同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学

第六篇多元微积分学

第九章 多元函数微分学及其应用

我们以前学习的函数只有一个自变量,这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素,解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法。

第1节多元函数的基本概念

1.1 平面点集

为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的,大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域．

1.1.1邻域

设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,是某一正数，与点P0(x0,y0)的距离小于的点

P(x,y)的全体，称为点P0(x0,y0)的邻域，记为U(P0,)，即

U(P0,)PP0P,

亦即U(P0,)(x,y)(xx0)2(yy0)2．

U(P0,)在几何上表示以P0(x0,y0)为中心，为半径的圆的内部（不含圆周)．

上述邻域U(P0,)去掉中心P0(x0,y0)后,称为P0(x0,y0)的去心邻域,记作U(P0,)．

oU(P0,)(x,y)0(xx0)2(yy0)2.

如果不需要强调邻域的半径，则用U(P0)表示点P0(x0,y0)的邻域，用U(P0)表示

ooP0(x0,y0)的去心邻域．

1。1。2区域

下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系．

设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点,则P与E的关系有以下三种情形：

（1） 内点：如果存在P的某个邻域U(P),使得U(P)E，则称点P为E的内点．

1

(2） 外点：如果存在P的某个邻域U(P),使得U(P)E,则称P为E的外点．

(3）边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E的点,也有不属于E的点,则称点P为E的边界点．E的边界点的集合称为E的边界,记作E．

例如：点集E1x,y|0x2y21,除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是

E1的内点，圆外部的点都是E1的外点，圆心及圆周上的点为E1的边界点;又如平面点集

E2x,y|xy1，直线上方的点都是E2的内点，直线下方的点都是E2的外点,直线

上的点都是E2的边界点（图9—1)．

图9—1

显然，点集E的内点一定属于E;点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E．

如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集,点集E1是开集，E2x,y|0x2y21x,y|xy1不是开集．

x,y|xy0不是连通的(图

设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来,则称开集E是连通集（图9—2)．点集E1和E2都是连通的，点集E39—2）．

图9—2

连通的开集称为开区域(开域）．

从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．

2

开区域E连同它的边界E构成的点集,称为闭区域(闭域），记作E (即E=EE)． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及E4都是闭域，而E5x,y|x2y21x,y|1x2y22既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包

含边界的平面点集．

本书把开区域与闭区域统称为区域．

如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内,即存在正数r,使EUO,r,则称E为有界区域，否则,称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域．

记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点．显然,E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如,设E6x,y|0x2y21,那么点0,0既是E6的边界点又

22是E6的聚点,但E6的这个聚点不属于E6;又如，圆周xy1上的每个点既是E6的边界点，也是E6的聚点，而这些聚点都属于E6．由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以

(,)，(,),不属于E．再如点E7=1,1，每一个点都不是聚点．

1。1。3n维空间Rn

一般地，由n元有序实数组x1,x2,11221133,(11),nn,原点0,0是它的聚点,E7中的即 ,xn的全体组成的集合称为n维空间,记作Rn．

Rnx1,x2,n元有序数组x1,x2,,xn|xiR,i1,2,,n．

,xn称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标．

,xn与Qx1,x2,,xn之间的距离为

类似地规定，n维空间中任意两点Px1,x2,PQ(y1x1)2(y2x2)2(ynxn)2．

n前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，P0R，δ是某一正数，则点P0的δ邻域为

UP0,P|PP0,PRn．

以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念．

1。2 多元函数的概念

3

1。2.1n元函数的定义

定义1 设D是Rn中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f，使得对于D中的每一个点Px1,x2,记为

,xn，都能由f唯一地确定一个实数y,则称f为定义在D上的n元函数，

yfx1,x2,,xn,x1,x2,,xnD．

其中x1,x2,,xn叫做自变量，y叫做因变量,点集D叫做函数的定义域，常记作Df．

取定x1,x2,,xnD，对应的fx1,x2,,xn叫做x1,x2,,xn所对应的函数

值．全体函数值的集合叫做函数f的值域,常记为fD[或Rf］，即

fDy|yfx1,x2,,xn,x1,x2,,xnDf．

当n=1时,D为实数轴上的一个点集,可得一元函数的定义，即一元函数一般记作

yfx,xD,DR；当n=2时,D为xOy平面上的一个点集，可得二元函数的定义,

即二元函数一般记作zfx,y,x,yD,DR，若记Px,y，则也记作

2zfP．

二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．

多元函数的定义域的求法,与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义,则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数,使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域．

例1在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为

YAKL（其中A,,均为正常数)．

这是以K,L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数．该函数的定义域为

K,L|K0,L0．

例2求函数zlnyxx1xy22的定义域D,并画出D的图形．

解要使函数的解析式有意义，必须满足

yx0,x0, 1x2y20,即Dx,y|x0,xy,x2y21，如图9—3划斜线的部分．

4

图9-3 图9-4

1。2.2。 二元函数的几何表示

设函数zfx,y的定义域为平面区域D，对于D中的任意一点Px,y，对应一确定的函数值zzfx,y．这样便得到一个三元有序数组x,y,z，相应地在空间可得到一点Mx,y,z．当点P在D内变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时,点M就在空间描绘出一张曲面S（图9—4)．其中

Sx,y,z|zfx,y,x,yD．

而函数的定义域D就是曲面S在xOy面上的投影区域．

例如zaxbyc表示一平面；z1x2y2表示球心在原点，半径为1的上半球面．

1.3二元函数的极限

二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广．二元函数的极限可表述为

定义1设二元函数zf(P)的定义域是某平面区域D,P0为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于Ｐ0时，函数值f（P）无限趋于某一常数A，则称A是函数f(P)当P趋于P0时的(二重）极限．记为

PP0limf(P)A或f(P)APP0,

此时也称当PP0时f(P)的极限存在，否则称f(P)的极限不存在．若P0点的坐标为(x0,y0),P点的坐标为x,y，则上式又可写为

x,yx0,y0lim． f(x,y)A或 f（x,y）→A（x→x０，y→y０）

类似于一元函数,f(P)无限趋于A可用fPA来刻画，点PPx,y无限趋

22于P0P0(x0,y0)可用P0P(xx0)(yy0)刻画，因此,二元函数的极限也可

如下定义．

5

定义2设二元函数zf(P)f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的一个聚点,A为常数．若对任给的正数,不论多小，总存在

0，当P(x,y)D，且

P0P(xx0)2(yy0)2时，总有

f(P)A,

则称A为zf(P)当PP0时的(二重）极限．

注①定义中要求P0是定义域D的聚点,是为了保证在P0的任何邻域内都有D中的点． ②注意到平面上的点P趋近于P0的方式可以多种多样:P可以从四面八方趋于P0，也可以沿曲线或点列趋于P0．定义1指出:只有当P以任何方式趋近于P0，相应的f(P)都趋近于同一常数A时,才称A为f(P)当PP0时的极限．如果P(x,y)以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线）趋于P0(x0,y0)时，即使函数值f(P)趋于同一常数A，我们也不能由此断定函数的极限存在．但是反过来,当P在D内沿不同的路径趋于P0时，f(P)趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在．

③二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述．

xy22,xy0,22例3 设f(x,y)xy判断极限limf(x,y)是否存在？

x,y0,0220,xy0,解当P(x,y)沿x轴趋于(0,0)时,有y=0，于是

x,y0,0y0limf(x,y)limx000；

x202当P(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,有x=0，于是

x,y0,0x0limf(x,y)lim00．

y002y2但不能因为P(x,y)以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等,就断定所考察的二重极限存在．

因为当P(x,y)沿直线ykxk0）趋于(0,0)时，有

6

x,y0,0ykxlimkx2kf(x,y)lim， 2x0(1k)2x21kx,y0,0这个极限值随k不同而变化，故例4 求下列函数的极限:

limf(x,y)不存在．

ln1xy2xy4xy2(1）lim;（2）lim; (3)． lim2222x,y0,0x,y0,0x,y0,0xyxyyxy解 （

1

）

2xy4xy11limlim．

x,y0,0x,y0,0xy2xy4x,y0,02xy4xy4lim22（2)当x0,y0时,xy0,有xy2xy．

22这时，函数

xy有界，而y是当x→0且y→0时的无穷小，根据无穷小量与有界函

x2y2数的乘积仍为无穷小量，得

xy2lim0． x,y0,0x2y2（3)

x,y0,0limln1xyyxy22x,y0,0limxyyxy22x,y0,0limxxy221．

从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同．

1。4 二元函数的连续性

类似于一元函数的连续性定义,我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性． 定义3 设二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，如果

x,y0,0limfx.yf(x0,y0),

则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,P0(x0,y0)称为f(x,y)的连续点;否则称f(x,y)在P0(x0,y0)处间断（不连续），P0(x0,y0)称为f(x,y)的间断点．

与一元函数相仿，二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续，必须满足三个条件:①函数在点P0(x0,y0)有定义；②函数在P0(x0,y0)处的极限存在;③函数在P0(x0,y0)处的极限与P0(x0,y0)处的函数值相等,只要三条中有一条不满足，函数在P0(x0,y0)处就不连续．

7

xy,x2y20,122由例3可知，f(x,y)xy在(0,0)处间断;函数z在直线

xy0,x2y20,xy0上每一点处间断．

如果f(x,y)在平面区域D内每一点处都连续，则称f(x,y)在区域D内连续，也称

f(x,y)是D内的连续函数，记为f(x,y)CD．在区域D上连续函数的图形是一张既

没有“洞”也没有“裂缝\"的曲面．

一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用，故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数（在商的情形要求分母不为零）；二元连续函数的复合函数也是连续函数．

