35、2020年北京初三数学二模分类汇编：几何综合(教师版)

几何综合

【题1】（2020·东城27二模）

27．在△ABC中AB=AC，BAC，D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D,A,E不共线，连接AD,BD，CD．

（1）如图1，当60，∠ADB=30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系； （2）当90，∠ADB=45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明； （提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）

1（3）当ADB时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含的等式直接表示出它们之

2间的关系．

1

【题2】（2020·西城27二模）

27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F. （1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H.

求证：∠EAB =∠GHC；

（2）AE的垂直平分线分别与AD， AE， BD交于点P，M，N，连接CN.

① 依题意补全图形；

② 用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

AGFDAFDEEB HCB C 图1 备用图 27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90°，

∴ ∠AGH =∠GHC． ∵ GH⊥AE， ∴ ∠EAB =∠AGH． ∴ ∠EAB =∠GHC．

（2）① 补全图形，如图所示．

② AE2CN．

AGFDEB HC证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．

∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 点A，点C关于BD对称． ∴ NA =NC，∠1 =∠2． ∵ PN垂直平分AE， ∴ NA =NE． ∴ NC =NE． ∴ ∠3 =∠4．

A1MPF4DEQB N23C在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD = 90°， ∴∠AQE =∠4．

∴∠1+∠AQE =∠2+∠3 =90°． ∴∠ANE =∠ANQ =90°．

在Rt△ANE中，

2

∴ AE2CN． ····························································· 7分

【题3】（2020·海淀27二模）

27．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BDCD, 连接AD, 以点A为中心,

将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E. ．．．（1）依题意补全图1； （2）求证：AD=AE；

（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF.

① 求证：AE∥CF；

② 若BECFAB成立，直接写出∠BAD的度数为__________°.

MAMABD图 1CB备用图C

27．（1）依题意补全图形

ME

ABDC

AE4312（2）证明：

∵ △ABC是等边三角形， ∴ AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°. ∴ ∠1+∠2=60°.

∵ 射线AD绕点A顺时针旋转60°得到射线AE， ∴ ∠DAE=60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3. ∵ ∠ABC=60°，

∴ ∠ABN=180°-∠ABC=120°. ∵ BM平分∠ABN， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C. ∴ △ABE≌△ACD. ∴ AD=AE.

ME3

5MNBDC

A（3）① 证明：连接AF，设∠BAD=α， ∵ 点B与点F关于直线AD对称，

NBDFC∴ ∠FAD=∠BAD=α，FA=AB. ∵ ∠DAE=60°，

∴ ∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-α. ∵ 等边三角形ABC中，∠BAC=60°， ∴ ∠EAC=∠BAE+∠BAC=120°-α. ∵ AB=AC，AF=AB， ∴ AF=AC. ∴ ∠F=∠ACF.

∵ ∠FAC=∠BAC-∠FAD-∠BAD=60°-2α， 且∠F+∠ACF+∠FAC=180°， ∴ ∠ACF=60°+α. ∴ ∠EAC+∠ACF=180°. ∴ AE∥CF. ② 20°.

【题4】（2020·朝阳27二模）

27.已知AOB40,M为射线OB上一定点，OM1,P为射线OA上一动点(不与点O重合),OP1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40，得到线段PN，连接MN. (1)依题意补全图1; (2)求证:APNOMP;

(3)H为射线OA上一点，连接NH.写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有OHN为定值，并求出此定值.

4

27．解：（1）补全图形，如图所示.

（2）证明：根据题意可知，∠MPN=∠AOB =40°，

∵∠MPA =∠AOB +∠OMP=∠MPN +∠APN, ∴∠APN=∠OMP.

（3）解： OH的值为1.

在射线PA上取一点G，使得PG=OM，连接GN. 根据题意可知，MP=NP. ∴△OMP≌△GPN. ∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40°.

∴PG=OH.

∴OP=HG. ∴NG=HG. ∴∠NHG=70°.

∴∠OHN=110°.

【题5】（2020·丰台27二模）

27. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°得

A点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD． （1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD的形状并证明；

（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明. 温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考

BC下面几种解法的主要思路.

解法1的主要思路：

延长BC至点F，使CF=AB，连接EF，可证△ABE≌△CEF，再证△BEF是等腰直角 三角形.

5

到CP，

解法2的主要思路：

过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME. 解法3的主要思路：

过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN=a，EN=b，用含a或b 的式子表示出AB，BC. ……

PED（1）正确补全图形： A27. 解：

BC……………………………2分

（2）△ACD是等腰直角三角形； …………………………………3分 证明：∵将CA绕点C顺时针旋转45°，

∴∠ACP=45°.

∵点D与A关于直线CP对称， ∴∠DCP=∠ACP=45°，AC=CD. ∴∠ACD=90°.

∴△ACD是等腰直角三角形. ………………………………4分

（3）AB+BC=2BE； ………………………………………………5分 解法1证明：延长BC至点F，使CF= AB，连接DF，EF.

