《复数的概念》考点讲解复习与同步训练

【思维导图】

【常见考法】

考法一 实部虚部的辨析

【例1】（1）已知i是虚数单位，复数z12i的虚部为（ ）

A．2 B．2 C．2i D．1

（2）．已知x,yR，且3xi2yi，则x,y的值分别为（ ）

1,22A．3

B．3,1 C．3,1

D．1,3

（3）3的平方根是________.

【一隅三反】

1． 1的平方根为______．

32．复数

22i（i是虚数单位）的实部为（ ）

3A．2 B．

32 C．

22

D．0

3．若复数z12(1i)，则z的共轭复数的虚部是（ ）

1A．12i B．2i 11C．2

D．2

4．以2i5的虚部为实部，以5i2的实部为虚部的复数是（ 4A．2i B．22i C．55i

D．5i

）

考法二 复数的分类

m2m6zm22m15im3【例2】已知复数（i是虚数单位）

（1）复数z是实数，求实数m的值；

（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；

（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.

【一隅三反】

zm23m18m23mi,mR1．已知复数，其中i为虚数单位.

（1）若复数z是实数，求实数m的值；

（2）若复数z是纯虚数，求实数m的值.

z1im252im615i2．复数．

（1）实数m取什么数时，z是实数；

（2）实数m取什么数时，z是纯虚数；

（3）实数m取什么数时，z对应的点在直线xy70上．

考法三 复数的几何意义--复平面

【例3】（1）已知复数z34i(i虚单位)，则复数z在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）在复平面内，若复数的取值范围是（ ）

A．0,3zm24mm2m6i所对应的点在第二象限，则实数m

B．,2

C．2,0

D．3,4

【一隅三反】

1．在复平面内，复数1i的共轭复数所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设复数z2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限

zm1m1iB．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为（ ）

A．,1

B．,1

C．1,1

D．1,

考法四 复数的几何意义--模长

【例4】（1）设i虚数单位，复数z12i，则|z|（ ）

A．5 B．5 C．1 D．2

（2）已知(26i)x12yi，其中x､y是实数，则|xyi|（ ）

1310A．2

B．2 C．2 D．2

（3）设复数z满足

zi2，z在复平面内对应的点为x,y，则（A．x12y24 B．

x2y122

C．x12y24 D．

x2y124

【一隅三反】

1．已知i为虚数单位，实数x，y满足x3iiyi，则

xyi（ A．10 B．10 C．3 D．1

）

）2．复数z12i(其中i为虚数单位)，则z3i（ ）

A．5 B．2 C．2 D．26 3．已知复数z满足|z2i|1，则|z|的最小值为（ ）

A．51 B．51 C．31 D．31

4．已知复数z满足条件

z1，那么

z22i的最大值为______．

《7.1 复数的概念（精讲）》考点讲解答案解析

考法一 实部虚部的辨析

【例1】（1）已知i是虚数单位，复数z12i的虚部为（ ）

B．2 B．2 C．2i D．1

（2）．已知x,yR，且3xi2yi，则x,y的值分别为（ ）

2A．3

1,2,13C．

B．3,1 D．1,3

（3）3的平方根是________.

【答案】（1）A（2）C（3）3i

【解析】（1）复数z12i的虚部为2.故选：A.

2x3x231y（2）由题意知，，解得y1，故选: C.

（3）由

3i23得解.

【一隅三反】

1．1的平方根为______．

【答案】i

i【解析】21，因此，1的平方根为i.故答案为i.

2．复数

23i2（i是虚数单位）的实部为（ ）

A．2 B．

32 C．

232

D．0

【答案】A

【解析】根据复数的基本概念，可得复数

23i2的实部为2．故选：A．

1z(1i)23．若复数，则z的共轭复数的虚部是（ ）

1iA．2 1i2B． 1C．2

1D．2

【答案】D

111111z(1i)izi222，所以z的共轭复数22，虚部是2，故【解析】因为复数

选：D．

4．以2i5的虚部为实部，以5i2的实部为虚部的复数是（ ）

4iD．5

A．2i B．22i C．55i

【答案】B

【解析】2i552i的虚部为2，5i225i的实部为2，则复数为z22i故选：B.