与一元初等函数类似，二元初等函数是可用含x,y的一个解析式所表示的函数，而这个式子是由常数、x的基本初等函数、y的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的,例如sinxy,

xyxarcsin,等都是二元初等函数．二元初等函数在其定义域的区域

x2y2y内处处连续．

与闭区间上一元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质．

性质1(最值定理）若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必取得最大值与最小值．

推论若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上有界．

性质2 (介值定理）若f(x,y)在有界闭区域D上连续,M和m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值,则对于介于M与m之间的任意一个数C,必存在一点(x0,y0)D，使得

f(x0,y0)C．

以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去．

习题9—1

1．判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边界。

(1） （3)

x,y|x0,y0； (2）x,y|1x22y24；

x,y|yx．

2．求下列函数的定义域，并画出其示意图:

8

1x2y2(1）z122； （2）z;

ln(xy)ab（3）zxy； （4）uarccoszxy22．

3．设函数fx,yx32xy3y2,求 （1)f2,3； (2)f12,; （3）fxy,xy。 xy4．讨论下列函数在点0,0处的极限是否存在： （1) zxyxyz； （2)． 24xyxy5．求下列极限： (1)

1xysinxy; （2）lim；

x,y0,1x2y2x,y0,0xlim(3）

x,y1,0limlnxeyxy22；（4）

x,y0,0limxy11．

xyxy22,xy0,226．证明：二元函数fx,yxy在0,0点连续．

0,x2y20.11xysinsin,xy0,xy7．设二元函数fx,y，试判断fx,y在点0,0处

0,xy0.的连续性．

y22x8．函数z2在何处是间断的？

y2x

9

第2节偏导数与全微分

2.1偏导数的概念

2。1。1偏导数的定义 在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念．由于二元函数的自变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率．在这一节,我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念．

设函数zfx,y在点x0,y0的某邻域内有定义,x在x0有改变量xx0,而

yy0保持不变，这时函数的改变量为

xzfx0x,y0fx0,y0,

xz称为函数fx,y在x0,y0处关于x的偏改变量（或偏增量）．类似地可定义fx,y关于y的偏增量为

yzfx0,y0yfx0,y0．

有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义．

定义1设函数zfx,y在x0,y0的某邻域内有定义，如果

xzf(x0x,y0)f(x0,y0) limx0xx0xlim存在，则称此极限值为函数zfx,y在x0,y0处关于x的偏导数，并称函数zfx,y在点x0,y0处关于x可偏导．记作

zxxx0yy0,fxxx0yy0,zxxx0yy0,fx(x0,y0).

类似地，可定义函数zfx,y在点x0,y0处关于自变量y的偏导数为

y0limyzylimy0f(x0,y0y)f(x0,y0)，

y记作

zyxx0yy0,fyxx0yy0,zyxx0yy0,fy(x0,y0).

如果函数zfx,y在区域D内每一点x,y处的偏导数都存在,即

fx(x,y)limx0f(xx,y)f(x,y)

x 10

fy(x,y)limy0f(x,yy)f(x,y)

y存在,则上述两个偏导数还是关于x，y的二元函数，分别称为z对x，y的偏导函数（简称为偏导数）．并记作

zzff,或,或zx,zy或fx(x,y)，fy(x,y)． xyxy不难看出，zfx,y在x0,y0关于x的偏导数fx(x0,y0)就是偏导函数fx(x,y)在

x0,y0处的函数值,而fy(x0,y0)就是偏导函数fy(x,y)在x0,y0处的函数值．

由于偏导数是将二元函数中的一个自变量固定不变，只让另一个自变量变化，相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极限；因此，求偏导数问题仍然是求一元函数的导数问题．求

ff时,把y看做常量,将zfx,y看做x的一元函数对x求导；求时，把x看做

yx常量，将zfx,y看做y的一元函数对y求导．

三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了． 例1 求函数zsinx+ye在点1,1处的偏导数．

xy解将y看成常量，对x求导得

zexy[cos(xy)ysin(xy)]; x将x看成常量，对y求导得

zexy[cos(xy)xsin(xy)]． y再将x1,y1代入上式得

zx22x1y1e1,zyx1y1e1．

例2求函数zxyylnx4的偏导数．

zy2z2xy，x22ylnx． 解

yxx例3设zxyx0,x1，求证:

xz1z2z． yxlnxy 11

证因为

zzyxy1，xylnx，

yx所以

xz1zx1yyxy1xlnxxyxy2z． yxlnxyylnx例4求函数usinxy2ex的偏导数． 解将y和z看做常量,对x求导得

ucosxy2ez， x同样可得

uu2ycosxy2ex,ezcosxy2ez． yz2。1。2二元函数偏导数的几何意义

由于偏导数实质上就是一元函数的导数，而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的斜率,因此，二元函数的偏导数也有类似的几何意义．

设zfx,y在点x0,y0处的偏导数存在，由于fx(x0,y0)就是一元函数fx,y0在x0处的导数值，即fx(x0,y0)＝df(x,y0)，故只须弄清楚一元函数fx,y0的dxxx0几何意义,再根据一元函数的导数的几何意义，就可以得到fx(x0,y0)的几何意义．zfx,y在几何上表示一曲面，过点x0,y0作平行于xz面的平面yy0，该平面与曲面zfx,y相截得到截线

zf(x,y),1：

yy.0若将yy0代入第一个方程，得zfx,y0．可见截线Γ１是平面yy0上一条平面

1在yy0上的方程就是zfx,y0．曲线，从而fx(x0,y0)＝df(x,y0)表示1dxxx0在点M0x0,y0,fx0,y01处的切线对x轴的斜率（图9-5）．

同理，fy(x0,y0)＝df(x0,y)表示平面xx0与zfx,y的截线 dyyy0zf(x,y),2:

xx0.

12

在M0x0,y0,fx0,y02处的切线对y轴的斜率（图9—5）．



图9—5

例5 讨论函数

xy,x2y20,22 f(x,y)xy0,x2y20,在点（0,0)处的两个偏导数是否存在．

(0x)00f(0x,0)f(0,0)(0x)202lim0． 解fx(0,0)limx0x0xx同样有fy(0,0)0．这表明fx,y在(0,0)处对x和对y的偏导数存在，即在(0,0)处两个偏导数都存在．

由上节例3知：该函数在(0,0)处不连续．本例指出，对于二元函数而言，函数在某点的偏导数存在,不能保证函数在该点连续．但在一元函数中，我们有结论：可导必连续．这并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x轴与y轴方向的变化率，fx(x0,y0)存在，只能保证一元函数fx,y0在x0处连续，即yy0与zfx,y的截线1在M0x0,y0,z0处连续．同时fy(x0,y0)只能保证2在M0x0,y0,z0处连续，但两曲线1，2在

M0x0,y0,z0处连续并不能保证曲面zfx,y在M0x0,y0,z0处连续．

2.2 高阶偏导数

设函数zfx,y在区域D内具有偏导数

zzfy(x,y)，那么在D内=fx(x,y),yxfx(x,y)及fy(x,y)都是x， y的二元函数．如果这两个函数的偏导数还存在,则称它们是函

数zfx,y的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

13

z2zz2zfxy(x,y), ()2fxx(x,y),()yxxyxxxz2zz2z()fyx(x,y)，()2fyy(x,y)， xyyxyyy）与fyx (或f21）称为fx,y的二阶混合偏导数．同样可定义三阶，其中fxy （或f12四阶，…，n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

3z例6求函数zxyxsiny的所有二阶偏导数和． 2yx2解因为

zz=y+2xsiny, =x+x2cosy，

yx2z=2siny，2x2z＝1＋2xcosy， xy2z23z2cosy． =xsiny，

y2yx2所以

2z=1+2xcosy，yx2z2z从本例我们看到，即两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然． xyyx事实上,有如下定理．

2z2z定理1如果函数zfx,y的两个二阶混合偏导数和在区域D内连续，

xyyx则在该区域内有

2z2z． xyyx定理1表明:二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。对于二元以上的函数，也可以类似的定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关．

2z2z例7验证函数zlnxy满足方程220．

xy22解

1zlnx2y2lnx2y2

2zxzy2,, 222xxyyxy所以

14

222zxyx2xy2x2， 222222x2xyxy222zxyy2yx2y2, 2222222yxyxy故

2z2zy2x2x2y220． 2222222xyxyxy

2。3 全微分

2。3.1全微分的概念

我们知道，一元函数yfx如果可微，则函数的增量Δy可用自变量的增量Δx的线性函数近似求得．在实际问题中，我们会遇到求二元函数zfx,y的全增量的问题，一般说来，计算二元函数的全增量Δz更为复杂，为了能像一元函数一样，用自变量的增量Δx与Δy的线性函数近似代替全增量，我们引入二元函数的全微分的概念．

定义2设函数zfx,y在P0x0,y0的某邻域内有定义,如果函数z在P0处的全增量

zfx0x,y0yfx0,y0可表示成

zAxBy+o，

其中A,B是与Δx，Δy无关，仅与x0,y0有关的常数，ρ＝(x)(y)，o（ρ）表示当Δx→0，Δy→0时关于ρ的高阶无穷小量，则称函数zfx,y在P0x0,y0处可微，而称

22AxBy为fx,y在点P0x0,y0处的全微分,记作dzxx0yy0或dfxx0yy0，即

dzxx0yy0AxBy．

若zfx,y在区域D内处处可微，则称fx,y在D内可微，也称fx,y是D内的可微函数．zfx,y在x,y处的全微分记作dz,即

dzAxBy．

二元函数zfx,y在点P（x,y）的全微分具有以下两个性质： （1） dz是x,y的线性函数，即dzAxBy;

