2020-2021学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷
（一模）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
1. 如图，已知在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=2，
则tanA的值为( )
A. 2 B. 2
5 C. √55 D. 2√5
1
2. 将抛物线𝑦=2𝑥2向左平移3个单位得到的抛物线的表达式是( )
A. 𝑦=2𝑥2+3 B. 𝑦=2𝑥2−3 C. 𝑦=2(𝑥+3)2 D. 𝑦=2(𝑥−3)2
3. 下列式子中，一定是二次函数的是( )
A. 𝑦=ax2+𝑏𝑥+𝑐 B. 𝑦=𝑥(−𝑥+1) C. 𝑦=(𝑥−1)2−𝑥2
D. 𝑦=𝑥2
1
4. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1：2，物体沿传送带上升到点B时，距
离地面的高度为3米，那么斜坡AB的长度为( )
A. 3√5米 B. 5√3米 C. 4√5米
3
D. 6米
5. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，sin∠𝐴=4，𝐴𝐵=8𝑐𝑚，
则△𝐴𝐵𝐶的面积是( )
A. 6𝑐𝑚2 B. 24𝑐𝑚2 C. 2√7𝑐𝑚2 D. 6√7𝑐𝑚2
⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量，且𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，令𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ ，则6. 如图，向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴与⃗𝑂𝐵⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+⃗𝑂𝐵
|𝑛⃗ |=( )
第1页，共21页
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 7. 若2𝑎=5𝑏，则𝑎−𝑏=_____．
3
⃗ −2⃗ 𝑏)−4⃗ 𝑏=______． 8. 计算：2(𝑎
𝑎
9. 如果抛物线𝑦=−𝑥2+(𝑚−1)𝑥+3经过点(2,1)，那么m的值为______． 10. 已知抛物线𝑦=(𝑚−1)𝑥2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是
______ ．
11. 如果点𝐴(2,−4)与点𝐵(6,−4)在抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)上，那么该抛物线
的对称轴为直线______．
12. 抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥−1在对称轴______(填“左侧”或“右侧”)的部分是下降的． AB，𝐵𝑃=𝐵𝑃：13. 已知点P在线段AB上，满足AP：若𝐵𝑃=2，则AB的长为______． E分别在边AB、AC上，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=6，14. 在△𝐴𝐵𝐶中，点D、且𝐴𝐷=1，
如果△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，那么𝐴𝐸=______．
15. 如图，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐷𝐹=2，𝐹𝐶=4，那么𝐷𝐵=______．
𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵=90°，∠𝐶=45°，16. 如图，在直角梯形ABCD中，
𝐴𝐷=1，𝐵𝐶=4，则𝐶𝐷=_______．
17. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，有一个锐角为60°，𝐵𝐶=6.若点P在直线AC上(不与
点A，C重合)，且∠𝐴𝐵𝑃=30°，则CP的长为______． 18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=2√5，D为边
AC上一点(点D与点A、C不重合).将△𝐴𝐵𝐷沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接𝐶𝐸.如果𝐶𝐸//𝐴𝐵，那么AD：𝐶𝐷=______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
第2页，共21页
𝐴𝐷
19. 计算：4𝑠𝑖𝑛245∘−𝑡𝑎𝑛60∘−𝑐𝑜𝑠30°．
20. 如图二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过A、B、C三点．
𝑐𝑜𝑡45°
(1)求出抛物线解析式；
(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)观察图象，当x取何值时，𝑦<0？
21. 如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD
的中点，CE交BD于点G． (1)求𝐷𝐺的值；