考法二 复数的分类

m2m6zm22m15im3【例2】已知复数（i是虚数单位）

（1）复数z是实数，求实数m的值；

（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；

（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.

【答案】（1）m5；（2）m5且m3；（3）m3或2.

m22m150【解析】（1）复数z是实数，则m30，解得m5；

m22m150（2）复数z是虚数，则m3，解得m5且m3；

（3）复数是纯虚数，则

m2m60m3m22m150，解得m3或2．

【一隅三反】

zm23m18m23mi,mR1．已知复数，其中i为虚数单位.

（1）若复数z是实数，求实数m的值；

（2）若复数z是纯虚数，求实数m的值.

【答案】（1）0或3；（2）6.

2【解析】（1）若复数z是实数，则m3m0所以m0或m3.

m23m02（2）若复数z是纯虚数，则m3m180所以m6.

2．复数

z1im252im615i．

（1）实数m取什么数时，z是实数；

（2）实数m取什么数时，z是纯虚数；

（3）实数m取什么数时，z对应的点在直线xy70上．

12或2

【答案】（1）m5或3；（2）m2；（3）

m222z(1i)m(52i)m(615i)(m5m6)(m2m15)i． 【解析】复数

2（1）由m2m150，解得m5或3．m5或3时，复数z为实数．

m25m602（2）由m2m150，解得m2．m2时，复数z为纯虚数．

22(m5m6)(m2m15)70．化为：2m23m20， （3）由

解得

m11m2或2，z对应点在直线xy70上． 2或2．

考法三 复数的几何意义--复平面

【例3】（1）已知复数z34i(i虚单位)，则复数z在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）在复平面内，若复数的取值范围是（ ）

A．0,3zm24mm2m6i所对应的点在第二象限，则实数m

B．,2

C．2,0 D．

3,4

【答案】（1）B（2）D

【解析】（1）由复数的几何意义知，复数z34i在复平面内对应的点为3,4，即在第二象限，

故选：B

zm24mm2m6i（2）∵在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，

m24m023,4∴mm60解得3x4∴实数m的取值范围是故选：D.

【一隅三反】

1．在复平面内，复数1i的共轭复数所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】复数1i的共轭复数为1i，其对应的点1,1位于第四象限.故选：D.

2．设复数z2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】复数z2i的共轭复数z2i，则对应点的坐标为2,1，该点位于第四象限，

故选：D.

zm1m1i3．若（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为（ ）

A．,1

B．,1

C．1,1

D．1,

【答案】C

zm1m1i【解析】

对应的点为m1,m1，因为对应的点位于第四象限，得

m10m10，解得1m1.故选：C.

考法四 复数的几何意义--模长

【例4】（1）（设i虚数单位，复数z12i，则|z|（ ）

A．5 B．5 C．1 D．2

（2）已知(26i)x12yi，其中x､y是实数，则|xyi|（ ）

1A．2

3B．2 10C．2

D．2

x,y（3）设复数z满足

zi2，z在复平面内对应的点为，则（ ）

x1A．2y24 B．

x2y122

x1C．2y24 D．

x2y142

【答案】（1）A（2）C（3）D

2|z|125故选：A 【解析】（1）

（2）因为2x6xi12yi，所以2x1，6x2y，解得

x13y3x2，2，

1310xyi()2()2222，故选：C. 所以

（3）z在复平面内对应的点为zixy1i=2x,y，则复数

z=xyix,yR,

则，由复数的模长公式可得

x2+y1=42，故选：D

【一隅三反】

1．已知i为虚数单位，实数x，y满足x3iiyi，则

xyi（ ）

A．10 B．10 C．3 D．1

【答案】B

|xyi|(1)2(3)210(x3i)iyi3xiyiy3x1【解析】由，得，，．则．

故选：B．

2．复数z12i(其中i为虚数单位)，则

z3i（ ）

A．5 B．2 C．2 D．26 【答案】B

z3i12122z12iz3i12i3i1i【解析】因为，所以所以. 故选：B.