（2） zdz，zdzo0,因此，当x,y都很小时，可将dz作为计

15

算Δz的近似公式．

多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续．但是对于可微函数却有如下结论：

定理2如果函数zfx,y在点x,y处可微，则函数在该点必连续． 这是因为由可微的定义,得

zfxx,yyfx,yAxBy+o

x,y0,0limz0,

即

x,y0,0limf(xx,yy)f(x,y)．

即函数zfx,y在点x,y处连续．

一元函数可微与可导是等价的,那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢？

定理3如果函数zfx,y在点x,y处可微，则zfx,y在该点的两个偏导数

zz,都存在,且有 xydzzzxy． xy证因为函数zfx,y在点x,y处可微,故

zAxBy+o, ρ＝(x)2(y)2．

令y0，于是xzfxx,yfx,yAxo由此得limx2．

(x)xfxx,yfx,yxzlimlim,

x0xx0x0xxx即

zA． xzB． y同理可证得

定理3的逆命题是否成立呢？ 即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢？ 一般情况下答案是否定的．如函数

xy,x2y20,22f(x,y)xy

0,x2y20在0,0处两个偏导数都存在，但fx,y在0,0处不连续，由定理2知，该函数在0,0

16

处不可微．但两个偏导数既存在且连续时，函数就是可微的．我们不加证明地给出如下定理．

定理4如果函数zfx,y在x,y处的偏导数

zz,存在且连续，则函数xyzfx,y在该点可微．

类似于一元函数微分的情形,规定自变量的微分等于自变量的改变量．即

dxx,dyy,于是由定理3有

dzzzdxdy． xy以上关于二元函数的全微分的概念及结论,可以类推到三元以上的函数中去．比如若三元函数ufx,y,z在点Px,y,z处可微,则它的全微分为

du例8 求下列函数的全微分:

uuudxdydz． xyzyz （1） zxsin2y； （2） ux．

2解 （1) 因为

zz 2xsin2y，2x2cos2y，所以dz2xsin2ydx2x2cos2ydy．

yxuuzxyzlnxyzxyz1,yxyz1（2） 因为

uyxyzlnx， z所以duyzx

dxzxyzlnxdyyxyzlnxdz．

例9求zxye在点1,2处的全微分．

xy解因

zyyexy，xzxxexy得 yzx22e2,zy1e2，

x1y2x1y2于是dzx1y222e2dx1e2dy．

3。1.2全微分的运算法则

类似于一元函数微分的运算法则,有

17

定理5 （全微分四则运算法则)设fx,y，gx,y在Px,y处可微,则 1） f(xy)g(xy)在x,y处可微,且

df(xy)g(xy)df(xy)dg(xy)；

2) 若k为常数,kf(xy)在点x,y处可微,且

dkf(xy)kdf(xy)；

3) f(xy)g(xy)在点x,y处可微，且

df(xy)g(xy)g(xy)df(xy)f(xy)dg(xy)；

4） 当g(x，y）≠0时，

f(xy)在点x,y处可微，

g(xy)且df(xy)g(xy)df(xy)f(xy)dg(xy)． 2g(xy)g(xy)例10求zxsinx2y2的全微分．

解

zzsinx2y22x2cosx2y2,2xycosx2y2，

yx22xdsinx2y2sinx2y2dx dzdxsinxy22222dx2xycosx2y2dy sinxy2xcosxy 习题9-2

1．求下列各函数的偏导数:

yyxy(1） z3x6xy5y; （2）zln； （3)zxye； （4）uxz．

x222．已知fx,yx2ye,求fx0,1，fy0,1．

x3．设zxyxy,求

11+xy22zx3,4,zy0,5．

4．设z=e,求证：x2zzy22z． xy 18

5．求下列函数的所有二阶偏导数．

(1) zxy4xy； （2） zexcosyxsiny;

4422 （3） zxlnxy； （4） uarctanx． y6．设fx,y,zxy2yz2zx2，求fxx0,0,1,fxz1,0,2,fyz0,1,0及

fzzx2,0,1．

2r2r2r27．验证rxyz满足222．

xyzr2228．求下列函数的全微分。

326(1）z4xy5xy; （2）ze；

xy（3 ）zxyx; （4）zy1zyxy22．

9．设fx,y,zxyy,求dz|1,1,1． x10．设ze,x1,y1,x0.15,y0.1,求dz．

19

第3节多元复合函数和隐函数的求导法则

3.1复合函数的求导法则 3.1.1复合函数的求导法则

现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用．

定理1 设函数zfu,v), 其中ux，vx．如果函数ux，

vx都在x点可导,函数zfu,v在对应的点u,v处可微，则复合函数zfx,x在x处可导,且

dzzduzdv． （9—3-1） dxudxvdx证设自变量x的改变量为Δx，中间变量ux和vx的相应的改变量分别为Δu和Δv，函数z的改变量为Δz．因zfu,v在u,v处可微，由可微的定义有

zdzo22zzuv+o， uv其中(u)(v),o00,且lim()0,故有

0zzuzv()． xuxvxx因为ux和vx在点x可导，故当x0时,Δu→0，Δv→0，ρ→0，

uduvdv→，→． xdxxdx在上式中令Δx→0,两边取极限，得

dzzduzdv． dxudxvdx注意，当Δx→0时,

这是由于

()→0．

xx0limxlim(x0u2v2dudv)()()2()2， xxdxdx这说明Δx→0时,

x是有界量，

()()为无穷小量．从而→0（Δx→0）． x 20

用同样的方法，可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法则．比如

zfu,v,w，而ux，vx，wwx,则

dzzduzdvzdw．(9—3—2） dxudxvdxwdx

例1设zuv，ucost，vsint求解利用公式（9—3—1）求导, 因为

2dz. dtzz=2uv,=u2， uvdudvsint，cost, dtdt所以

dzzduzdvuvsintu2cost2costsin2tcos3t． dtudtvdt2本题也可将ucost,vsint代入函数zuv中，再用一元函数的取对数求导法,求得同样的结果．

观察公式（9—3—1） ,（9—3-2）可以知道，若函数z有2个中间变量，则公式右端是2项之和,若z有3个中间变量，则公式右端是3项之和,一般地,若z有几个中间变量,则公式右端是几项之和,且每一项都是两个导数之积，即z对中间变量的偏导数再乘上该中间变量对x的导数．

公式(9-3—1）,（9—3—2）可借助复合关系图来理解和记忆．

图9—6

公式（9—3-1) ,(9-3—2）称为多元复合函数求导的链式法则． 上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x和y的情形．关于这种复合函数的求偏导问题，有如下定理:

定理2 设zfu,v在（u,v）处可微，函数uux,y及vvx,y在点x,y的偏导数存在，则复合函数zfux,y,vx,y在x,y处的偏导数存在，且有如下的链式法则

zzuzv,xuxvxzzuzv(9-3-3） .yuyvy可以这样来理解（9—3—3）：求

z时，将y看做常量,那么中间变量u和v是x的一元x21

函数，应用定理1即可得

z．但考虑到复合函数zfux,y,vx,y以及uux,yx与vvx,y都是x，y的二元函数，所以应把(9—3-1）中的全导数符号“d\"改为偏导数符号“”．

公式（9—3—3）也可以推广到中间变量多于两个的情形．例如，设则复合函ux,y,vx,y,wwx,y的偏导数都存在,函数zfu,v,w可微，数

zfux,y,vx,y,wx,y

对x和y的偏导数都存在,且有如下链式法则

zzuzvzw,xuxvxwxzzuzvzw（9-3—4) .yuyvywy特别对于下述情形：zfu,x,y可微,而ux,y的偏导数存在,则复合函数

zfx,y,x,y

对x及y的偏导数都存在，为了求出这两个偏导数，应将f中的变量看做中间变量：

ux,y,vx,wy．

此时，

vvww=1,=0,=0,=1． xyxy由公式（9—3-4）得

zffu,xxuxzffu(9—3-5） .yyuyzff与的意义是不同的．是把fu,x,y中的u与y都看做常量对x的偏xxxz导数，而却是把二元复合函数fx,y,x,y中y看做常量对x的偏导数．

x注这里

公式(9—3—3），(9-3-4），（9—3-5）可借助图9—7理解．

22

图9—7

例2设zesinv,uxy,vxy,求

uzz,． xy解

zzuzveusinvyeucosv1 xuxvxexyysinxycosxy，

zzuzv=eusinvxeucosv1 yuyvyexyxsinxycosxy．

例3设zfu,v可微，求zfx2y2,exy对x及y的偏导数．

xy解引入中间变量uxy，ve，由（9—3—3）得

22zff2xyexy2xf1(x2y2,exy)yexyf2(x2y2,exy)， xuvzff(2y)xexy2yf1(x2y2,exy)xexyf2(x2y2,exy)． yuv22xy22xy注记号f1(xy,e)与f2(xy,e)分别表示fu,v对第一个变量与第二个变

