第11章作业题

11-9 在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1 nm 的单色光照射，双缝与屏的距离d′＝300mm．测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离．

分析 双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x5 －x-5 ＝10Δx 可求出Δx．再由公式Δx ＝d′λ／d 即可求出双缝间距d．

解 根据分析：Δx ＝（x5 －x-5）/10 ＝1.22×10-3 m

双缝间距： d ＝d′λ／Δx ＝1.34 ×10-4 m

11-12 一双缝装置的一个缝被折射率为1.40的薄玻璃片所遮盖，另一个缝被折射率为1.70 的薄玻璃片所遮盖．在玻璃片插入以后，屏上原来中央极大的所在点，现变为第五级明纹．假定λ＝480nm，且两玻璃片厚度均为d，求d 值．

题11-12图

分析 本题是干涉现象在工程测量中的一个具体应用，它可以用来测量透明介质薄片的微小厚度或折射率．在不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P 的光程差由其几何路程差决定，对于点O，光程差Δ＝0，故点O 处为中央明纹，其余条纹相对点O 对称分布．而在插入介质片后，虽然两相干光在两介质薄片中的几何路程相同，但光程却不同，对于点O，Δ≠0，故点O 不再是中央明纹，整个条纹发生平移．这时，干涉条纹空间分布的变化完全取决于光程差的变化．因此，对于屏上某点P（明纹或暗纹位置），只要计算出

插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况．

插入介质前的光程差Δ1 ＝r1 －r 2 ＝k1 λ（对应k1 级明纹），插入介质后的光程差Δ2 ＝[（n1－1）d ＋r1 ］－[（n2 －1）d ＋r2 ］＝k2 λ（对应k2 级明纹）．光程差的变化量为

Δ2 －Δ1 ＝（n2 －n1 ）d ＝（k2 －k1 ）λ

式中（k2 －k1 ）可以理解为移过点P 的条纹数（本题为5）．因此，对于这类问题，求解光程差的变化量是解题的关键．

解 由上述分析可知，两介质片插入前后，对于原中央明纹所在点O，有

21n2n1d5

将有关数据代入可得

d58.0μmn2n1

11-13 白光垂直照射到空气中一厚度为380 nm 的肥皂膜上．设肥皂的折射率为1.32．试问该膜的正面呈现什么颜色？ 背面呈现什么颜色？

分析 这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围），求背面呈现的颜色就是在透射光中求干涉增强（即反射减弱）光的波长．

解 根据分析对反射光加强，有

2ne/2kk1,2,...

4ne/2k1

在可见光范围，k ＝2 时，668.8nm（红光）

k ＝3 时，401.3nm（紫光）

故正面呈红紫色．同理，对透射光加强，有

2ne ＝kλ （k ＝1，2，…）

在可见光范围仅有k＝2 时，λ＝501.6 nm（绿光）．即背面呈绿色．

11-14 在折射率n3 ＝1.52 的照相机镜头表面涂有一层折射率n2 ＝1.38的MgF2

增透膜，若此膜仅适用于波长λ＝550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？

分析 在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都将对两反射光（或两透射光）的光程差产生影响，从而可使某些波长的光在反射（或透射）中得到加强或减弱，这种选择性使薄膜干涉在工程技术上有很多应用．本题所述的增透膜，就是希望波长λ＝550nm的光在透射中得到加强，从而得到所希望的照相效果（因感光底片对此波长附近的光最为敏感）．具体求解时应注意在d>0的前提下，k 取最小的允许值．

解1 因干涉的互补性，波长为550nm 的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，两反射光的光程差Δ2 ＝2n2 d，由干涉相消条件

4n222k12 ，得

d2k1

取k ＝0，则dmin ＝99.6nm．

解2 由于空气的折射率n1 ＝1，且有n1 ＜n2 ＜n3 ，则对透射光而言，两相干光的光程差

12n2d2，由干涉加强条件Δ1 ＝kλ，得

d2k14n2

取k ＝1，则膜的最小厚度dmin ＝99.6nm．

11-15 利用空气劈尖测细丝直径．如图所示，已知λ＝589.3 nm，L ＝2.888 ×10-2m，测得30 条条纹的总宽度为4.259 ×10-3 m，求细丝直径d．