(2)如果设⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 、⃗ 𝐴𝐵=𝑎⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝑂． 𝐵𝐶=⃗ 𝑏，试用𝑎𝑏表示⃗⃗⃗⃗⃗
第3页，共21页
𝑂𝐺
22. 如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座𝐵𝐶=0.60米，底座BC
与支架AC所成的角∠𝐴𝐶𝐵=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离𝐹𝐷=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠𝐹𝐻𝐸=60°，求篮筐D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据：𝑐𝑜𝑠75°≈0.2588，𝑠𝑖𝑛75°≈0.9659，𝑡𝑎𝑛75°≈3.732，√3≈1.732，√2≈1.414)
G分别在边AB、BC上，23. 已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D、
∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，AG与CD相交于点F． (1)求证：𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵；
(2)若𝐴𝐶=𝐶𝐺，求证：𝐶𝐺2=𝐷𝐹⋅𝐵𝐺．
第4页，共21页
𝐴𝐷
𝐷𝐹
24. 已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−1,0)，且经过直线𝑦=𝑥−3与x轴的交点B
及与y轴的交点C．
(1)求抛物线所对应的函数关系式； (2)求抛物线的顶点坐标；
(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且𝑂𝑀⊥𝐵𝐶，垂足为D，求点M的坐标．
𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐷𝐸点D在BC的延长线上，25. 如图1，
于E，BE交AC于点G． (1)求证：∠𝐴=∠𝐷𝐵𝐸；
(2)如图2，过E作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶于F，连接BF，若BF平分∠𝐴𝐵𝐸，求证：𝐴𝐵=𝐸𝐵； (3)在(2)的条件下，如图3，连接DG，若𝐴𝐹=2𝐹𝐺，𝑆△𝐵𝐷𝐺=8，求BG的长．
第5页，共21页
第6页，共21页
答案和解析
1.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查的是锐角三角函数的定义有关知识，利用锐角三角函数的定义进行解答即可． 【解答】
解：∵∠𝐶=90°，𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=2，
．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：将抛物线𝑦=2𝑥2向左平移3个单位所得抛物线解析式为：𝑦=2(𝑥+3)2； 故选：C．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查的是二次函数的定义有关知识，利用二次函数的定义对选项进行逐一判断． 【解答】
解：𝐴.不能确定a是否为零，故不是二次函数； B.是二次函数； C.不是二次函数； D.不是二次函数． 故选B．
4.【答案】A
【解析】
第7页，共21页
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．作𝐵𝐶⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可． 【解得】
解：作𝐵𝐶⊥地面于点C，
∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，𝐵𝐶=3米， ∴𝐴𝐶=2𝐵𝐶=6米，
由勾股定理得，𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2， 即𝐴𝐵=√62+32=√45=3√5米. 故选A．
5.【答案】D
【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，∵∠𝐶=90°，𝐴𝐵=8𝑐𝑚， ∴𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐴𝐵=4， ∴𝐵𝐶=6(𝑐𝑚)，
∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=√82−62=2√7(𝑐𝑚)，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
故选：D．
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，求出BC，AC即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11
⋅𝐵𝐶⋅𝐴𝐶=×6×2√7=6√7(𝑐𝑚2). 22𝐵𝐶
3
6.【答案】B
⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量， 【解析】解：∵向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∴|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴|=1，|⃗𝑂𝐵∵𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，
∴𝐴𝐵=√12+12=√2，
第8页，共21页
⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵𝑛⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+⃗𝑂𝐵∴|𝑛⃗ |=𝐴𝐵=√2， 故选：B．
根据平面向量的性质以及勾股定理即可解决问题．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
7.【答案】3
【解析】 【分析】
本题考查了比例的性质，能正确根据比例的性质进行变形是解此题的关键，根据比例的性质得出𝑏=2，设𝑎=5𝑘，𝑏=2𝑘，代入求出即可． 【解答】 解：∵2𝑎=5𝑏， ∴
𝑎
𝑎
5
5
=，
𝑏2
5
设𝑎=5𝑘，𝑏=2𝑘， 则𝑎−𝑏=5𝑘−2𝑘=3， 故答案为3． ⃗ ⃗ −7𝑏8.【答案】2𝑎
35
𝑎
5𝑘
5
【解析】 【分析】
实数的运算法则同样适用于平面向量的计算． 本题考查了平面向量的有关概念，是基础题． 【解答】
3333
⃗ −2⃗ 𝑏)−4⃗ 𝑏=2𝑎⃗ −2×2⃗ 𝑏−4⃗ 𝑏=2𝑎⃗ −7⃗ 𝑏． 解：：2(𝑎
⃗ ． ⃗ −7𝑏故答案是：2𝑎
3
9.【答案】2
第9页，共21页
【解析】解：∵抛物线𝑦=−𝑥2+(𝑚−1)𝑥+3经过点(2,1)， ∴−4+2𝑚−2+3=1， 解得𝑚=2． 故答案为2．
把点(2,1)代入函数解析式，计算即可求出m的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的点的坐标满足函数关系式是解题的关键．
10.【答案】𝑚<1
【解析】 【分析】
此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考重点，同学们应熟练掌握．根据二次函数𝑦=(𝑚+1)𝑥2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即𝑚+1<0，即可得出答案． 【解答】
解：∵抛物线𝑦=(𝑚−1)𝑥2+4的顶点是此抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴𝑚−1<0， ∴𝑚<1， 故答案为𝑚<1．
11.【答案】𝑥=4
【解析】解：∵点𝐴(2,−4)与点𝐵(6,−4)的纵坐标相等， ∴点A、B关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线𝑥=故答案为：𝑥=4．
由点A、B的纵坐标相等可得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，再由点A、B的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解．
本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．
2+62
=4．
12.【答案】右侧
第10页，共21页
【解析】解：∵𝑎=−1<0，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的， 故答案为：右侧． 根据二次函数的性质解题．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．
13.【答案】√5+1
【解析】 【分析】
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出𝐵𝑃=√的长．
本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√【解答】
解：∵点P在线段AB上，满足AP：𝐵𝑃=𝐵𝑃：AB， ∴𝑃为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段， ∴𝐵𝑃=∴
√5−1
𝐴𝐵， 2
5−125−12
𝐴𝐵，代入数据即可得出AB
倍．
√5−1
𝐴𝐵2
=2，
解得𝐴𝐵=√5+1． 故答案为：√5+1．
14.【答案】3
【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸， ∴
𝐴𝐷𝐴𝐵
5
=
𝐴𝐸
，即3=𝐴𝐶
5
1𝐴𝐸5
，
解得，𝐴𝐸=3， 故答案为：3．
根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
5
第11页，共21页
15.【答案】1
【解析】 【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，能够运用相似三角形的性质得出对应线段成比例是解答此题的关键．先根据相似三角形的判定方法可判断△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，△=𝐴𝐵=2，𝐷𝐸𝐹∽△𝐶𝐵𝐹，再根据相似三角形的性质得𝐹𝐶=𝐵𝐶=2，设𝐴𝐷=𝑘，则𝐴𝐵=𝐵𝐶2𝑘，可得结果． 【解答】 解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐶𝐵， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴
𝐷𝐹𝐹𝐶
𝐷𝐹
𝐷𝐸
1𝐷𝐸
𝐴𝐷
1
=𝐵𝐶=2，
𝐷𝐸1
∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐸𝐵𝐶， ∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐶𝐵𝐹， ∴
𝐷𝐸𝐵𝐶
=
𝐴𝐷
=，
𝐴𝐵2
1
设𝐴𝐷=𝑘，则𝐴𝐵=2𝑘，𝐵𝐷=2𝑘−𝑘=𝑘， ∴
𝐴𝐷𝐷𝐵
==1．
𝑘
𝑘
故答案为：1．
16.【答案】3√2
【解析】 【分析】
本题考查梯形，矩形，直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．作辅助线𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，由已知条件可知△𝐶𝐸𝐷为等腰直角三角形，再用勾股定理求出CD的长。 【解答】
解：过点D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E． ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵=90°， ∴四边形ABED是矩形，
第12页，共21页
∴𝐴𝐷=𝐵=1时， ∵𝐵𝐶=4，
∴𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=3， ∵∠𝐶=45°，
∴ △ 𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形， ∴𝐶𝐷=√2𝐶𝐸=3√2 ． 故答案为3√2．
17.【答案】6或2√3或4√3
【解析】解：如图1：
当∠𝐶=60°时，∠𝐴𝐵𝐶=30°，P不与C重合，与∠𝐴𝐵𝑃=30°矛盾； 如图2：
当∠𝐶=60°时，∠𝐴𝐵𝐶=30°， ∵∠𝐴𝐵𝑃=30°， ∴∠𝐶𝐵𝑃=60°，
第13页，共21页
∴△𝑃𝐵𝐶是等边三角形， ∴𝐶𝑃=𝐵𝐶=6； 如图3：
当∠𝐴𝐵𝐶=60°时，∠𝐶=30°， ∵∠𝐴𝐵𝑃=30°，
∴∠𝑃𝐵𝐶=60°−30°=30°， ∴𝑃𝐶=𝑃𝐵， ∵𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝐵=3， ∴𝑃𝐶=𝑃𝐵=3𝑐𝑜𝑠30∘
=
3√3=2√3；2
如图4：
当∠𝐴𝐵𝐶=60°时，∠𝐶=30°， ∵∠𝐴𝐵𝑃=30°，
∴∠𝑃𝐵𝐶=60°+30°=90°， ∴𝑃𝐶=𝐵𝐶÷𝑐𝑜𝑠30°=4√3． 故答案为：6或2√3或4√3．
第14页，共21页
根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答． 本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】5：6
【解析】 【分析】
本题考查翻折变换、三角形相似的性质和判定、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，寻找相似三角形解决问题．作辅助线，构建
平行线和直角三角形，先根据勾股定理计算AG的长，证明△𝐵𝐶𝐻∽△𝐴𝐵𝐺，列比例式可得𝐵𝐻=4，𝐶𝐻=2，根据勾股定理计算EH的长，从而得CE的长，最后根据平行线分线段成比例定理得：𝐶𝐷=𝐹𝐶=6． 【解答】
解：如图，过A作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于G，过B作𝐵𝐻⊥𝐶𝐸，交EC的延长线于H，延长BD和CE交于点F， ∵𝐴𝐶=𝐴𝐵=5，
∴𝐵𝐺=𝐶𝐺=√5，𝐴𝐺=√𝐴𝐵2−𝐵𝐺2=√52−(√5)2=2√5， ∵𝐹𝐻//𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐵𝐶𝐻， ∵∠𝐻=∠𝐴𝐺𝐵=90°， ∴△𝐵𝐶𝐻∽△𝐴𝐵𝐺， ∴∴
𝐵𝐻𝐴𝐺𝐵𝐻2√5𝐴𝐷
𝐴𝐵
5
==
𝐵𝐶𝐴𝐵
=
𝐶𝐻𝐵𝐺
， ，
2√55
=
𝐶𝐻√5∴𝐵𝐻=4，𝐶𝐻=2， 由折叠得：𝐴𝐵=𝐵𝐸=5，
∴𝐸𝐻=√𝐵𝐸2−𝐵𝐻2=√52−42=3，𝐶𝐸=3−2=1， ∵𝐹𝐻//𝐴𝐵，
∴∠𝐹=∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐸𝐵𝐷， ∴𝐸𝐹=𝐵𝐸=5， ∴𝐹𝐶=5+1=6，
第15页，共21页
∵𝐹𝐶//𝐴𝐵， ∴
𝐴𝐷𝐶𝐷
=
𝐴𝐵𝐹𝐶
=， 6
5
故答案为：5：6．
19.【答案】解：原式=4×(√2)2−√3−2
2
1√3=
12−√3−√3 2√3 2=2+√3−
=2+
√3． 2
【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20.【答案】解：(1)𝐴(−1,0)，𝐵(0,−3)，𝐶(4,5)，
把𝐴(−1,0)，𝐵(0,−3)，𝐶(4,5)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得： 𝑎−𝑏+𝑐=0𝑎=1{𝑐=−3，解得：{𝑏=−2， 16𝑎+4𝑏+𝑐=5𝑐=−3∴抛物线解析式为：𝑦=𝑥2−2𝑥−3； (2)𝑦=𝑥2−2𝑥−3=(𝑥−1)2−4， ∴顶点坐标是(1,−4)，对称轴是直线𝑥=1； (3)由图象得：抛物线与x轴另一交点坐标为(3,0)， ∴当−1<𝑥<3时，𝑦<0．
【解析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，利用配方法或公式法可以求二次函数的顶点坐标和对称轴；是常考题型，难度不大，同时还运用了数形结合的思想求自变量的取值范围．