22xy量在(xy,e）处的偏导数,可简写为f1与f2，后面还会用到这种表示方法．

例4设zxyfxy,, yxxy1zxyxyy=yf(,)+xyf1(,)f2(,)(2) xyxyxxyxyxyxyy2xyyf(,)+xf1(,)f2(,)，

yxyxxyx 23

z=xfyxyxyxy1x,+xyf,()+f, 122yyxyxxyxxyx2xyxyxf,f1,yf2,．

yxyyxyx下面给出经济学中经常遇到的齐次函数的概念．

设函数zfx,y的定义域为D，且当x,yD时，对任给的t∈R，t＞0，仍有

tx,tyD．如果存在非负常数k,使对任意的x,yD，恒有

ftx,tytkfx,y，

则称二元函数zfx,y为k次齐次函数．k=1时，称为线性齐次函数．

例5证明k次齐次函数fx,y满足

xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y)．

证明在zftx,ty中，令utx,vty,当取定一点x,y时ftx,ty是t的一元函数，于是有

dzzduzdvfx(tx,ty)xfy(tx,ty)y． dtudtvdt又因为ztfx,y，所以有

kdzktk1f(x,y)． dt因此,对任意的t，有

fx(tx,ty)xfy(tx,ty)yktk1f(x,y)。

3。1.2全微分形式不变性

我们知道一元函数的一阶微分形式具有不变性，多元函数的全微分形式也具有不变性．下面以二元函数为例来说明．

设zfu,v具有连续偏导数，则有全微分

dzzzdudv． uv如果u，v是中间变量，即ux,y,vx,y，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数zfx,y,x,y的全微分为

dzzzdxdy xy24

zuzvzuzvdxdy uxvxuyvyzuuzvvdxdydxdy uxyvxyzzdudv． uv可见,无论z是自变量u,v的函数还是中间变量u，v的函数，它的全微分形式都是一样

的,这种性质叫做多元函数的全微分形式的不变性．

例6利用一阶全微分形式的不变性求函数zfx2y2,exy的偏导数与全微分． 解引入中间变量uxy,ve，则zfu,v．

22xydzzzdudvf1d(x2y2)f2d(exy) uvf1(dx2dy2)f2exyd(xy) f1(2xdx2ydy)f2exy(ydxxdy) (2xf1yexyf2)dx(2yf1xexyf2)dy．

因此

zz=2xf1yexyf2，=2yf1xexyf2．

yx

3。2隐函数的偏导数

在一元函数的微分学中，我们曾介绍了隐函数的求导方法：方程Fx,y0两边对x求导，再解出y′．

现在我们介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式． 3。2.1一个方程的情形

定理3设函数Fx,y在点P0x0,y0的某一邻域内有连续的偏导数且

Fx0,y00,Fyx0,y00，则方程Fx,y0在点P0x0,y0的某邻域内惟一确定

一个具有连续导数的函数yfx，它满足条件y0fx0,并且有

Fdyx． (9—3—6） dxFy公式(9-3-6）就是隐函数的求导公式．

这里仅对公式（9—3-6）进行推导．

将函数yfx代入方程Fx,y0得恒等式

25

Fx,fx0．

其左端可以看作是x的一个复合函数，上式两端对x求导，得

FFdy0． xydx由于Fy连续，且Fyx0,y00,所以存在点P0x0,y0的一个邻域，在这个邻域内

Fy0，所以有

Fdyx． dxFy如果Fx,y0的二阶偏导数也都连续，我们可以把(9—3-6）的两端看作x的复合函数而再一次求导，得到

d2yFx2dxxFyFxyFydy dx FxxFyFyxFxFy2FxyFyFyyFxFxFFy2y3y2FxxFy22FxyFxFyFyyFx2F.

例7验证方程xy10在点0,1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐

2函数yfx且x0时y1，并求这个函数的一阶与二阶导数在x0的值．

解 设Fx,yxy1,则Fx2x,Fy2y,F0,10,Fy0,120。由此，

22由定理3可知，方程xy10在点0,1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的

22隐函数yfx且x0时y1。

所以

Fdyxdyx,dxFyydxx0y10；

xyxyd2yy2x21d2y3,2dx2y2y3ydx例8设cosxsinye，求

xyx0y11.

dy． dx26

解法一令Fx,ycosxsinyexy,则

Fxsinxyexy,Fycosyxexy.

由公式（9—3—6）得

dysinxyexysinxyexy. dxcosyxexycosyxexy解法二方程两边对x求导，注意y是x的函数，得

sinxcosydydyexyyx dxdxdysinxyexysinxyexy. 解得dxcosyxexycosyxexy注在第一种方法中x与y都视为自变量，而在第二种方法中要将y视为x的函数y（x)． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，下面介绍三元方程确定二元隐函数的定理． 定理4设函数Fx,y,z在点P0x0,y0,z0的某邻域内具有连续的偏导数，且

Fx0,y0,z00，Fzx0,y0,z00，则方程Fx,y,z0在点P0x0,y0,z0的某一邻

域内能惟一确定一个有连续偏导数的函数zfx,y,它满足条件z0fx0,y0，并且有

FyFzz（9—3—7） x,．

xFzyFz这里仅对公式（9-3—7）进行推导．

将函数zfx,y代入方程Fx,y,z0得恒等式

Fx,y,fx,y0．

其左端可以看作是x和y的一个复合函数，上式两端对x和y求导，得

FxFzzz0,FyFz0． xy由于Fz连续，且Fzx0,y0,z00,所以存在点P0x0,y0的一个邻域，在这个邻域内

Fz0，所以有

FyFxzz,． xFzyFzzz2z,,2. 例9设xyz4z0,求

xyy222 27

解设Fx,yx2y2z24z，则Fx2x,Fy2y,Fz2z4,当z2时,得

zxzy=,=． x2zy2zxz2zx2zx2z2x22z2zx所以2=. 223x2z2z2z3.2。2方程组情形 方程组

F(x,y,u,v)0,(9—3—8) G(x,y,u,v)0中有四个变量，一般其中只能有两个变量独立变化,因此方程组（9—3—8）就可以确定两个

二元函数．下面给出方程（9—3—8）能确定两个二元函数u=u(x，y),v=v（x,y）的条件以及求u，v的偏导数公式．

定理5 设F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x0,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0，且偏导数组成的函数行列式（称为雅可比（Jacobi）式）

J(F,G)Fu(u,v)GuFvGv

在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零,则方程组(9—3—8）在点P(x0,y0,u0,v0)的某邻域内惟一确定连续且具有连续偏导数的两个函数uu(x,y)，vv(x,y),它们满足

u0u(x0,y0),v0v(x0,y0)，且有

Fx(F,G)Gxu1(F,G)(x,v)(F,G)FuxJ(x,v)(u,v)GuFvGv， FvGv(F,G)FyGyu1(F,G)(y,v)(F,G)FuyJ(y,v)(u,v)GuFvGvFvGv，

28

Fu(F,G)Gv1(F,G)(u,x)u(F,G)FuxJ(u,x)(u,v)GuFxGx， FvGv(F,G)FuGuv1(F,G)(u,y)(F,G)FuyJ(u,y)(u,v)Gu定理5我们不证，关于公式(9—3—9)作如下推导:

由于

FyGyFvGv. (9-3-9）

Fx,y,u(x,y),v(x,y)0, Gx,y,u(x,y),v(x,y)0.上述等式两边对x求偏导得

uvFFF0,uvxxx uvGGGv0.xuxx由假设可知在点P(x0,y0,u0,v0)的某邻域内,系数行列式

FuFvJ0,

GvGu解上述二元线性方程组得

Fx(F,G)Gu1(F,G)(x,v)x(F,G)FuxJ(x,v)(u,v)GuFu(F,G)Gv1(F,G)(u,x)u(F,G)FuxJ(u,x)(u,v)Gu同理可得公式（9—3—9) 的另外两个式子． 例10设xuyv0,yuxv1,求

FvGv, FvGvFxGx． FvGvuvuv,,,． xxyy解方程两边对x求偏导,注意u,v是x,y的二元函数,得

29

uvuxy0,xx yuvxv0.xxxyuv将,看成未知量，解上述方程组，在系数行列式Jx2y20时，方程xxyx组有唯一解

uyuvxuxvy． 2xJxy2xuvyvxvyu。 22xJxy类似的，在系数行列式Jxyyxx2y20的条件下，可求得

uxvyuvxuyv2,.． 222yxyyxy一般求方程组所确定的隐函数的导数(或偏导数)，通常不用公式法,而是对各方程的两边

关于自变量求导（或求偏导）,得到所求导数（或偏导数）的方程组，再解出所求量．

例11设函数zf(u)，方程u(u)ptdt确定

yxu是x,y的函数，其中

fu,u可微；Pt,u连续，且u1，求证：p(y)解隐函数zzx,y看成由方程组

zzp(x)0． xyzf(u),x u(u)p(t)dty所确定．当然同时还确定了另一函数uux,y．对方程组的两个方程关于x求偏导，得

uzf(u),xx uu(u)p(x).xx 30

解得

zf(u)p(x)．

x1(u)zf(u)p(y)． y1(u)类似地可求得

故p(y)zzp(x)0. xy习题9—3

1．求下列复合函数的偏导数或导数： （1） 设zuv,uxy,vxy,求

x22zz,； xy(2）设zuv，ulnx,v2,求（3) 设zarctanxy,yex,求

dz； dxdz; dxzz,; xy（4） 设zuv,usinxy,vcosxy，求

(5） 设zfxy,xy,求

zz,； xyuuu,,。 xyz(6) 设ufx,xy,xyz，求

2．设zy,其中f为可微函数，验证： 22fxy1z1zz2． xxyyy3．设zsinyfsinxsiny，其中f为可微函数，证明:

zzsecxsecy1． xy4．设zxy，求dz． 5．设zesinxy，求dz和

xyxyzz,． xy31

2z2z2z,6．求下列函数的2,（其中f 具有二阶偏导数）：

xxyy2(1） zfx2y2;(2）zfxy2,x2y； （3)zfxy,x2y． 7．设zfx,y,xrsin,yrcos，证明：

2z1z12z2z2z222。 22rrrrxy8．求下列隐函数的导数: （1) 设sinyexy0，求(3） 设exyx2dyydy22; (2）设lnxyarctan,求； dxxdx2zez0，求

zz,; xyzz,。 xy（4）设xyz2x2y4z50，求

2229．设zfxyz,xyz,求

zxy,,. xyzxy10．设ufx,y,z有连续偏导数，yyx和zzx分别由方程ey0和

ezxz0确定，求

du． dxzz1． xy11．设2sinx2y3zx2y3z,证明

12．设xxy,z,yyx,z,zzx,y都是由方程Fx,y,z0所确定的具有连续偏导数的函数，证明

xyz1． yzx13．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:

