ1+λ2+…λn-1+λn

=1…………………………………………………………（8分）

故有：1是A*的单特征值；

0是A*的n-1重特征值。………………………………………（10分）

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