考研数学极限与导数部分练习题(带答案)

1cosx2x2分析 当x0时,xln(1x)~x,1cosx~,利用等价无穷小代换可求出极限

2xln(1x)x2lim22 解 limx01cosxx0x22. limeecosx1x12x03 .

ecosx(e1cosx1),

分析 先变形ee1cosxcosx(ex23x221)~1cosx~,1x1~,再利用等价代换求其极限

23x2eecosxecosx(e1cosx1)(e1cosx1)3elimelimelim22. 解 limx03x03x0x21x21x031x211x2133. 求limx01tanx1sinx.

x3分析 分子有理化后等价无穷小代换求极限. 解 limx01tanx1sinxtanxsinx limx0x3(1tanx1sinx)x311)sinx(1cosx)cosxlim3lim3

x0x(1tanx1sinx)x0x(1tanx1sinx)cosxsinx(1xx212lim3.

x0x(1tanx1sinx)cosx4

4. 求极限lim(e1)x1x1lnx.

分析 该极限为0型，先取对数，再使用洛必达法则.

01ex2x1x1lnxlim1ln(ex1)lnxx1lim解 lim(e1)xexe1ex11xlimex1ex11xex1e1

5.求极限lim11cotx. x0xx分析 将lim11sinxxcosxcotxlim变形为，将分子分母中的sinx，cosx3x0xxx0x展开，再求极限. 解

x2x33xo(x)x1o(x2)3!11sinxxcosx2!limcotxlimlim 33x0xxx0x0xx113)xo(x3)1lim2!3!3. x0x3(ex2cosx36.计算lim.

x0x42分析 将分子中的函数cosx，e展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，再求极限.

解ex2x214x2x441xxo(x),cosx1o(x4),

2!2!4!2211ex2cosx32x4o(x4),

4!2!从而

74xo(x4)7e2cosx312lim. limx0x012x4x4x27.设函数f(x)ex1e2x2enxn,其中n为正整数，求f(0).

x分析 f(0)0，x0时，e1~x，所以用导数定义求f(0)简单.

ex1e2x2f(x)f(0)解f(0)limlimx0x0x0x所以选（A）.

enxn1n1n1!，

8.设f(x1)af(x),f(0)b(a,b0), 求f(1).

分析 抽象函数求导数必须用导数的定义式. 解

f(1)limx0f(x1)f(1)af(x)af(0)f(x)f(0)limalimaf(0)abx0x0xxx.

x2en(x1)axb9.设f(x)lim，问a与b为何值时，f(x)可导，并求f(x)． n(x1)ne1分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案. 解：

x1时，limen(x1)；x1时，limen(x1)0；

nnx2,x1ab1f(x),x1.

2axb,x1f(x)limf(x)1ab1. 由x1处连续性得：limx1x1由x1处可导性得：f(1)f(1)，

f(1)limx1axbf(1)limx1x1axbab12a， x1x2f(1)f(1)lim2，故a2.

x1x1那么a2，b1.

x2, x12x,x1于是f(x)1, x1， f(x).

2, x12x1,x110.曲线yx与曲线yalnx(a0)相切，则a（）. （A）4e （B）3e （C）2e （D）e

分析 曲线yx与曲线yalnx(a0)相切，则它们有共同的切点及斜率，从而解出a

解 因yx与yalnx(a0)相切，故2xa2221ax. x2在yx上，x2aa时，y.

22aa1aaln. 时，yaln2222在yalnx(a0)上，xaaaaalnln1ea2e， 22222所以选择（C）