3．已知复数z满足|z2i|1，则|z|的最小值为（ ）

A．51 B．51 C．31 D．31

【答案】A

【解析】设zabi，则

abi2ia2b1ia2b1221，

由x22y112，表示为以2,1为圆心，1为半径的圆，

221=5，所以圆上点到原点距离最小为51， 圆心到原点的距离为因为

za2b2=a0b0，所以最小值为2251，

故选:A.

z22iz1z4．已知复数满足条件，那么的最大值为______．

【答案】4

【解析】因为z1，所以复数z对应的点在单位圆上，

z22i表示复数z对应的点与复数22i对应的点

M22，1之间的距离，

而

OM813．

所以

z22i的最大值为

OMrOM14.

故答案为：4

《7.1 复数的概念（精练）》同步练习

【题组一 实部虚部辨析】

1．若(x2i)iyi，其中x,yR，i为虚数单位，则复数zxyi的虚部为（ A．1 B．i C．2 D．2i 2．设i为虚数单位，则复数z55i的实部为（ ）

A．5 B．5i C．5 D．5i

3．复数z3i的虚部是（ ）

A．1 B．i C．-1 D．i

）

4．数z24i的虚部是（ ）

A．2 B．2 C．4 D．4

5．已知复数z1i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（ ）

A．i B．i C．1 D．1

【题组二 复数的分类】

1．已知复数z1im1i是纯虚数，则实数m（ ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

2． i为虚数单位，已知复数a21(a1)i是纯虚数，则a等于（ ）

A． B．1 C．1 D．0

3．设复数zabi(其中a、bR，i为虚数单位)，则“a0”是“z为纯虚数”的（ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

4．已知a为实数，若复数za24(a2)i为纯虚数，则复数z的虚部为（ ） ）

A．2 B．4i C．2

a24a2iD．4

5．已知i为虚数单位，aR，复数是纯虚数，则a（ ）

A．2 B．-2 C．4 D．-2或2

6．若复数z(m1)(2m)i（mR）是纯虚数，则m______

2zm2m3(m3)i为纯虚数，则实数m_____________ 7．已知复数

8．实数m取怎样的值时，复数

zm3m22m15i是：

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

zm1m1imR9．已知复数.

（1）m取什么值时，z为实数；

（2）m取什么值时，z为纯虚数.

zm25m62m25m3i10．已知m为实数，i为虚数单位，设复数.

（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；

（2）当复数z对应的复点在直线xy70的右下方，求m的取值范围.

【题组三 复数的几何意义--复平面】

1．在复平面内，复数1i所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

a24a5b22b6ia,bR2．若，则复数表示的点在（ ）

A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限

3．复数

zlgx222x2x1i(xR)在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z12i，则z2=（ ）

A．2i B．2i C．2i D．2i

5．已知

Zm1m24i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是

____.

zlgm22mm22m3i6．已知复数若复数z是实数，则实数m_____；若复数z对

应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.

zm2m2m2i7.在复平面内，复数是________．

对应的点在第一象限，求实数m的取值范围

【题组四 复数的几何意义--模长】

1．已知aR，若有

ai5（i为虚数单位），则a（ ）

A．1 B．2 C．2 D．

x,y2．设复数z满足

zi1，z在复平面内对应的点为则x，y满足的关系式为______.

3．已知a，bR，1aib2a3i，则a______，a3bi______.

4．知i是虚数单位，若z1i，则

z22z________.

5．若zC且

z34i2，则的取值范围为__________．

z【题组五 复数综合应用】

1．（多选）已知复数z1i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）

A．复数z的虚部为i B．

z2 C．复数z的共轭复数z1i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

2．若复数z12i（i为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）

A．z是纯虚数 为5 B．z的实部为2 C．z的共轭复数为12i D．z的模

3．已知复数z在复平面上对应的点为1,1，则（ ）

A．zi是实数（i为虚数单位）

B．zi是纯虚数（i为虚数单位）

C．z1是实数

D．z1是纯虚数

4．关于复数3－4i的说法正确的是（ ）

①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5

③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④

《7.1 复数的概念（精练）》同步练习答案解析

【题组一 实部虚部辨析】

1．若(x2i)iyi，其中x,yR，i为虚数单位，则复数zxyi的虚部为（ ）

A．1 B．i C．2 D．2i 【答案】C

【解析】由于(x2i)iyi，则x=1且y2，所以zxyi12i，所以复数z的虚部为2.