(1)先写出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求解析式； (2)配方成顶点式后再回答问题；
(3)根据对称性写出与x轴的两个交点坐标，由图象得出当−1<𝑥<3时，𝑦<0．
第16页，共21页
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝑂𝐷=𝑂𝐵， ∵𝐴𝐸=𝐷𝐸， ∴𝐵𝐶=2𝐷𝐸， ∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴△𝐷𝐸𝐺∽△𝐵𝐶𝐺， ∴𝐺𝐵=𝐵𝐶=2，
设𝐷𝐺=𝑘，𝐺𝐵=2𝑘，则𝐵𝐷=3𝑘，𝑂𝐵=𝑂𝐷=1.5𝑘， ∴𝑂𝐺=0.5𝑘， ∴
𝑂𝐺𝐷𝐺𝐷𝐺
𝐷𝐸
1
=
0.5𝑘𝑘
=． 2
1
⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ (2)∵⃗𝐵𝐷𝐵𝐴+⃗𝐴𝐷𝑏−𝑎⃗ ， ∵𝑂𝐺=6𝐵𝐷，
111
⃗ −𝑎∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝑂=−6(𝑏⃗ )=6𝑎⃗ −6⃗ 𝑏．
1
【解析】(1)由△𝐷𝐸𝐺∽△𝐵𝐶𝐺，可得𝐺𝐵=𝐵𝐶=2，设𝐷𝐺=𝑘，𝐺𝐵=2𝑘，则𝐵𝐷=3𝑘，𝑂𝐵=𝑂𝐷=1.5𝑘，推出𝑂𝐺=0.5𝑘，即可解决问题； ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据𝑂𝐺=𝐵𝐷即可解决问题； (2)求出⃗𝐵𝐷6
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作𝐴𝐺⊥𝐹𝑀22.于G，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，tan∠𝐴𝐶𝐵=𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶⋅𝑡𝑎𝑛75°=0.60×3.732=2.2392𝑚， ∴𝐺𝑀=𝐴𝐵=2.2392𝑚，
在𝑅𝑡△𝐴𝐺𝐹中，∵∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐹𝐻𝐸=60°，sin∠𝐹𝐴𝐺=𝐴𝐹， ∴𝑠𝑖𝑛60°=2.5=∴𝐹𝐺=
5√3
， 4
𝐹𝐺
√3
， 2
𝐹𝐺
𝐴𝐵1
𝐷𝐺
𝐷𝐸
1
∴𝐷𝑀=𝐹𝐺+𝐺𝑀−𝐷𝐹≈3.05米．
第17页，共21页
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．
【解析】延长FE交CB的延长线于M，过A作𝐴𝐺⊥𝐹𝑀于G，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶， ∴𝐴𝐶：𝐴𝐵=𝐴𝐷：AC， ∴𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵；
(2)证明：∵△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐶𝐺， ∵
𝐴𝐷𝐴𝐶
=𝐶𝐺，
𝐷𝐹
∴△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐶𝐺， ∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐹，
即∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐶𝐴𝐺，AG是∠𝐵𝐴𝐶的平分线， ∴∴
𝐴𝐶𝐴𝐵𝐷𝐹𝐶𝐺
==
𝐶𝐺𝐵𝐺𝐶𝐺𝐵𝐺
， ，
∴𝐶𝐺2=𝐷𝐹⋅𝐵𝐺．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
(1)证明△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，得出对应边成比例AC：𝐴𝐵=𝐴𝐷：AC，即可得出结论． (2)由相似三角形的性质得出∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐶𝐺，由已知证出△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐶𝐺，得出∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐹，AG是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，由角平分线得出，即可得出结论．
24.【答案】解：(1)易知：𝐵(3,0)，𝐶(0,−3)，
设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥+1)(𝑥−3)，则有： 𝑎(0+1)(0−3)=−3，𝑎=1， ∴𝑦=𝑥2−2𝑥−3．
(2)由(1)知：𝑦=𝑥2−2𝑥−3=(𝑥−1)2−4， 因此顶点坐标为(1,−4)．
第18页，共21页
(3)由于直线𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，
因此直线OD的解析式为𝑦=−𝑥， 联立抛物线则有： 𝑦=𝑥2−2𝑥−3{， 𝑦=−𝑥
𝑥=2𝑥=2
解得{，{，
−1−√13√13−1𝑦=𝑦=
2
2
1+√13
1−√13
由于点M在第四象限，因此𝑀(
1+√13−1−√132
,
2
).
