功和功率

第1单元功和功率

[记一记]

1．做功的两个必要条件

力和物体在力的方向上发生的位移。 2．公式

W＝Flcos_α，适用于恒力做功，其中α为F、 该木块上，在t＝t1时刻力F的瞬时功率是( ) A.F2F22t1 B.t 2m2m1F2F22C.t1 D.t1 mm解析：选C 功的正负判断及计算 l方向间夹角，l为物体对地的位移。

3．功的正负判断 [试一试]

1.如图5－1－2所示，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法。如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，那么下列说法正确的是( )

图5－1－2

A．轮胎受到地面的摩擦力做了负功 B．轮胎受到的重力做了正功 C．轮胎受到的拉力不做功

D．轮胎受到地面的支持力做了正功 解析：选A 。

功 率 [记一记] 1．物理意义

描述力对物体做功的快慢。 2．公式

(1)P＝W

t(P为时间t内的平均功率)。

(2)P＝Fvcos_α(α为F与v的夹角)。 3．额定功率

机械长时间工作时的最大功率。 4．实际功率

机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。

[试一试]

2．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在

1.功的正负的判断方法 (1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断。 (2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断。当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功，α＝90°，力对物体不做功。 (3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。 2．功的计算方法 (1)恒力做功： (2)变力做功： ①用动能定理：W＝12mv 22－12mv 12 ②当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒功率启动时。 ③将变力做功转化为恒力做功： 当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。 (3)总功的计算： ①先求物体所受的合外力，再求合外力的功； ②先求每个力做的功，再求各功的代数和。 [例1] 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图5－1－4甲和乙所示。求： (1)在第1秒内、第2秒内力F对滑块做的功W1、W2； (2)前两秒内力F的总功WF及滑块所受合力的功W。 1

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图5－1－4

[答案] (1)0.5 J －1.5 J (2)－1.0 J 0

功率的计算 1.平均功率的计算方法 —

(1)利用P＝W

t

。

—

—

—

(2)利用P＝F·vcos θ，其中v为物体运动的平均速度，F为恒力。

2．瞬时功率的计算方法

(1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。

(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。

(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。

[例2] 一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1秒内受到2 N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N的外力作用。下列判断正确的是( )

A．0～2 s内外力的平均功率是94 W

B．第2秒内外力所做的功是5

4 J

C．第2秒末外力的瞬时功率最大

D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是45

[答案] AD

机车的启动问题 1.机车的输出功率

P＝Fv，其中F为机车的牵引力，v为机车运动速度。

2．两种启动方式对比

3．三个重要关系式

(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝

PFmin＝P

F(式中Fmin阻

为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。

(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝

PFPF。 阻

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻l＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。

[例3] (2012·福建高考)如图5－1－5，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计。求：

图5－1－5

(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；

(2)小船经过B点时的速度大小v1； (3)小船经过B点时的加速度大小a。 [随堂巩固落实]

1．运动员在110米栏比赛中，主要有起跑加速、途中匀速跨栏和加速冲刺三个阶段，运动员的脚与地面间不会发生相对滑动，以下说法正确的是( )

A．加速阶段地面对运动员的摩擦力做正功 B．匀速阶段地面对运动员的摩擦力做负功 C．由于运动员的脚与地面间不发生相对滑动，所以不论加速还是匀速，地面对运动员的摩擦力始终不对运动员做功

D．无论加速还是匀速阶段，地面对运动员的摩擦力始终做负功

解析：选C

2

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2．如图5－1－11所示，三个固定的斜面底边长度相等，斜面倾角分别为30°、45°、60°，斜面的表面情况都一样。完全相同的三物体(可视为质点)A、B、C分别从三斜面的顶部滑到底部，在此过程中( )

图5－1－11

A．物体A克服摩擦力做的功最多 B．物体B克服摩擦力做的功最多 C．物体C克服摩擦力做的功最多 D．三物体克服摩擦力做的功一样多 解析：选D

3.开口向上的半球形曲面的截面如图5－1－12所示，直径AB水平。一小物块在曲面内A点以某一速率开始下滑，曲面内各处动摩擦因数不同，因摩擦作用物块下滑时速率不变，则下列说法正确的是( )

图5－1－12

A．物块运动过程中加速度始终为零 B．物块所受合外力大小不变，方向在变 C．在滑到最低点C以前，物块所受重力的瞬时功率越来越大

D．在滑到最低点C以前，物块所受摩擦力大小不变

解析：选B 4.如图5－1－13所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )

图5－1－13

A．重力做功为mgL B．绳的拉力做功为0

C．空气阻力(F阻)做功为－mgL

D．空气阻力(F1

阻)做功为－2F阻πL

解析：选ABD

5．(2013·湖南联考)质量为2×103 kg，发动机额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶；若汽车所受阻力大小恒为4×103 N，则下列判断中正确的有( )

A．汽车的最大动能是4×105 J

B．汽车以加速度2 m/s2匀加速启动，启动后第2秒末时发动机实际功率是32 kW

C．汽车以加速度2 m/s2做初速度为0的匀加速运动中，达到最大速度时摩擦力做功为4×105 J

D．若汽车保持额定功率启动，则当汽车速度为5 m/s时，其加速度为6 m/s2

解析：选ABD

6. (2013·六盘水模拟)如图5－1－14所示，水平传送带正以2 m/s的速度运行，两端水平距离l＝8 m，把一质量m＝2 kg的物块轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向右运动，若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，求把这个物块从A端传送到B端的过程中，摩擦力对物块做功的平

均功率(不计物块的大小，g取10 m/s2)。

图5－1－14

答案：0.8 W

[课时跟踪检测]

