全国高中数学竞赛二试模拟训练题(3)

1．设a1,a2,…,a10 是十个两两不同的正整数,它们的和为1995,试求

a1a2＋a2a3＋…＋a9a10＋a10a1的最小值．

2、设0x1x2xn1,且

n3xia,xib,求证：

2i1i1nnxia2abnb  nai11xi

3、 在2000×2000的表格中,每格填上1或－1．已知表格中所有数的和非负．证明：可以

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找到1000行与1000列,这些行与列交叉处的数,和不小于1000．

4、求出有序整数对（m,n）的个数,其中1m99,1n99,(mn)3mn是完全平方数。

加试模拟训练题（3）

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21．设a1,a2,…,a10 是十个两两不同的正整数,它们的和为1995,试求

a1a2＋a2a3＋…＋a9a10＋a10a1的最小值．

【解】设在a1＋a2＋…＋a10＝n时,a1a2＋a2a2＋…＋a9a10＋a10a1 (1)

的最小值为Sn,其中a1,a2,…,a10为自然数,并且将它们依大小顺序排成b1≤b2 ≤…≤b10时,bk≥k(k＝1,2,…,10)．

在n＞55时,至少有一个k使bk＞k,将这个bk减少1,Sn至少减少1×(1＋2)＝3．所以Sn≥Sn－1＋3

从而S1995≥S1994＋3≥…≥S55＋3(1995－55)＝S55＋5820

对于a1＋a2＋…＋a10＝55,必有{a1,a2,…,a10}＝{1,2,…,10}

将10减少为9,和(1)至少减少3．再将2个9减少为8,和至少减少1×2＋2＋3(在2个9之间恰好为1,另两个与9相邻的数为2与3时正好减少这么多)．依此类推,直至最大的数为6(共5个6),和(1)至少减少

(1＋2)＋(1×2＋2＋3)＋((1＋2)×2＋3＋4)＋((1＋2＋3)×2＋4＋5)＝44

而由5个6与1,2,3,4,5这10个数形成的和(1),如果有两个6相邻,总可将一个6与另一个相邻的数a对调．设…ba 66…变为…b6a6…,和(1)减少6×6＋ab－6a－6b＝(6－a)(6－b)≥0．因此,在5个6均不相邻时,和最小,最小值为

6×2×(1＋2＋3＋4＋5)＝180

所以S1995≥44＋180＋5820＝6044

又在(a1,a2,a3,…,a10)＝(1950,1,9,3,7,5,6,4,8,2)时,a1a2＋a2a3＋…＋a9a10＋a10a1＝6044．因此6044即为所求的最小值．

2、设0x1x2xn1,且

n3xi1nia,xib,求证：

2i1nxia2abnb  nai11xix111证明：Pi,Q,则 1x11x21xni11xin31xn1x11x2QP1x11x21xn22333

2nn2(1x1x1)(1x2x2)(1xnxn)nxixinab

i1i1n2n2而Q

(1x1)(1x2)(1xn)nan2a2abnbnab故PQna nana

3、 在2000×2000的表格中,每格填上1或－1．已知表格中所有数的和非负．证明：可以找到1000行与1000列,这些行与列交叉处的数,和不小于1000．

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【证】 因为表格中所有数的和非负,所以必有一行,至少有1000个1,不妨设前1000个数为1(否则变动列的顺序)．

令A为表格中前1000列组成的矩形,B为后1000列组成的矩形．

在A中,行和(行中各数之和)最大的1000行用A1表示,其余的用A2表示．如果A1中各数之和不小于1000,那么命题就得到证明．

设A1中各数之和小于1000．如果A2中有一行和非负,那么A1中所有行和均非负．而且A1中有一行,所有数均为1,于是A1中各数之和不小于1000,矛盾．因此A2中行和均为负数．因为任一行和均为偶数,所以A2中任一行和≤－2．这就是说,在A中,各数之和大于(－2)×1000 ＋ 1000,即小于－1000．但由题设,整个表格中各数之和非负,因此矩形B的各数之和必大于1000．

设B1是矩形B中行和最大的1000行,B2是其余的1000行．

如果B2中行和均≤0,那么,由于B中各数之和大于1000,所以B1中各数之和大于1000．如果B2中有一行和是正的,那么B1中行和均正,从而B1中各数之和仍大于1000． 综上所述,总存在1000行及1000列,这些行与列交叉处的数的和不小于1000．

4、求出有序整数对（m,n）的个数,其中1m99,1n99,(mn)3mn是完全平方数。 解：由于1m99,1n99可得：

2(mn)23mn＜(mn)24(mn)4(mn2)2。

又(mn)(mn)3mn,于是(mn)(mn)3mn(mn2) 若(mn)3mn是完全平方数,则必有(mn)3mn＝(mn1)。

然而(mn)3mn＝(mn1)nm1,于是必有nm10,即mn1,此时n2,3,,99,m1,2,,98。所以所求的有序整数对（m,n）共有98对：

2222222222(m,n)(1,2),(2,3),(3,4),,(98,99)。

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