抛物线的简单几何性质练习题

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )

A．2 B．1 C．4 D．8

p

【解析】 抛物线y＝2px(p>0)的准线为x＝－2，因为P(6，y)

2

为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，p

所以6＋2＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.

【答案】 C

2．(2014·成都高二检测)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )

A．23 B．4 C．6 D．43

【解析】 据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，

m2

，则M(－1，m)，等边三角形边，m∴PM⊥抛物线的准线．设P4

m2m2

长为1＋4，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋4＝

1＋12＋m2，得

m＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.

【答案】 D

3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )

A．x＝1 C．x＝2

B．x＝－1 D．x＝－2

【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得：

y21＝2px1， 2

y2＝2px2， ②

①

①－②得，

(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．

y1－y22pp

又∵y1＋y2＝4，∴＝4＝2＝k＝1，∴p＝2.

x1－x2∴所求抛物线的准线方程为x＝－1. 【答案】 B

4．(2014·课标Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )

30

A.3 B．6 C．12 D．73

33【解析】 焦点F的坐标为4，0，直线AB的斜率为3，所以

33

直线AB的方程为y＝3x－4，



33

即y＝3x－4，代入y2＝3x， 1273

得3x－2x＋16＝0，

21

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2， 3213

所以|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋2＝12，故选C. 【答案】 C 二、填空题

5．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．

【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±x)，此点到准线的距离1

为x＋4，到顶点的距离为1

x＋x，由题意有x＋4＝

2

2

x2＋x2，

1122∴x＝8，∴y＝±4，∴此点坐标为，±.

48

12

【答案】 ，±

48

6．(2014·临沂高二检测)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.

【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝

0，∴k＝1.

【答案】 0或1

7．(2014·湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．

【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.

过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．

y2＝4x，由

y＝kx＋k，

得ky2－4y＋4k＝0.

当k＝0时，显然不符合题意；

当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，

化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题

8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝17，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．

【解】 设所求抛物线的标准方程为 p

x＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知M0，－2.



2

p

∵|AF|＝3，∴y0＋2＝3， ∵|AM|＝17，

2∴x0＋y0＋





p2

2＝17，

2∴x0＝8，代入方程x20＝2py0得，

p

8＝2p3－2，解得p＝2或p＝4.



∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.

9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝3. 33，0x－又F2，所以直线l的方程为y＝32. y2＝6x，联立3

x－2，y＝3

9

消去y得x－5x＋4＝0.

2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， pp

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋p，

所以|AB|＝5＋3＝8.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知

|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.

339

又准线方程是x＝－2，所以M到准线的距离为3＋2＝2. [能力提升层次]

1．(2014·湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x2＝2py(p>0)的|AF|焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若|BF||AF|

∈(0,1)，则|BF|＝( )

1111A.5 B.4 C.3 D.2

p【解析】 因为抛物线的焦点为F0，2，故过点F且倾斜角为3p23

30°的直线的方程为y＝3x＋2，与抛物线方程联立得x2－3px－p23|AF||xA|1

＝0，解方程得xA＝－3p，xB＝3p，所以|BF|＝|x|＝3，故选C.

B

【答案】 C

2．(2013·大纲卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的→→焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA·MB＝0，则k＝( )

12

A.2 B.2 C.2 D．2

【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜

率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝488

＋k2，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝k，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋→→

x2)＋4]＝－16，因为MA·MB＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.

【答案】 D

22

xy

3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线3－3＝1

相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

py＝－，p2

由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－2，由

x2－y2＝3，

【解析】

解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为



A－ 

12p

3＋4p，－2，B



12p

3＋4p，－2，所以AB＝2



123＋4p.

3

由△ABF为等边三角形，得2AB＝p，解得p＝6. 【答案】 6

4．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于10时，求k的值．

【解】 过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，