22dydzzxy,,; (1） 设2,求22dxdxx2y3z20,22dydzxyax,,； （2) 设2，求222dxdxxyza,uvufux,v+y,,。 f,g（3） 设，其中具有一阶连续偏导数，求2xxvgux,vy,

32

14．设函数uux,y由方程组

ufx,y,z,t,gy,z,t0,hz,t0

所确定，求

33

uu,. xy

第4节 方向导数和梯度

4。1 方向导数

利用二元函数zfx,y的偏导数

zz,可以解决函数沿平行于坐标轴方向的变化xy率问题．在许多实际问题中，还需要考虑函数沿其他方向的变化率．如要预报某地的风速（风力与风向）,就必须知道气压在该处沿某些方向的变化率．因此，有必要引进多元函数在某点沿一给定方向的方向导数的概念．

定义1设函数zfx,y在点Pl为自点P0x0,y0引0x0,y0的某一邻域内有定义，出的射线,从x轴的正向逆时针转到射线l的转角为02，P0x0x,y0y为

(x)(y) （图9—8）l上的另一点，记PP．如果极限 0lim022zlim0f(x0x,y0y)f(x0,y0)

存在,则称该极限值为函数zfx,y在P0x0,y0处沿方向l的方向导数，记作

flP0或

fl(x0,y0)，即

flP0lim0f(x0x,y0y)f(x0,y0)．（9—4—1）

图9-8

定义中的极限表达式还可表示成另一形式．设l的方向向量为ecos,sin，则l的参数方程为

xx0tcos,t0． yytsin,0所以xtcos,ytsin，从而（9—4-1)式可表示为

flP0limt0f(x0tcos,y0tsin)f(x0,y0)．（9—4—2）

t 34

关于方向导数

f存在的条件及计算方法，有如下的定理． l定理1如果函数zfx,y在点Px,y处可微分，则函数zfx,y在该点处沿任何方向l的方向导数都存在,且

fffcossin．(9—4—3) lxy证由于函数zfx,y在点Px,y处可微分，因此函数的增量为

zfxx,yyfx,ydzoffxyo, xy=(x)2+(y)20．

因为xcos,ysin,

所以

zfxfy()ff()=cossin. xyxy从而得到

lim0zffcossin． xy这表明了方向导数是存在的，且有

fffcossin． lxy例1求函数fx,yxy在点P,0处从点P01,0到P2,1的方向的方向导0122数．

解这里射线l的方向就是向量P0P1,1的方向，将P0P单位化得：

P0PP0P得cos＝(22,), 2222,sin， 22fx(1,0)2,fy(1,0)0．

由偏导数连续可知函数在xOy平面上是可微的，所以

35

fl(1,0)2220()2． 22公式9-4—3）还有另外的形式：

设与l同向的单位向量为cos,cos，其中α，β分别为l与x轴正向和y轴正向所成夹角（方向角）．则当fx,y满足定理1的条件时，有

fffcoscos．（9—4—4） lxy同样可以证明：如果函数函数ufx,y,z在点Px0,y0,z0可微分，那么函数在该点沿着方向elcos,cos,cos的方向导数为

ffffcoscoscos．（9-4—5) lxyx例2求函数fx,y,zxyz在点P1,1,1沿l的方向的方向导数，其中l的方

23向角分别为60,45,60.．

解与l同方向的单位向量为：

121elcos60,cos45,cos602,2,2.

所以有

ff1,xy函数在xOy平面上是可微的，所以

(1,1,1)2,fz(1,1,1)3.．

fl

(1,1,1)12112322.．

2224.2梯度

函数在某点沿方向l的方向导数刻画了函数沿方向l的变化情况,那么函数在某点究竟沿哪一个方向增加最快呢？为此将函数zfx,y在Px,y处的方向导数的公式改写为

fff(,)(cos,sin), lxy 36

这里el＝(cosφ，sinφ)和g(量，于是有

ff,)为两个向量,且el＝(cosφ,sinφ)为与方向l一致的单位向xyfgelgelcosg,elgcos(g,el)． lf可见，g与el的方向一致（亦即g与l的方向一致)时，达到最大，即函数变化最快，

lf的最大值为g，即 lfff()2()2． lxy于是给出梯度的定义．

定义2设zfx,y在点Px,y处存在偏导数

ffff和,则称向量(,)为函数

xyxy，即 fx,y在点P处的梯度,记作gradfx,y（或gradz）

gradfx,y(ff,)． xy梯度的长度(或模）为gradf＝(f2f2)()． xy故函数zfx,y在点P处沿方向l的方向导数可写为

fgradfcos(el,gradf)． l梯度方向就是函数值增加最快的方向,或者说函数变化率最大的方向,也就是说函数

fx,y在P点处的所有方向导数（若存在)中，沿梯度方向的方向导数最大，并且等于梯

度的长度gradf;沿梯度反方向的方向导数最小且为gradf

例3设fx,yxy,求fx,y在点1,1处沿任意方向lelv1,v2,el1的方

2向导数,并求方向导数的最大值和取得最大值的方向．

解因为所以

fx(1,1)y2(1,1)1，

f2xyy(1,1)2，

fl(1,1)fx(1,1)v1fy(1,1)2v＝v12v2．

37

由于沿梯度方向的方向导数最大，且最大方向导数为梯度的长度，而

gradf(1,1)fx(1,1),fy(1,1)(1,2)，

︱graDf︱＝5．

因此fx,yxy2在1,1处方向导数的最大值为5，取得最大值的方向为l1,2．

1，rx2y2z2，求gradu及gradu． rxyz解因为u， ,u,uxyz333rrr例4设u所以有

gradu(ux,uy,uz)(xyz1,,)(x,y,z). r3r3r3r31222． gradu(u)(u)(u)xyz2r

习题9-4

221．求zxy在点（1，2）处沿该点到点（2，2+3)的方向的方向导数．

2．求fx,y,zxyzxyz在点（1，1，1）处沿该点到点（2，2，2）的方向的方向导数．

3．求fx,y,zxyzxyz在点(1，1，2）处沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为60,45,60.．

4．求函数fx,y,zx2y3zxy4x2y4z在点A(0,0，0）和点

2222B5,3,处的梯度以及它们的模．

35．求函数zxxyy在点M1,1处沿与Ox轴的正方向所成角为α的方向l上的

22方向导数．问在什么情况下,此方向导数取得最大值?最小值？等于零?

6．求函数fx,y,zxyz在点P,1,2处变化最快的方向,并求这个方向的方向导012数．

38

第5节 多元函数的应用

5。1 多元函数微分学的几何应用 5.1.1空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为

xt,：yt,t,. zt,这里假定t,t,t在t,上可导

现在要求曲线上一点M0x0,y0,z0处的切线和法平面. 这里

x0t0,y0t0,z0t0,t0,,t0+t0+t00。

在曲线上点M0x0,y0,z0的附近取一点Mx0x,y0y,z0z。作曲线的割线

222MM0，其方程为

xx0yy0zz0， xyz其中x=t0+tt,yt0+tt,zt0+tt.以t除上式各分母,得

xx0yy0zz0, xyzttt当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限就是曲线在点M0处的切线。 所以当t0，即MM0时得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量。向量Tt,t,t就是

000曲线在点M0处的一个切向量

法平面：通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面，其法平面方程为

t0xx0t0yy0t0zz00

例1求曲线xt1,yt2,zt3在点2,3,4处的切线及法平面方程。

23 39

解因为xt1,yt2t,zt3t，而点2,3,4所对应的参数t1。所以切线的方向向量为

2T1,2,3。

于是 切线方程为

x2y3z4123法平面方程为

x22y33z40即x2y3z20。

若曲线的方程为

yx, ：zx.则曲线方程可看作参数方程：

xx,yx, zx.若x,x都在xx0处可导，由上面的讨论知,切向量为T1,x0,x0因此曲线在点M0x0,y0,z0处的切线方程为

xx0yy0zz0，

1x0x0在点M0x0,y0,z0处的法平面方程为

xx0x0yy0x0zz00。

若曲线的方程为

Fx,y,z0, Gx,y,z0.M0x0,y0,z0是曲线上的一个点. 设F,G有对各个变量的连续偏导数，且

F,Gy,z这时方程组

x0,y0,z00.

Fx,y,z0, Gx,y,z0.

40

在点M0x0,y0,z0的附近能确定惟一连续可微的隐函数组

yx, zx.使得

y0x0, zx.00 在方程组

Fx,x,x0, Gx,x,x0.的两边分别对x取导数，得到

FFdyFdzxydxzdx0, GGdyGdz0.xydxzdx故可解得

F,Gx,zdyxF,Gdxy,zFxGxFyGyFzF,GFyFxGzdzy,xGyGx,x.