【解析】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的交点等知识点．
(1)先根据直线𝑦=𝑥−3求出B、C的坐标，然后将A、B、C的坐标代入抛物线中即可求得抛物线的解析式．
(2)根据(1)的抛物线的解析式用配方或公式法均可求出顶点坐标．
(3)已知了直线BC的解析式，由于𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，因此直线OD的斜率与直线BC的斜率的乘积为−1，据此可求出直线OD的解析式．联立直线OD的解析式和抛物线的解析式即可求出M点的坐标．
25.【答案】证明：(1)如图1，∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐸=90°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸， ∵∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴=∠𝐷𝐵𝐸；
(2)如图2，∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，
第19页，共21页
∴𝐸𝐹//𝐵𝐶， ∴∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐷𝐵𝐸， 由(1)知：∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐹𝐸𝐵， ∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐺， ∴∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐸𝐵𝐺， 在△𝐴𝐵𝐹和△𝐸𝐵𝐹中， ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐹𝐸𝐵∵{∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐸𝐵𝐹， 𝐵𝐹=𝐵𝐹∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐸𝐵𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐸；
(3)解：由(2)得△𝐴𝐵𝐹≌△𝐸𝐵𝐹，
∴𝐴𝐹=𝐸𝐹， ∵𝐴𝐹=2𝐹𝐺， ∴𝐸𝐹=𝐴𝐹=2𝐹𝐺，
设𝐹𝐺=𝑥，则𝐸𝐹=2𝑥，𝐸𝐺=√5𝑥， ∵𝐸𝐹//𝐵𝐶， ∴△𝐸𝐹𝐺∽△𝐵𝐶𝐺， ∴
𝐵𝐶𝐶𝐺
=
𝐸𝐹𝐹𝐺
=2，
∴𝐵𝐶=2𝐶𝐺，
∵∠𝐹𝐸𝐺=∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐶𝐴𝐵， ∠𝐺𝐹𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴△𝐸𝐹𝐺∽△𝐴𝐶𝐵， ∴𝐴𝐶=2𝐵𝐶， ∴𝐴𝐶=4𝐶𝐺， ∵𝐴𝐶=3𝐹𝐺+𝐶𝐺， ∴𝐹𝐺=𝐶𝐺，
第20页，共21页
∵∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐵𝐶𝐺=90°，∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐵𝐶𝐺 ∴△𝐸𝐹𝐺≌△𝐵𝐶𝐺(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐸𝐺=𝐵𝐺=√5𝑥， ∵△𝐸𝐹𝐺∽△𝐵𝐸𝐷， ∴
𝐷𝐸𝐵𝐸
=，𝐷𝐸=√5𝑥， 2
1
∵𝐵𝐺=𝐸𝐺， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐺=𝑆△𝐷𝐺𝐸， ∵𝑆△𝐵𝐷𝐺=8=𝑆△𝐵𝐸𝐷，
21
∴⋅⋅√5𝑥⋅2√5𝑥=8，
2
2
11
5𝑥2=16， ∵𝐵𝐺2=5𝑥2=16， ∴𝐵𝐺=4或−4(舍)．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理可得结论； (2)证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐸𝐵𝐹(𝐴𝐴𝑆)，可得𝐴𝐵=𝐵𝐸；
(3)根据△𝐴𝐵𝐹≌△𝐸𝐵𝐹，得𝐴𝐹=𝐸𝐹，设𝐹𝐺=𝑥，则𝐸𝐹=2𝑥，证明△𝐸𝐹𝐺∽△𝐸𝐺=√5𝑥，𝐵𝐶𝐺，得𝐵𝐶=2𝐶𝐺，证明△𝐸𝐹𝐺∽△𝐴𝐶𝐵，得𝐴𝐶=2𝐵𝐶，证明△𝐸𝐹𝐺∽△𝐵𝐸𝐷得：𝐷𝐸=√5𝑥，根据𝐵𝐺=𝐸𝐺，同高三角形面积相等，则𝑆△𝐵𝐷𝐺=𝑆△𝐷𝐺𝐸，列式可得5𝑥2=16，可得结论．
本题考查三角形综合题、全等和相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，勾股定理表示线段的长，证明全等和相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
第21页，共21页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容