线性代数知识点小结

线性方程组 秩 行列式 矩阵 向量组 特征值、特征向量 二次型 一． 矩阵

1．矩阵的基本运算：加减法，数乘，乘法，幂，转置，逆，分块

注：① 矩阵的乘法不满足交换律、消去律；② 当AB=0时，A与B可以都不是零矩阵． 2．逆矩阵

（1）n阶方阵A可逆Û存在n阶方阵B，使AB=BA=E （ÞB=A-1）

ÛA¹0ÛA是非奇异矩阵

Û存在n阶方阵B，使AB=E （ÞB=A-1）

rÛA¾¾®E

ÛR(A)=nÛA是满秩矩阵 Û齐次线性方程组Ax=0只有零解 Û非齐次线性方程组Ax=b有唯一解

ÛR(a1,a2,L,an)=nÛA的列向量组线性无关

（2）逆矩阵的计算 ① 公式 A-1=

1*A A

-1

æabö1æd-bö

特别地，二阶方阵的逆矩阵 ç=÷ç÷

ad-bcè-caøècdø

r

② 初等变换 (A,E)¾¾®(E,A-1)

— 1－

r

③ 应用 矩阵方程AX=B：(A,B)¾¾®(E,A-1B)

3．各种运算性质

4．特殊矩阵：对称，正交，相似，合同 5．秩 — 行阶梯形，秩=非零行的行数

二． 行列式

1．定义

一阶行列式 a=a； 二阶行列式

ab

=ad-bc； cda

三阶行列式 d

g

a11

n阶行列式

a21Man1

beha12

c

f=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh； iLa1n

a22La2n

=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin．

MMan2Lann

2．性质，与矩阵运算的关系

ij

（1）DT=D； （2）D¾¾¾®D1，则D1=-D；

r«r

ri´kij（3）D¾¾®D1，则D1=kD； （4）D¾¾¾®D1，则D1=D．

r+kr

3．计算

（1）公式 二阶、三阶行列式，上（下）三角行列式 （2）定义 —— 按行（列）展开

（3）利用初等变换把行列式化为上三角行列式

三． 线性方程组理论

1．Cramer法则 － 方程个数=未知数个数，系数行列式¹0 2．n元线性方程组Ax=b解的情况 （1）无解ÛR(A)— 2－

（3）有无穷多解ÛR(A)=R(A,b)（1）齐次线性方程组Ax=0

r

系数矩阵¾¾®行最简形®解－基础解系

（2）非齐次线性方程组Ax=b

r增广矩阵¾¾®行阶梯形® ① 无解

唯一解 r

② 有解¾¾®行最简形®

无穷多解 自由未知数®解

4．解的结构

四． 向量组

1．向量的线性关系

（1）线性组合 － k1a1+k2a2+L+knan （2）向量b能由向量组a1,a2,L,an线性表示

Û存在t1,t2,L,tn，使 b=k1a1+k2a2+L+knan Û线性方程组(a1,a2,L,an)x=b有解 ÛR(a1,a2,L,an)=R(a1,a2,L,an,b)

（3）向量组a1,a2,L,an线性相关

Ûa1,a2,L,an中至少有一个向量可以由其余n-1个向量线性表示 Û存在不全为0的k1,k2,L,kn，使k1a1+k2a2+L+knan=0 Û线性方程组(a1,a2,L,an)x=0有非零解 ÛR(a1,a2,L,an)（4）向量组a1,a2,L,an线性无关

Û向量组中任一向量都不可以由其余向量线性表示 Û若k1a1+k2a2+L+knan=0，则k1=k2=L=kn=0 Û线性方程组(a1,a2,L,an)x=0只有零解

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ÛR(a1,a2,L,an)=n

2．极大无关组

（1）定义 ① 线性无关，②线性表示 （2）计算

矩阵®行阶梯形，非零行的第一个非零元所对应的列向量

®行最简形，其余向量用极大无关组线性表示

3．度量性质 4．特征问题

（1）定义 Ap=lp

（2）计算

特征方程 (A-lE)x=0

A 特征值 特征向量

A-lE=0（3）特征值的性质 （4）矩阵的对角化

五． 二次型

1．定义 二次型的矩阵 － 对称矩阵 2．化二次型为标准形

（1）配方法 （2）正交变换 3．正定二次型

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