高考常考题型：选择题＋计算题

1．若在水平直轨道上有一列以额定功率行驶的列车，所受阻力与质量成正比，由于发生意外情况，最后几节车厢与车体分离，分离后车头保持额定功率运行，则( )

A．车头部分所受牵引力增大，速度也增大 B．车头部分所受牵引力减小，速度也减小

C．脱离部分做匀减速运动，车头部分做匀加速运动

D．分离出的车厢越多，车头能获得的最大速度越大

解析：选D

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2．(2013·淄博模拟)质量为1 500 kg的汽车在平直的公路上运动，v－t图象如图1所示。由此可求( )

图1

A．前25 s内汽车的位移 B．前10 s内汽车所受的牵引力 C．前10 s内汽车的平均速度 D．15～25 s内合外力对汽车所做的功 解析：选ACD

3. (2012·江苏高考)如图2所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )

图2

A．逐渐增大B．逐渐减小

C．先增大，后减小D．先减小，后增大 解析：选A

4.如图3所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是( )

图3

A．支持力一定做正功B．摩擦力一定做正功 C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做负功 解析：选B

5．(2012·山西大学附中测试)一物体在粗糙的水平面上滑行。从某时刻起，对该物体再施加一水平恒力F，则在下列运动一段时间内( )

A．如果物体改做匀速运动，则力F一定对物

体做正功

B．如果物体改做匀加速直线运动，则力F一定对物体做正功

C．如果物体仍做匀减速运动，则力F一定对物体做负功

D．如果物体改做曲线运动，则力F一定对物体不做功

解析：选AB 。

6.如图4所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是( )

图4

A．FN和Ff对物块都不做功

B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功 C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0 解析：选B 。

7．(2012·哈尔滨模拟)质量分别为2 m和m的A、B两种物体分别在水平恒力F1和F2的作用下沿水平面运动，撤去F1、F2后受摩擦力的作用减速到停止，其v－t图象如图5所示，则下列说法正确的是( )

图5

A．F1、F2大小相等

B．F1、F2对A、B做功之比为2∶1 C．A、B受到的摩擦力大小相等

D．全过程中摩擦力对A、B做功之比为1∶2 解析：选C 。

8．电动机以恒定的功率P和恒定的转速n卷动绳子，拉着质量为M的木箱在光滑的水平地面上前进，如图6所示，电动机卷绕绳子的轮子的半径

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为R，当运动至绳子与水平面成θ角时，下述说法正确的是( )

图8

图6

A．木箱将匀速运动，速度是2πnR

B．木箱将匀加速运动，此时速度是2πnR/cos θ A．汽车的功率 B．汽车行驶的最大速度 C．汽车所受到的阻力

D．汽车运动到最大速度所需的时间 C．此时木箱对地的压力为Mg－Psin θ2πnR

D．此过程木箱受的合外力大小和方向都在变化

解析：选C

9．(2012·四川高考)如图7所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m的物体接触(未连接)，弹簧水平且无形变。用水平力F缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了x0，此时物体静止。撤去F后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x0。物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则( )

图7

A．撤去F后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动

B．撤去F后，物体刚运动时的加速度大小为

kx0m－μg

C．物体做匀减速运动的时间为2

x0μg

D．物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为μmg(xμmg

0－k

)

解析：选BD 。

10. (2012·徐州模拟)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数1

v图象如图8所示。

若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是( )

解析：选D

11．(2013·日照模拟)如图9所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，求这一过程中：

图9

(1)人拉绳子的力做的功； (2)物体的重力做的功；

(3)物体受到的各力对物体做的总功。 12．(2013·上海模拟)如图10甲所示，在水平

路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图象如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。

图10

(1)求汽车在AB路段上运动时所受的阻力Ff1。 (2)求汽车刚好到达B点时的加速度a。 (3)求BC路段的长度。

1．如图1所示，一个物块在与水平方向成α

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角的恒力F作用下，沿水平面向右运动一段距离x，5.如图3所示，在外力作用下某质点运动的v在此过程中，恒力F对物块所做的功为( )

图1

A.Fxsin α B.Fx

cos α C．Fxsin α D．Fxcos α 解析：选D

2．把动力装置分散安装在每节车厢上，使其既具有牵引动力，又可以载客，这样的客车车辆叫做动车。几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组，就是动车组，假设动车组运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比，每节动车与拖车的质量都相等，每节动车的额定功率都相等。若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为120 km/h；则6节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为( )

A．120 km/h B．240 km/h C．320 km/h D．480 km/h 解析：选C

3．质量为m的物体从倾角为α且固定的光滑斜面顶端由静止开始下滑，斜面高为h，当物体滑至斜面底端时，重力做功的瞬时功率为( )

A．mg2gh B.1

2mg2ghsin α

C．mg2ghsin α D．mg2ghsin α 解析：选C

4．如图2所示，分别用F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力F1、F2、F3的功率关系为( )

图2

A．P1＝P2＝P3 B．P1＞P2＝P3 C．P3＞P2＞P1 D．P1＞P2＞P3 解析：选A

－t图象为正弦曲线。从图中可以判断( )

图3

A．在0～t1时间内，外力做正功 B．在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大 C．在t2时刻，外力的功率最大 D．在t1～t3时间内，外力做的总功为零 解析：选AD 。

6.如图4所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球，一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速运动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为( )

图4 A．mgLω B.3

2

mgLω C.12mgLω D.3

2mgLω 解析：选C

7．一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能( )

A．一直增大

B．先逐渐减小至零，再逐渐增大 C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小 D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大

解析：选ABD

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