∵△ACD是等腰直角三角形，AE=DE， P ∴AE=CE，∠AEC=90°. ∵∠ABC=90°,

∴∠BAE+∠BCE =180°. ∵∠FCE+∠BCE =180°,

A1E32DBCF ∴∠BAE =∠FCE.

∴△ABE≌△CFE. …………………………………………6分 ∴BE=FE , ∠1=∠2. ∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°. 即∠BEF=90°.

∴△BEF是等腰直角三角形. ……………………………7分 ∴BC+CF=2BE.

6

即AB+BC=2BE. ……………………………………8分

解法2证明：过点A作AM⊥BE于点M,取AC中点G，连接GB，GE. 设∠GBE=，∠ABG=, ∵∠ABC=∠AEC =90°, ∴AG=BG=EG=

AC. 2 ∴∠ABG=∠BAC=,∠GBE=∠GEB=. 在△BGE中，

∵∠GBE+∠BGE+∠BEG =180°,

1 ∴2290180. ∴45.

即 ∠ABE=45°. ……………………………………6分

（或根据圆的定义判断A，B，C，E在以点G为圆心的圆上，根据同弧CE

所对圆周角相等，证明∠ABE=45°）

P ∵∠AMB=90°,

∴∠BAM=∠CAE=45°. ∴∠BAC=∠MAE. ∵∠ABC=∠AME=90°,

AEDGMBC ∴△ABC∽△AME. …………………………………………7分 ∴

ABBCAC2. AMMEAE2ME. 2BM.

2(BMME)2BE. ……………………8分

∴BC 又∵AB ∴AB+BC 解法3证明：过点A作AM⊥BE于点M, 过C作CN⊥BE于点N, ∴∠AME=∠CNE=90°. 即∠MAE+∠AEM=90°. ∵∠MEC+∠AEM=90°. ∴∠MAE=∠MEC. ∵AE=CE,

BNAEDMPC ∴△AME≌△ECN. ……………………………………6分 ∴AM=EN.

同解法2，可证∠ABM=∠CBM=45°. ……………………………7分 设BN=a,EN=b

7

∴BC2a，AB2b.

2(BNEN)2 ∴AB+BC2BE. ……………………8分

（说明：三条线段数量关系写为：ABBC2BE2等其他等式如果正确也给分 ）

【题6】（2020·房山27二模）

27. 点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰RtΔADC，连接BD，在ΔABD外侧,以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC.

（1）如图1，当∠DBA30时： ① 求证：ACBD；

② 判断线段EC与EB的数量关系，并证明；

EDACB

图1

（2） 如图2，当0°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？ <∠DBA<45°对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：

想法1： 尝试将点D为旋转中心. 过点D作线段BD的垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明三角形ΔADB≌ΔCDG全等解决以上问题；

想法2： 尝试将点D为旋转中心. 过点D作线段AB的垂线，垂足为点G，连接EG.通过证明ΔADB∽

ΔGDE解决以上问题；

想法3：尝试利用四点共圆. 过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.

请你参考上面的想法，证明EC=EB（一种方法即可）

EDA8

CB

图2

27.（1）

① 过点D作DF⊥AC于F ……………………………………1分 ∵∠DBA30 ∴DF=1BD 2∵以AC为斜边作等腰RtΔADC ∴AF=FC

1AC 2∴ACBD ……………………………………2分

∴DF=

② ∵ 等腰RtΔADC与等腰Rt△BED中ACBD

∴DC=DE，∠FDC=∠CDE=45 ∵∠DBA30

∴∠FDB=60,∠CDB=15 ∴∠CDE=60

∴ΔCDE是等边三角形 ……………………………………3分 ∵EB=DE

∴EC=EB ……………………………………4分

（2）法1. 添加辅助线 ……………………………5分

证出ΔADB≌ΔCDG ……………………………6分 ∴∠DCG=∠A=45

∴∠GCB=90

9

∵EG=EB

∴ EC=EB ………………………………7分

法2. 添加辅助线 ……………………………5分

证出ΔADB⁓ΔGDE …………………………6分 ∴∠DGE=∠A=45

∴GE平分∠DGC

∴GE是DC的中垂线

∴ ED=EC=EB ………………………………7分

法3. 添加辅助线 ……………………………5分

证出∠EFB=∠EDB=45……………………6分

∴FE是DC的中垂线

∴ ED=EC=EB ……………………7分 【题7】（2020·顺义27二模）

27．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．

（1）依题意补全图形； A（2）AE与DF的位置关系是 ； （3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在

运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊 把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想

E∠DAF= °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种 BCD想法：

想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE……

想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造□ABGF，然后可证

△AFE≌△BGC……

请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．

27．解：（1）补全图形如下： ……………………………………………………… 1分

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AFBEDC

（2）AE与DF的位置关系是 互相垂直 ； ………………………… 2分 （3）∠DAF= 45° ………………………………………………… 3分

（想法1图形）

AGFB

证明如下：过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知： ∠B=∠BCG=∠CGA=90°． ∵AB=BC，