F,GFyFzFzdxy,zGyGzGz所以，得到曲线在点M0x0,y0,z0处的切线方程为

xx0F,Gy,zM0yy0F,Gz,xM0zz0F,Gx,y.

M0曲线在点M0x0,y0,z0处的法平面方程为

F,Gy,zM0xx0F,Gz,xx0,y0,z0M0yy0F,Gx,yM0zz00.

F,G 同理可推出：当

x,yF,G0和

z,xx0,y0,z00时，曲线在点

M0x0,y0,z0处的切线方程和法平面方程.

例2求曲线xyz6,xyz0在点1,2,1处的切线及法平面方程。

222 41

解为求切向量，将所给方程的两边对x求导数。得

2x2ydy2zdz0dxdxdy1dz0dxdx解方程组得

dyzxdzxydy，dxyzdxyzdx1,2,10,dzdx1,2,11.

所求切线方程为

x1y2z1101法平面方程为

x10y2z10

即xz0

5。1。2曲面的切平面与法线 设曲面的方程为

Fx,y,z0

M0x0,y0,z0是曲面上的一点,并设函数Fx,y,z的偏导数在该点连续且不同时为零.

在曲面上，过点M0任意引一条曲线,假定曲线的参数方程式为

xt,yt,zt,t,,

tt0对应于点M0x0,y0,z0且t0,t0,t0不全为零。

曲线在点M0x0,y0,z0的切向量为

Tt,t,t。

000曲面方程Fx,y,z0两端在tt0的全导数为：

Fxx0,y0,z0t0Fyx0,y0,z0t0Fzx0,y0,z0t00。

引入向量

nFxx0,y0,z0,Fyx0,y0,z0,Fzx0,y0,z0

易见T与n是垂直的。因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线，它们在点M0的切线都与同一向量n垂直,所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面在点M0的切平面。

 42

切平面的方程式是

Fxx0,y0,z0xx0Fyx0,y0,z0yy0Fzx0,y0,z0zz00.

曲面的法线通过点M0x0,y0,z0且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0yy0zz0。

Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。 向量nFxx0,y0,z0,Fyx0,y0,z0,Fzx0,y0,z0 就是曲面在点M0处的一个法向量。

例3 求球面x2y3z6在点1,1,1处的切平面及法线方程式。

222解Fx,y,zx2y3z6

222Fx2x,Fy4y,Fz6z

Fx1,1,12,Fy1,1,14,Fz1,1,16

法向量为n2,4,6或n1,2,3 所求切平面方程为

2x14y16z10即x2y3z140。

法线方程为

x1y2z3。 123讨论若曲面方程为zfx,y,问曲面的切平面及法线方程式是什么形式.

提示：此时Fx,y,zfx,yz nfxx0,y0,fyx0,y0,1。 例4求旋转抛物面zxy1在点2,1,4处的切平面及法线方程

22解fx,yxy1

22nfx,fy,12x,2y,1n|2,1,44,2,1。

所以在点2,1,4处的切平面方程为



4x22y1z40，即4x2yz60

43

法线方程为

x2y1z4。 4215。2多元函数的极值及其求法

5.2。1多元函数的极值与最值

类似一元函数的极值概念,我们有多元函数极值的概念．

定义1设函数zfx,y的定义域为D，P0x0,y0为D的内点. 若存在P0x0,y0的某个邻域UP0D,对于该邻域内异于P0x0,y0的任意点x,y,都有

fx,yfx0,y0，

则称函数fx,y在点P0x0,y0有极大值fx0,y0，点P0x0,y0称为函数fx,y的极大值点；若对于该邻域内异于P0x0,y0的任意点x,y，都有

fx,yfx0,y0，

则称函数fx,y在点P0x0,y0有极小值fx0,y0，点P0x0,y0称为函数fx,y的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点称为函数的极值点．

例如：函数zfx,yx22y2在点0,0处取得极小值；函数z1xy在

22点0,0处取得极大值；而函数zxy在点0,0处既不取得极大值也不取得极小值．这是因为f0,00，而在点0,0的任何邻域内，zxy既可取正值（Ⅰ、Ⅲ象限),也可取负值（Ⅱ、Ⅳ象限）．

以上关于二元函数的极值的概念,可推广到n元函数。 设n元函数ufP的定义域为D，P0为D的内点. 若存在P0的某个邻域UP0D，对于该邻域内异于P0的任意点

P，都有

fPfP0（或fPfP0),

则称函数fP在点P0有极大值（或极小值）fP0.

由一元函数取极值的必要条件，我们可以得到类似的二元函数取极值的必要条件． 定理1(极值存在的必要条件） 设函数zfx,y在点x0,y0处的两个一阶偏导数都存在,若x0,y0是fx,y的极值点，则有

fxx0,y00,fyx0,y00．

44

证若x0,y0是fx,y的极值点,则固定变量yy0,所得的一元函数fx,y0在

x0,y0处取得相同的极值．由一元函数极值存在的必要条件可得

fxx0,y00．

同样可证fyx0,y00．

df(x,y0)dxxx00，即

使得两个一阶偏导数都等于零的点x0,y0称为fx,y的驻点．定理1表明，偏导数存在的函数的极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点．如zxy，0,0是它的驻点，但不是它的极值点．

函数fx,y也有可能在偏导数不存在的点取得极值．如zxy在0,0处取

22得极大值，但该点的偏导数不存在．

怎样判断一个驻点究竟是否为极值点？下面给出一个判定定理．

定理2（极值存在的充分条件）设点x0,y0是函数zfx,y的驻点，且函数

zfx,y在点x0,y0处的某邻域内具有连续的二阶偏导数,记

(x0,y0),Bfxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0)， Afxx 则有

（1） 如果BAC0，则x0,y0为fx,y的极值点；且当A0时，fx0,y02为极小值;当A0时，fx0,y0为极大值．

(2） 如果BAC0，则x0,y0不是fx,y的极值点．

2(3） 如果BAC0，则不能确定点x0,y0是否为fx,y的极值点．

2例5求fx,yxy3x3y9x的极值．

3322解由方程组

2fx(x,y)3x6x90, 2fy(x,y)3y6y0得驻点1,0,1,2,3,0,3,2．

0,fyy6y6， 6x6, fxy又fxx在点1,0处，BAC720，又A120，所以函数取得极小值f1,05；

2 45

在点1,2处，BAC720,函数在该点不取得极值；

2在点3,0处，BAC720,该点不是极值点；

2在点3,2处，BAC720，又A120,所以函数取得极大值

2f3,231．

与一元函数类似，我们也可提出如何求多元函数的最大值和最小值问题．如果fx,y在有界闭区域D上连续，则函数fx,y在D上必有最大(小）值，最大（小)值点可以在D的内部，也可以在闭区域D的边界上．如果fx,y在D的内部取得最大(小）值，那么这最大(小）值也是函数的极大(小）值，在这种情况下，最大（小）值点一定是极大(小）值点之一．因此，要求函数fx,y在有界闭区域D上的最大(小）值时，需将函数的所有极大(小)值与边界上的最大（小）值比较,其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．这种处理方法遇到的麻烦是求区域边界上的最大（小）值往往相当复杂．

例6求二元函数zfx,yxy4xy在由直线xy6，x轴和y轴所围成

2的闭区域D上的最大值与最小值．

解由

2fx(x,y)2xy(4xy)xyxy(83x2y)0, 222f(x,y)x(4xy)xyx(4x2y)0,y得x00y6,4,0和2,1，其中点2,1在区域D的内部．

8y6xy2y,fxy8x3x4xy,fyy2x． 又fxx利用定理2：BAC320,A60，因此点2,1是fx,y的极大值点，

2222f2,14为极大值．

再考虑区域D的边界上的函数值：

在边界x00y6及y00x6上，fx,y0． 在

边

界

xy6上，将

y6x代入

fx,y中，得

fx,6x2x312x20x6．

记gx2x12x，令gx6x24x0得x0或x4．x0已考

322虑,x4时，y2,这时f4,264．

46

比较以上各函数值：fx,y0，f2,14，f4,264，可知zfx,y在闭域D上的最大值为f2,14，最小值为f4,264．

在实际问题中，如果能根据实际情况断定最大(小）值一定在D的内部取得,并且函数在D的内部只有一个驻点的话,那么肯定这个驻点处的函数值就是fx,y在D上的最大（小）值．

例7某厂要用钢板制造一个容积为2m的有盖长方形水箱，问长、宽、高各为多少时能使用料最省?

