第二章 有理数及其运算
1 有理数
知识点1 用正数、负数表示具有相反意义的量
【要点提示】用正数和负数可以表示具有相反意义的量。如果规定其中一种意义的量为正的，用正数来表示，则与其意义相反的量为负的，用负数来表示。 【注意】（1）习惯上用正数和负数表示具有相反意义的量，常把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。像7，1，6，9等这样大于0的数叫作正数。在正数前面填上符号“-”，如-3，-14，-156，-420等这样的数叫作负数。 （2）在用正数和负数表示具有相反意义的量时，究竟哪种意义的量是正的，是可以任意规定的。 （3）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量。 （4）具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等。如盈利1000元与亏损400元、零上4℃与零下7℃，都是具有相反意义的量。 （5）具有相反意义的量必须是同类量。如盈利200元与出口200箱就不是具有相反意义的量。 （6）正数前面的“+”可以省略，但负数前面的“-”不能省略。 基本题型 一 运用正数、负数表示具有相反意义的量 【易错点】（2）0不再仅仅表示没有，在不同的实际问题中，它具有不同的意义。如0℃表示一个温度，海拔0m表示海平面的平均高度 【例1】（1）天气预报说某地12月某天的最高气温是零上8℃，最低气温是零下5℃。若规定零上温度为正，则零上8℃记作_______℃，零下5℃记作_______℃； （2）记账时，若收入1000元记作+1000元，则-500元表示___________； （3）若+20％表示增加20％，那么-6％表示__________。 知识点2 有理数的定义及其分类 „„„„„„ 重点 定义 分类 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 正整数：如30 正整数：如3 整数 正有理数 1 正分数：如 负整数：如 -3 3有理数 有理数 统称为有理有理数 数 整数与分数1 正分数：如 负整数：如-3 3 负有理数 分数 1 负分数：如- 负分数：如- 31 3解 读
【要点提示】（2）0是一个特殊的数，它既不是正数，也不是负数，但它是整数。 （3）1是最小的正整数，0是最小的自然数，-1是最大的负整数。 优士达教育 www.ustaredu.cn
拓 展 有理数的几点说明 （1）通常把正数和0统称为非负数；负数和0统称为非正数；正整数和0统称为非负整数，也叫自然数；负整数和0统称为非正整数。 （2）因为有限小数、无限循环小数、百分数都可以转化为分数，所以把有限小数、无限 循环小数、百分数都看成分数，所以他们都是有理数 基本题型 二 有理数概念的考查 192【例2】在-，π，0，0.44，0.202 002 0002„（相邻两个2之间0的个数逐次加731）中，有理数的个数为（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 ○规○律●○总○结 （1）凡是整数和分数都是有理数，若不是整数或分数（包括可化为分数的小数），则这个数一定不是有理数。 （2）因为有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数，而无限不循环小数不是有理数。 π（3）含有π的数，如2π，等都不是有理数。 3基本题型 三 对有理数进行分类 【例3】将下列个数按要求分别填入相应的集合中： 1221-，13，-2，+6，，0，0.8，3，-4.2，-0.6. 274正有理数集合：﹛ „﹜； 正数集合： ﹛ „﹜； 非负整数集合：﹛ „﹜； 负分数集合： ﹛ „﹜. 规○律●○总○结 ○（1）正数与整数的区别：正数是相对于负数而言的，而整数是相对于分数而言的。 （2）0既不是正数，也不是负数，但0是整数。 （3）任意有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此这些小数都可以看成分数，如2.4，-3.16，-0.8都可以看成分数。 （4）每个集合最后应填“„”，表示除了已填入的数外，还有其他的数。 类型一 有理数的有关概念的综合考查 【例4】（中）下列说法中，正确的共有（ ）. ①一个有理数不是整数就是分数；②0既不是正数也不是负数，所以0不是有理数；③分数是有理数；④所有的正有理数都是整数。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型二 正数、负数在实际生活中的应用 【例5】（中）学习了正数、负数后，小明统计了本市2012年6月份某些粮食的价格，又从网上查到了2011年6月份同种粮食的价格，计算出的价格上涨幅度如下表：