故选：C.

2．设i为虚数单位，则复数z55i的实部为（ ）

A．5 B．5i C．5 D．5i

【答案】C

【解析】复数z55i的实部为5.故选：C.

3．复数z3i的虚部是（ ）

A．1 B．i C．-1 D．i

【答案】C

【解析】由复数虚部的定义得复数z3i的虚部是1.故选：C

4．复数z24i的虚部是（ ）

A．2 B．2 C．4 D．4

【答案】C

【解析】因为z24i，所以由复数定义可知虚部是4，故选：C.

5．已知复数z1i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（ ）

A．i B．i C．1 D．1

【答案】C

【解析】因为z1i，则虚部为1.故选：C.

【题组二 复数的分类】

z1im1i1．已知复数是纯虚数，则实数m（ ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】D

1m0z1im1i1mm1i【解析】，因为z为纯虚数且m为实数，故1m0，故

1，

故选：D

2． i为虚数单位，已知复数a21(a1)i是纯虚数，则a等于（ ）

A． B．1 C．1 D．0

【答案】C

a210【解析】复数a21(a1)i是纯虚数，所以a10，得a1.故选：C.

3．设复数zabi(其中a、bR，i为虚数单位)，则“a0”是“z为纯虚数”的（ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】若复数zabi是纯虚数，则a0，b≠0，

m ）则a0不能证得z为纯虚数，z为纯虚数可以证得a0，

故“a0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件，

故选：B.

za24(a2)i4．已知a为实数，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（ ）

A．2 B．4i C．2 D．4

【答案】D

a2402z(a4)(a2)i【解析】为纯虚数，a20，即a2．复数z的虚部为4．

故选：D．

2a4a2iaR5．已知i为虚数单位，，复数是纯虚数，则a（ ）

A．2 B．-2 C．4 D．-2或2

【答案】B

a24a2i【解析】因为复数

2a是纯虚数，所以40,a20a2故选：B

6．若复数z(m1)(2m)i（mR）是纯虚数，则m______

【答案】-1

m10z(m1)(2m)i【解析】复数（mR）是纯虚数，则2m0，所以m1.

故答案为：-1

2zm2m3(m3)i为纯虚数，则实数m_____________ 7．已知复数

【答案】1

2zm2m3(m3)i为纯虚数， 【解析】由题意，复数

m22m30则满足m30，解得m1，即实数m的值为1.

故答案为：1.

zm3m22m15i8．实数m取怎样的值时，复数是：

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

【答案】（1）m5或m3；（2）m5且m3；（3）m3.

2【解析】（1）若m2m150，则z为实数，此时m3或者m5.

2（2）若m2m150，则z为虚数，此时m3且m5.

m302（3）若m2m150 ，则z为纯虚数，此时m3.

9．已知复数

zm1m1imR.

（1）m取什么值时，z为实数；

（2）m取什么值时，z为纯虚数.

【答案】（1）m1（2）m1

zm1m1imR【解析】（1）复数，若z为实数，则m10，即m1

m10（2）若z为纯虚数，则m10，解得m1

10．已知m为实数，i为虚数单位，设复数

zm25m62m25m3i.

（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；

（2）当复数z对应的复点在直线xy70的右下方，求m的取值范围.

【答案】（1）2；（2）(4,4).

m25m602【解析】（1）由题意得：2m5m30，解得m2；

22(m5m6,2m5m3)， （2）复数z对应的点的坐标为

直线xy70的右下方的点的坐标x,y应满足xy70，

22(m5m6)(2m5m3)70， 所以

解得4m4，所以m的取值范围为(4,4).

【题组三 复数的几何意义--复平面】

1．在复平面内，复数1i所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】由题,1i在复平面内对应的点为1,1,在第二象限,故选:B

a24a5b22b6ia,bR2．若，则复数表示的点在（ ）

A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限

【答案】D

【解析】因为

a24a5a2102，

b22b6b1502，

所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.故选：D

zlgx222x2x1i(xR)3．复数在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

zlgx222x2x1i(xR)【解析】复数

b2x2x1的实部

algx22、虚部

.