解要使得用料最省，即要使得长方体的表面积最小,设水箱的长为x，宽为y，则高为表面积

32，xyS2(xyy2222x)2(xy)x0,y0． xyxyxy2S2(y)0x2x由,得驻点（32，32）．

2Sy2(x2)0y由题意知,表面积的最小值一定存在,且在开区域x0,y0的内部取得,故可断定当长为32,宽为32，高为232时,表面积最小，即用料最省的水箱是正方形水箱． 33225。2。2 条件极值和拉格朗日乘数法 以上讨论的极值问题，除了函数的自变量限制在函数的定义域内以外，没有其他约束条件,这种极值称为无条件极值．但在实际问题中，往往会遇到对函数的自变量还有附加条件限制的极值问题，这类极值问题称为条件极值问题．

例如：假设某企业生产A、B两种产品,其产量分别为x,y，该企业的利润函数为

L80x2x2xy3y2100y．

同时该企业要求两种产品的产量满足的附加条件为

xy12．

怎样求企业的最大利润呢？

直接的做法就是消去约束条件，从xy12中，求得y12x，然后将y12x代入利润函数中得

L4x240x768．

47

8x400得这样问题转化为无条件极值问题．按照一元函数的求极值方法,令Lxx5，再代入附加条件得y7．因此，当企业生产5个单位的A产品和7个单位的B产

品时，可获利润最大,最大利润为

L805252573721007868．

但是很多情况下，要从附加条件中解出某个变量不易实现，这就迫使我们寻求一种求条

件极值的直接方法，拉格朗日乘数法能够解决这个问题．

我们来分析函数

zfx,y

在条件x,y0 下取得极值的必要条件．

如果函数zfx,y在x0,y0处取得极值，则有x0,y00．

假定在x0,y0的某一邻域内函数fx,y与x,y均有连续的一阶偏导数，而且

yx0,y00。 由隐函数存在定理可知，方程x,y0确定一个连续且具有连续导数

的函数yx，将其代入fx,y0，得

zfx,x．

函数fx,y在x0,y0取得的极值，相当于函数zfx,x在点xx0取得的极值．由一元可导函数取得极值的必要条件可知

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00．

而由隐函数的求导公式有

dydx把它代入上式得

xx0x(x0,y0)，

y(x0,y0)fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0．

y(x0,y0)这个式子与x0,y00就构成了函数zfx,y在条件x,y0下在点

x0,y0处取得极值的必要条件．

设

fy(x0,y0)y(x0,y0),上述必要条件就变为

48

fx(x0,y0)x(x0,y0)0， fy(x0,y0)y(x0,y0)0，(x0,y0)0.引进辅助函数

Fx,yfx,yx,y

则方程组前两式就是

Fxx0,y00,Fyx0,y00.

函数Fx,y称为拉格朗日函数,参数称为拉格朗日乘子．

拉格朗日乘数法：欲求函数zfx,y满足条件x,y0的极值,可按如下步骤进行：

（1） 构造拉格朗日函数

Fx,yfx,yx,y, 其中为待定参数。

（2） 解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0,Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0, (x,y)0.得x,y及值，则x,y就是所求的可能的极值点．

（3） 判断所求得的点是否为极值点,为极大值点还是极小值点．

这里我们再用拉格朗日乘数法来解答一下前面的例子． 先构造拉格朗日函数

Fx,y80x2x2xy3y2100yxy12．

解方程组

Fx(x,y)804xy0,Fy(x,y)x6y1000, xy120得x5,y7,53．

即当企业生产5个单位A产品，7个单位B产品时利润最大，最大利润为868．

拉格朗日乘数法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 例如，要求函数

ufx,y,z,t

在附加条件

x,y,z,t0,x,y,z,t0,

49

下的极值,可以先做拉格朗日函数

Fx,y,z,tfx,y,z,tx,y,z,tx,y,z,t

其中,均为参数,求其一阶偏导数,并使之为零，与附加条件联立方程组，就能得到可能的极值点．

例8 求函数uxyz在附加条件

1111x0,y0,z0,a0 xyza下的极值。

解作拉格朗日函数

1111Fx,y,zxyz.

xyza则有

FxyzFyxzFzxyx20,0, 0.y2z2注意到以上三个方程的左端的第一项都是三个变量x,y,z中某两个变量的乘积，将各方程两端同乘以相应缺少的那个变量,使各方程左端的第一项都成为xyz，然后将三个方程的左右两端相加,得到

1113xyz0

xyz所以

xyz3a.

则得到解为xyz3a.由此得到点3a,3a,3a是函数的唯一可能的极值点。应用二元函数极值的充分条件可知，点3a,3a,3a是极小值点.因此，函数uxyz在附加条件

1111x0,y0,z0,a0下在点3a,3a,3a处取得极小值27a3. xyza例9假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是

P1182Q1,P212Q2,

其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），Q1和Q2分别表示该产品

50

在两个市场的销售量(即需求量,单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是

C2Q5，

其中Q表示该产品在两个市场的销售总量,即QQ1Q2．

(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企 业获得最大利润;

（2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化;并比较两种价格策略下的总利润大小．

解（1）依题意,总利润函数为

22LRCPQ11P2Q2C2Q1Q216Q110Q25．

由

LQ4Q1160,1 L2Q1002Q2得Q14,Q25，则P（万元/吨），P27（万元／吨)．因只有惟一的驻点4,5，110且所讨论的问题的最大值一定存在，故最大值必在驻点处取得．最大利润为

L24252164105552（万元）．

(2） 若价格无差别,则P1P2,于是2Q1Q26，问题化为求函数

2L2Q12Q216Q110Q25在约束条件2Q1Q26下的极值．

构造拉格朗日函数

2F(Q1,Q2,)2Q12Q216Q110Q251(2Q1Q26)．

由

FQ4Q11620,1F2Q2100, Q2F2Q1Q260得Q15,Q24,2，则P1P28．

最大利润为L2541654104549(万元)．

由（1），（2）两个结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一定价的总利润．

22 51

5。3 多元函数在经济学中的应用

在一元函数的微分学中，我们通过导数研究了经济学中的边际概念,如边际成本，边际收益、边际利润等．多元函数的偏导数，无非是对某一个自变量求导数，而将其他的自变量视作常量，它也反映了某一经济变量随另一经济变量的变化率，因此在经济学中同样也叫“边际\"函数．

5.3。1边际函数 （1） 边际需求

假设对某一商品的市场需求受到商品的价格P与企业的广告投入A这两个因素的影响，其需求函数为

Q500010P40APA0.8A20.5P2．

企业在决策时要研究商品价格的变化和企业广告投入的变化会对商品的需求产生怎样的影响．为了解决这问题，一般的做法是假定其他变量不变，考虑一个变量变化时函数所受到的影响，这就要研究经济函数的偏导数．

价格变化对需求的边际影响为

Q10AP； P广告投入变化对需求的边际影响为

Q40P1.6A． AQQ和分别称为价格的边际需求和广告投入的边际需求． PA(2） 边际成本

设某企业生产甲、乙两种产品，产量分别为x,y，总成本函数为

C3x27x1.5xy6y2y2,

则甲产品的边际成本为

C6x71.5y， x乙产品的边际成本为

C1.5x64y． y5.3。2偏弹性

与一元函数一样，还可以定义多元函数的弹性概念，多元函数的各种弹性称为偏弹性． (1） 需求的价格偏弹性

在经济活动中,商品的需求量Q受商品的价格P1、消费者的收入M以及相关商品的价格P2等因素的影响．假设

QfP1,M,P2．

若消费者收入M及相关商品的价格P2不变时，商品需求量Q将随价格P1的变化而变

52

化．当

Q存在时,则可定义需求的价格偏弹性为 P1eP1lim1Q/QPQ(lnQ)1，

P10P/PQP(lnP)1111其中1Qf(P1P1,M,P2)f(P1,M,P2)．

(2） 需求的交叉价格偏弹性

需求的交叉价格偏弹性表示一种商品的需求量的变化相对另一种商品的价格变化的反应程度,在需求函数

Qf(P1,M,P2)

中,需求的交叉价格偏弹性定义为

eP2lim2Q/QP2Q(lnQ),

P20P/PQP(lnP)2222其中2Qf(P1,M,P2P2)f(P1,M,P2)．

（3)需求的收入价格偏弹性

在需求函数Qf(P1,M,P2)中，需求的收入价格偏弹性定义为

eMlim3Q/QMQ(lnQ)，

M0M/MQM(lnM)其中3Qf(P1,MM,P2)f(P1,M,P2)．

需求的收入价格偏弹性表示需求量的变化相对于消费者收入的变化的反应程度．

例10设某市场牛肉的需求函数为

Q48505P10.1M1.5P2，

其中消费者收入M＝10000，牛肉价格P1＝10，相关商品猪肉的价格P2＝8．求

（1） 牛肉需求的价格偏弹性, （2） 牛肉需求的收入价格偏弹性, （3） 牛肉需求的交叉价格偏弹性，

（4） 若猪肉价格增加10％,求牛肉需求量的变化率． 解当M＝10000,P1＝10，P2＝8时，

Q48505100.1100001.585812．

（1） 牛肉需求的价格偏弹性为

eP1QP10150.009． PQ58121（2） 牛肉需求的收入价格偏弹性为

53

eMQM100000.10.172． MQ5812（3） 牛肉需求的交叉价格偏弹性为

eP2QP281.50.002． P2Q5812QP2得 P2Q(4） 由需求的交叉价格偏弹性eP2PQeP220.00210%0.00020.02%． QP2即当相关商品猪肉的价格增加10％，而牛肉价格不变时，牛肉的市场需求量将增加

0.02%．

习题9—5

1．求曲线xasint,ybsintcost,zccost在t2．求曲线x224处的切线和法平面的方程。

t1t,y,zt2在t1处的切线和法平面的方程。 1ttx2y2z23x0,3．求曲线在点1,1,1处的切线和法平面的方程。

2x3y5z40222xyz50,4．求曲线2在点3,4,5处的切线和法平面的方程. 22xyz5．求曲面ye22xz0在点1,1,2处的切平面和法线的方程。

26．求球面xyz14在点1,2,3处的切平面和法线的方程。

27．求曲面x2y3z21的切平面，使它平行于平面x4y6z0。 8．在曲线xt,yt,zt上一点，使得曲线在此点的切线平行于平面

23222x2yz4。

9．求下列函数的极值。

（1）fx,y4xyxy； （2） ze222xx2yy。

210．求函数zxy在区域D22x,y|x2y24上的最大值和最小值．

11．在斜边长为l的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形． 12．求函数zxy在条件xy1下的极大值．

54

13．求函数fx,y,zxyz在条件xyz0,xyz1下的条件极值．

22214．设生产某种产品的数量fx,y与所用甲、乙两种原料的数量x，y之间有关系式

fx,y0.005x2y,已知甲,乙两种原料的单价分别为1元，2元，现用150元购料,问购进

两种原料各多少,使产量fx,y最大？最大产量是多少？

15．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为：

C4002x3y0.013x2xy3y2（万元）

已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量．

第6节 MATLAB软件应用

6.1 多元函数的MATLAB作图

55

例1绘出函数zx2y3的图形。

解程序为:

x=linspace(-10，10,40)；y=x；［X,Y］=meshgrid（x, y)； Z=fun7（X，Y);surf（X,Y，Z），shading interp 结果如图9-9所示.