种类 上涨/％
小麦 2.5 大米 1.3 玉米 -2.6 大豆 -1.5 花生 -3.5 优士达教育 www.ustaredu.cn
哪些粮食的实际价格上涨了？哪些粮食的实际价格下降了？
类型四 探究与有理数相关的树阵排列 【例7】（难）图是按一定的规律排列的数阵，请猜想它的第10行的第1个数是什么？ 1 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10 11 - 12 13 - 14 15 „„ 2 数 轴 知识点1 数轴的定义和画法 „„„„„„ 重点 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 解读：【要点提示】（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，但直线不一定是数轴；数轴有三要素：原点、正方向、三位长度，三者缺一不可。原点右边的数为正数，原点左边的数为正数。 （2）原点的确定和单位长度的大小可根据各题的实际需要灵活选取； （3）注意：同一个数轴上的单位长度必须统一。 【易错点】画数轴时易出现的错误：（1）三要素不全；（2）单位长度不统一；（3）未化成直线；（4）将正负数的位置标错；（5）标负数时丢掉负号等 基本题型 一 识别数轴 知识点2 数轴上的点与有理数的关系 „„„„„„ 重点 数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 【点的位置】：（1）零用圆点来表示； （2）正有理数用数轴上原点右边的点来表示； （3）负有理数用数轴上原点左边的点来表示。 基本题型 二 识别数轴上的点表示的有理数及有理数在数轴上的表示 技○巧●○点○拨 ○
由数找点或由点找数都是从原点开始分别向右或向左进行。对于一些分数（或小数），找它所对应的点需要先进行估计，然后再表示。
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知识点3 有理数的大小比较 „„„„„„ 难点
有理数的大小比较的依据：（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； （2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
【要点提示】：（1）在同一条数轴上，右边的树比左边的数大，不在同一条数轴上不能利用该依据进行大小比较。 基本题型 三 利用数轴比较有理数的大小 13【例3】 在数轴上把2.5，0，-，-1，-2.5，1，3 表示出来，并用“＜”将它们连44接起来。 方○法●○点○拨 ○一般地，比较多个有理数的大小，常见的有两种情况：（1）对异号的数而言，正数＞0＞负数；（1）对同号的数而言，同一数轴上，左边的数＜右边的数。 类型一 结合数轴探索点的运动特点 【例4】（中）点M在数轴上移动时，点M所对应的有理数就会发生变化。点M从原点开始，向右移动3个单位长度，这时点M所对应的有理数是什么？点M从原点开始，先向左移动4个单位后，又向右移动6个单位长度，这时点M所对应的有理数是什么？ 类型二 利用数轴解决数轴上两点间的距离问题 【例5】（难）数轴上有A，B两点， A,B两点之间的距离为1，点A与原点的距离为3，求满足条件的点B与原点之间的距离。 方○法●○点○拨 ○数轴可将有理数从“数”转化到“形”，从而借助数轴直观地分析得出结果。注意考虑解的多种可能情况。 类型三 数轴中整数的位置的确定 方○法●○点○拨 在求某个范围内的整数时，借助数轴既直观又准确。 ○ 类型四 利用数轴解决实际问题 【例7】（中）一条东西走向的马路边有汽车站、邮电局、百货商店、报刊亭等建筑物，邮电局在汽车站西50m处，报刊亭在汽车站和邮电局之间，距邮电局20m处，百货商店在报刊亭东10m处，请说出百货商店在汽车站的哪边，距离汽车站多远。 规○律●○总○结 ○
把实际问题转化为数轴上有关数的问题，通过“数”与“形”的结合，可以直观地得出结论。
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易错点 1 画数轴时三要素不全或对定义理解不透彻
【例9】（易）请画一条数轴。
易错点2 对数轴上点之间的距离考虑不全面
【例10】（中）点A在数轴上距离原点3个单位长度处，将点A先向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A所表示的数是________________。
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