∴四边形ABCG是正方形．…………………………………… 4分 ∴AG=AB ， ∠BAG=90°．

∵点B关于直线AD的对称点为E，

∴AB=AE ，∠B=∠AED=90° ，∠BAD=∠EAD．…………… 5分 ∴AG=AE． ∵AF=AF，

∴Rt△AFG≌Rt△AFE(HL) ． ………………………………… 6分 ∴∠GAF=∠EAF． ∵∠BAG=90°，

∴∠BAD+∠EAD+∠EAF +∠GAF =90°． ∵∠BAD=∠EAD， ∠EAF =∠GAF， ∴∠EAD +∠EAF=45°．

即∠DAF=45°． …………………………………………… 7分 （想法2图形）

DECAFBDECG

证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，

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依题意可知：∠ABC=∠BCF =90°． ∴AB∥FG． ∵AF∥BG，

∴四边形ABGF是平行四边形．……………………………… 4分 ∴AF=BG，∠BGC=∠BAF．

∵点B关于直线AD的对称点为E，

∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90° ，∠BAD=∠EAD．…………5分 ∵AB=BC， ∴AE=BC．

∴Rt△AEF≌Rt△BCG (HL) ………………………………… 6分 ∴∠EAF =∠CBG． ∵∠BCG=90°，

∴∠BGC+∠CBG=90°． ∴∠BAF+∠EAF=90°．

∴∠BAD+∠EAD +∠EAF+∠EAF =90o． ∵∠BAD=∠EAD ， ∴∠EAD +∠EAF =45°．

即∠DAF=45°．……………………………………………… 7分

【题8】（2020·门头沟27二模）

27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE=CF，

延长BC到G，使CG= CF，连接EG， DF. （1）依题意将图形补全；

（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG2DF.经过与同学们充分

讨论，形成了几种证明的想法：

想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；

想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，

证明HF=EG；

……

请参考以上想法，帮助小华证明EG2DF.（写出一种方法即可）

ADBC 12

【题9】（2020·平谷27二模）

27．如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．

（1）依据题意补全图形；

（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是 ；

（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．

小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；

想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM=CF，从而解决问题； 想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证.

请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MB.(一种方法即可）

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27.（1）补全图形.....................................................................................１

（2）60°...................................................................................................2

（3）当AMD75时结论成立.

......................................................3

证明：想法一： 过A作AE⊥CD于E． ∵∠B=∠C=∠E=90° AB=BC

∴四边形ABCE是正方形......................................................4 ∴AB=AE，∠B=∠E， BC=CE ∵MC=DC ∴BM=DE

∴△ABM≌△AED .....................................................5 ∴AD=AM ∵∠AMD=75° ∴△AMD是等边三角形 ∴AM=DM

················································································································· 6

(其他证明方法类似给分，辅助线正确写出一个正确语句即给1分，证完全等2分，完全正确3分） 【题10】（2020·密云27二模）

27. 已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°<∠CAN<120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN=60°．

图1

备用图

（1）若点C位置如图1所示．

① 依据题意补全图1；

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② 求证：∠CDB=∠MAC；

（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD=3，并证明．

27 . (1) ①

………………………………2分

② 证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°

∴∠C=∠DBN

∵∠DBN +∠ABD=180° ∴∠C+∠ABD=180°

在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC=180°

∵∠BAC +∠MAC=180°

∴∠CDB=∠MAC ………………………………4分

(2) BC=3时，对于任意一点C，总有AB+BD=3 ………………………………5分

证明：连接BC，在直线MN上截取AH=BD，连接CH

∵∠MAC=∠CDB，AC=CD

∴ACHDCB ………………6分 ∴∠ACH=∠DCB，CH=CB

∵∠DCB +∠ACB=∠ACD=60°

∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60° ∴△HCB是等边三角形.

∴BC=BH=BA+BD=3. ………………………………7分

【题11】（2020·燕山27二模）

27．已知菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为边AD上一个动点(不与点A，D重合)，点F在边DC上，且AE

＝DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF． (1) 依题意补全图形；

(2) 求证：△BEF为等边三角形；

(3) 用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系，并证明．

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AEDBC

27．(1)解：补全图形，如图．

(2)证明：∵菱形ABCD， ∴AB＝AD． 又∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，

∴∠ABD＝∠BDC＝60°，AB＝BD． 在△ABE和△DBF中，

GAEDFBCAB＝BD，∠A＝∠BDF，AE＝DF， ∴△ABE≌△DBF，

∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，

∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠EBD＋∠ABE＝∠ABD＝60°， ∴△BEF为等边三角形．

(3) BG，GF，CF的数量关系为3(BG－CF)＝2GF． 证明：如图2，取FG中点H，连接DH， ∵AE＝DF＝DG，∠FDG＝120°， ∴∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF， ∴GF＝2GH＝2DG·cos30°＝3DG． 又∵△BCD为等边三角形， ∴BD＝CD，∠BDC＝60°． ∵∠FDG＝120°，

∴∠BDC＋∠FDG＝180°，即B，D，G三点在同一条直线上， ∴BG＝BD＋DG＝CD＋DG＝CF＋DF＋DG＝CF＋2DG， ∴BG－CF＝2DG．

∴3(BG－CF)＝23DG＝2GF．

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GAEDHFBC

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