图9—9

6。2 多元函数的偏导数和全微分

u例2设ux22y2yz，求。

y解输入命令:syms x y z；diff(x^2+2*y^2+y＊z,y)，得ans=4*y+z。

利用jacobian命令:jacobian（x^2+2＊y^2+y＊z，[x y]）,得ans=［2＊x,4*y+z］，即矩阵uu, xy2z2z2z例3设zx3y2xy,求2,2,。

xyxy64222z解求2的程序为:syms x y；diff（x^6—3＊y^4+2＊x^2＊y^2，x,2)

x结果为: ans=30＊x^4+4＊y^2

2z求2的程序为：syms x y；diff（x^6—3＊y^4+2*x^2＊y^2，y,2） y结果为：ans=—36*y^2+4＊x^2

2z求的程序为：syms x y；diff（diff(x^6—3*y^4+2＊x^2*y^2，x）,y) xy结果为:ans=8＊x＊y.

2zz注：diff(x^6-3*y^4+2＊x^2＊y^2，x,y）是求，而不是求。

xyyzz例4设由x,y所确定的z的隐函数为xyy22z25，求,。

xyzFx'/Fz' x输入命令：syms x y z;a=jacobian（x*y+y^2+2＊z^2—5，[x，y，z]) 解令Fx,y,zxyy22z25可得矩阵Fx',Fy',Fz'=[y,x+2＊y,4＊z］

56



利用公式求

zzFx'/Fz',Fy'/Fz'可得 xyz的程序为:-a（1)/a（3)结果为：—1/4＊y/z； xz求的程序为：—a（2）/a（3)结果为：1/4*(—x-2*y）/z。 y6。3 多元函数的极值

例5求（1）f(x)x123x212(12x2)2在点2,2临近的极小值.

2（2）f(x)(yx2)2(1x)2在5x5内的极值。

解求多元函数zf(x,y)的极值点X和极小值minf，可用如下方法 方法一：X=fminsearch(’f’，x0)，用的是Nelder—Mead单纯形搜索法求解； 方法二:X=fminunc（’f’,x0），用的是BFGS拟牛顿迭代法求解。 其中Xx(1),x(2),x(3),,x(n)，x0是初始点。 若求极大值点,用(—1）乘函数，再求

极小值点。

（1)程序如下：

f='（x（1）^2—3＊x（2））^2+12＊(1—2*x(2)）^2’; x=fminsearch（f，［—2，2］)，minf=eval（f)

结果为：x =-1。2247 0。5000， minf =2。1879e-009

结果说明在x11.2247,x20.5时，函数的极小值为0。 （2）先作函数的图形，程序如下： [x,y］=meshgrid（—5：0。5：5)； f=(y-x.^2）。^2+（1—x）.^2; surf(x,y，f)；

结果如图9—10所示。

图9—10

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以下程序为求函数的极小值：

f='(x（2）—x（1）.^2）.^2+(1—x（1）)。^2'； x=fminsearch（f，［0.2，0。3］），minf=eval（f)，shading interp 结果为:x=［1。0000，1。0000］，minf=4。1546e—010 说明在x1,y1时，函数的极小值为0。

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总习题9 （A）

一、选择题

x2y1。极限lim4=（）.

x0xy2y0(A)等于0； (B)不存在； （C）等于

1； 2(D)存在且不等于0或

1 2xy2。函数f(x,y)x2y20（A) 处处连续； (C） 仅在（0，0)点连续;

x2y20x2y20（）。

(B） 处处有极限，但不连续;

(D） 除(0，0）点外处处连续

3.函数zf(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(). (A）必要而非充分条件； （C)充分必要条件; 4。设uarctan（A）

（B)充分而非必要条件； （D)既非充分又非必要条件

yu,则=（）. xx（B） x； 22xyyyx；（C） ;（D) 2222x2y2xyxy5。设f(x,y)arcsin（A）y',则fx(2,1)（）. x1111；（B);（C）;(D） 4422

二、填空题 1。极限limysin(xy)= 。2。函数zln(xy)的定义域为。

x0x3。设zsin(3xy)y，则

zxx2y1_________ .

2uy4。设uxy，则2= _________.

xx5.函数z2x3y4x6y1的驻点是_________.

59

22

三、解答题 1.求极限limx0y0ysin2x。

xy112。设uxsinyycosx，求ux,uy。 3。函数zz(x,y)由方程xyze22(xyz)2z2z所确定，求2,。

xxy4.求函数z2x3xy2y4x3y1的极值。 5.求函数fx,y6xx2224yy的极值.

2xy6.求函数zln(xye)的全微分。

(11)zexy7.设

求证x2zy2z2z xy8。求螺旋线xacos,yasin,zb在点a,0,0处的切线和法平面方程. 9。求平面

xyz1和柱面x2y21的交线上与xOy平面距离最短的点. 34510.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2,销售量分别为q1和q2，需求函数分别为

q1240.2p1,q2100.05p2,

总成本函数为

C3540q1q2.

试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大利润是多少？

（B）

一、选择题

1. （2013、数学一）曲面xcos(xy)yzx0在点0,1,1的切平面方程为（)。

2xyz2 （B）xyz0 （C) x2yz3 （D）xyz0 （A）

2。 （2012、数学一）如果函数f(x,y)在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（）。

60

（A）若极限

f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微;

(x,y)(0,0)|x||y|limf(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微；

x2y2f(x,y)存在；

(x,y)(0,0)|x||y|limlimf(x,y)存在。

x2y2yzxx(B)若极限

(x,y)(0,0)lim(C)若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限

（D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限

(x,y)(0,0)3. （2010、数学一） 设函数zz(x,y)由方程F(,)0确定,其中F为可微函数,且F20,则xzzy=（）。 xy

（B）z （C）x

（D）z

（A）x

4。 （2008、数学一) 函数f(x,y)arctanx在点(0,1)处的梯度等于()。 y

（D）j

（A)i

(B)-i （C） j

15。 (2006、数学一） 设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0。已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点,下列选项正确的是（）。

（A)若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0 （C）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0

（B)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0

（D)若

fx(x0,y0)0,则

fy(x0,y0)0

6。 （2005、数学一）设函数u(x,y)(xy)(xy)。 具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（）

xyxy(t)dt， 其中函数

2u2u2u2u2u2u（A）22 （B)2 （C）2 （2xyyxyxyD）

2u2u xyx27. （2014、数学二） 设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连

61

2u2u2u0及220，则（）续偏导数，且满足． xyxy（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； (B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

(C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上；

（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

8。 (2013、数学二) 设函数zxzzy（） fxy，其中f可微，则

yxyx（A）2yf'(xy)（B）2yf'(xy)(C）

二、填空题

22f(xy)（D)f(xy) xx1。 （2014、数学一) 曲面zx(1siny)y(1sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为．

22d2yxsint2. （2013、数学一) 设(t为常数），则2ytsintcostdx3. （2012、数学一) grad(xyt4=________。

z)|. y(2,1,1)4。 (2011、数学一） 设函数F(x,y)xy02Fsintdt，则2|x0______________.

xy21t22z5。 （2009、数学一）设函数fu,v具有二阶连续偏导数,zfx,xy，则.

xy6。 (2008、数学一) 曲线sinxylnyxx在点0,1处的切线方程为。 7. (2007、数学一） 设f(u,v)为二元可微函数，zf(x,y)，则

2yzyxz=______. x8. (2014、数学二） 设zz(x,y)是由方程exy2z7确定的函数，则4dz11,22．

三、解答题

62

1。 （2014、数学一）设函数yf(x)由方程yxyxy60确定，求f(x)的极值．

2. （2014、数学一、二）设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(ecosy)满足

x3222z2z2(4zexcosy)e2x．若f(0)0,f'(0)0，求f(u)的表达式． 2xyx3xy3。 (2013、数学一）求函数f(x,y)(y)e的极值。

3x2y24。 （2012、数学一）求f(x,y)ex的极值。

25。 （2011、数学一)设函数zf(xy,yg(x))，其中f具有二阶连续的偏导数，函数g(x)2z可导且在x1处取得极值g(1)1.求|x1.

xyy16. （2009、数学一)求二元函数f(x,y)x22y2ylny的极值。

x2y22z207. (2008、数学一)已知曲线C:,求曲线C距离XOY面最远的点和最

xy3z5近的点.

8.

（2007、数学一)求函数

f(x,y)x22y2x2y2在区域

D{(x,y)|x2y24,y0}上的最大值和最小值。

9。（2006、数学一)设函数fu在0,内具有二阶导数,且zfx2y2满

2z2z足等式220。

xy（1）验证fufu0。 u（2)若f10,f11,求函数f(u)的表达式.

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