因为

x2221lgx220,所以a0.

xxxx因为22222110,所以b0.

所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C

4．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z12i，则z2=（ ）

A．2i B．2i C．2i D．2i

【答案】B

【解析】z12i，z1在复平面内对应点的坐标为(2,1)，

由复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，

可知z2在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，z22i，故选：B．

Zm1m24i5．已知____.

在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是

【答案】,2

m1,m在复平面内对应的点4【解析】

m102m40，

Zm1m24i2在第二象限，所以

解得m2，即实数m的取值范围是,2.故答案为：,2

6．已知复数

zlgm22mm22m3i若复数z是实数，则实数m________；若复数

z对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.

【答案】3 2m12

22mm2m303m1z【解析】为实数，则，解得或，又2m0，所以m3．

lg(m22m)02z对应点在第二象限，则m2m30，解得2m12．

故答案为：3；2m12．

zm2m2m2i7.在复平面内，复数是________．

【答案】2,1对应的点在第一象限，求实数m的取值范围

2,

m202【解析】根据题意得出mm20，解得2m1或m>2，所以实数m的取值范围

是2,12,．故答案为：2,12,．

【题组四 复数的几何意义--模长】

1．已知aR，若有

ai5（i为虚数单位），则a（ ）

A．1 B．2 C．2 D．

【答案】C

2aia2(1)25aR【解析】因为所以，即a15，解得a2，故选：C

2．设复数z满足

zi1，z在复平面内对应的点为x,y则x，y满足的关系式为______.

22【答案】x(y1)1

【解析】由题意，设复数zxyi(x,yR)，

因为

zi12222x(y1)1x(y1)1， ，可得，整理得

22x,yx,yx(y1)1. z即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为

22x(y1)1. 故答案为：

3．已知a，bR，1aib2a3i，则a______，a3bi______.

【答案】3 32

a31b1aib2a3ia2a3【解析】∵∴，解得b1，

则

a3bi33i32321832，

故答案为：（1）3；（2）32 4．已知i是虚数单位，若z1i，则

z22z________.

【答案】2

【解析】根据复数模的计算公式得：

z22z12i+i222i2.故答案为：2

5．若zC且【答案】3,7z34i2，则的取值范围为__________．

z

【解析】

z34i2的几何意义为复平面内

A3,4动点Z到定点的距离小于等于2的点的集合，

z表示复平面内动点Z到原点的距离，

22|OA|(3)(4)5， ∵

52z52.

3,7∴的取值范围为z．

故答案为：3,7．

【题组五 复数综合应用】

1．（多选）已知复数z1i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）

A．复数z的虚部为i B．

z2 C．复数z的共轭复数z1i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

【答案】BCD

【解析】因为复数z1i，

所以其虚部为1，即A错误；

z12122，故B正确；

复数z的共轭复数z1i，故C正确； 复数z在复平面内对应的点为1,1，显然位于第一象限，故D正确.

故选：BCD.

2．若复数z12i（i为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）

A．z是纯虚数 B．z的实部为2 C．z的共轭复数为12i D．z的模

为5 【答案】D

【解析】复数z12i（i为虚数单位）显然不是纯虚数，z12i的实部是1，z的共轭复数为12i，z5，故D正确，故选：D.

3．已知复数z在复平面上对应的点为1,1，则（ ）

A．zi是实数（i为虚数单位）

B．zi是纯虚数（i为虚数单位）

C．z1是实数

D．z1是纯虚数

【答案】D

【解析】由题意可得，z1i，则z1i为纯虚数，zi12i是虚数，但不是纯虚数，

故选：D．

4．关于复数3－4i的说法正确的是（ ）

①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5

③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④

【答案】C

【解析】复数3－4i的实部和虚部分别为3和-4，①正确；复数模为5，②正确；

在复平面内对应的点为(3,4)在第四象限，③正确；复数3－4i的共轭复数为3+4i，④正确.故选：C.