因式分解技巧——待定系数法

这⾥主要讨论整系数的四次多项式。根据⾼斯引理，⼀个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式之积，那么它必定可分解为两个整系数的因式之积。所以我们直接考虑有没有整系数因式就可以了。

⼆次因式

分解因式：x4+x3+2x2−x+3.

根据前⾯的知识，此式的有理根只可能是 ±1, ±3. 经过验证，它们都不是原式的根。因此原式没有有理根，即没有有理系数的⼀次因式。

因此我们设想它可分解为两个整系数的⼆次因式的乘积。因为原式是⾸⼀的，因此两个⼆次因式也应当是⾸⼀的，于是不妨设

x4+x3+2x2−x+3=(x2+ax+b)(x2+cx+d).

其中 a,b,c,d 都是整数。【2015.5.8注：原来的公式是错误的，现已修改。】⽐较两边对应项的系数和常数项，可得

a+c=1

b+d+ac=2

bc+ad=−1

bd=3

这样的⽅程组通常是不好求解的。但我们这⾥有优势：各数都是整数！先从最后⼀个等式⼊⼿，然后逐步回代，联⽴⽅程。最后可得到分解

x4+x3+2x2−x+3=(x2−x+1)(x2+2x+3).

这⾥有⼀点需要注意，⼀开始的 bd=3 可以得到两组解。如果其中⼀组解可以导出⼀个分解，那么另外⼀组解的情形就没必要再考虑了，因为分解是唯⼀的。（这⾥涉及复数的知识，不多提。）再来看⼀个例⼦：

分解因式：2x4−x3+6x2−x+6.由于⾸项系数为 2, 所以不妨设

2x4−x3+6x2−x+6=(2x2+ax+b)(x2+cx+d).

⽐较两边的系数及常数项，可得

2c+a=−1,

2d+b+ac=6,

ad+bc=−1,

bd=6

由最后⼀个式⼦我们可得 8 组 b,d 的值。经过试验发现 b=3, d=2 可以导出⼀个分解

x4−x3+6x2−x+6=(2x2+x+3)(x2−x+2).

根据前⾯的提醒，余下的⼏种情况就没必要再讨论了。

其实⼗字相乘法是这种⽅法的⼀种特殊情况，但⽐较简单。待定系数法是⼀种很基本的⽅法，应⽤范围⾮常⼴。这是⼀种⽅程思想，先以未知为已知，然后逆向求解。

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