分析 在应用劈尖干涉公式

dL2nb 时，应注意相邻条纹的间距b 是N 条条纹的宽

度Δx 除以（N －1）．对空气劈尖n ＝1．

xN1，则细丝直径为

解 由分析知，相邻条纹间距

bd2nbLN12nx5.75105m

题11-15 图

11-18 折射率为1.60 的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜（劈尖角θ 很小）．用波长λ＝600nm 的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．假如在劈形膜内充满n ＝1.40 的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小Δl ＝0.5 mm，那么劈尖角θ 应是多少？

分析 劈尖干涉中相邻条纹的间距l≈λ/2nθ，其中θ 为劈尖角，n 是劈尖内介质折射率．由于前后两次劈形膜内介质不同，因而l 不同．则利用l≈λ/2nθ和题给条件可求出θ．

解 劈形膜内为空气时，l空/2

l液/2n劈形膜内为液体时，

则由

ll空l液//2n，得

11/n2l1.71104rad

11-24 如图所示，狭缝的宽度b ＝0.60 mm，透镜焦距f ＝0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处．若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O 为x ＝1.4 mm处的点P，看到的是衍射明条纹．试求：（1） 该入射光的波长；（2） 点P条纹的级数；（3） 从点P 看来对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目．

2，在观察点P 确定（即φ确定）后，

分析 单缝衍射中的明纹条件为

bsin2k1由于k 只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值．此外，如点P 处的明纹级次为k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k ＋1），它们都与观察点P 有关，φ越大，可以划分的半波带数目也越大．

xd．根据单

解 （1） 透镜到屏的距离为d，由于d ＞＞b，对点P 而言，有缝衍射明纹条件

bsin2k1sin2，有

bx2k1d2

将b、d（d≈f）、x 的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有

min400nm时,kmax4.75max760nm时,kmax2.27

因k 只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k ＝４ 和k ＝３，它们所对应的入

射光波长分别为λ2 ＝466.7 nm和λ1 ＝600 nm．

（2） 点P 的条纹级次随入射光波长而异，当λ1 ＝600 nm时，k ＝3；当λ2 ＝466.7 nm时，k ＝4．

（3） 当λ1 ＝600 nm 时，k ＝３，半波带数目为（2k ＋1） ＝7；当λ2 ＝466.7 nm

时，k ＝4，半波带数目为9．

题11-24 图

11-25 单缝的宽度b ＝0.40 mm，以波长λ＝589 nm 的单色光垂直照射，设透镜的焦距f ＝1.0 m．求：（1） 第一级暗纹距中心的距离；（2） 第二级明纹距

中心的距离；*（3） 如单色光以入射角i ＝30°斜射到单缝上，则上述结果有何变动．

题11-25图

分析 对于问题（3）单色光倾斜入射单缝的情况，在入射光到达单缝时，其上下两列边界光线之间已存在光程差bsini（若为光栅，则为dsini），对应等光程的中央主极大将移至点O′（此时φ＝i ＝30°），屏上衍射条纹原有的对称性受到一定的破坏．

如图所示，对于点O′上方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，且φ＞i），满足

明条纹2k1/2 bsinisin 暗条纹k

如令sin1，可求得最大条纹级次km1 ．对于点O 下方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线同侧），满足

明条纹2k1/2 bsinisin 暗条纹k

如令sin1，可求得另一侧的最大条纹级次km2 ．对于点O′与O 之间的条纹（此时

入射光与衍射光位于法线两侧，但φ＜i），满足

明条纹2k1/2 bsinisin 暗条纹k

需要说明的是，点O′与O之间的条纹与点O下方的条纹属于中央主极大同一侧的各级条纹，不同的是前者k 值较小，后者k 值较大，且k 值在点O附近连续变化．

kb，则第一级（k ＝1）

解 （1） 由单缝衍射的暗纹条件bsin1k，得暗纹距中心的距离为

1sin1x1ftan1f11.4710-3m

（2） 由明纹条件距中心的距离为

bsin22k12，得

2sin22k12b，则第二级（k ＝2）明纹

x2ftan2f23.6810-3m

在上述计算中，由于k 取值较小，即φ较小，故sintan．如k 取值较大，则应严格计算．

*（3） 斜入射时，中央主极大移至点O′，先计算点O′上方条纹的位置：对于第

b一级暗纹，有

，sin1bsin30osin10.5，该暗纹距中心的距离

ftan1ftanarcsin0.50.580mx1b

对于第二级明纹，有

bsin30osin255，sin20.522b，该明纹距中心的距离

5ftan2ftanarcsin0.50.583mx22b

再计算O′点下方条纹的位置（由于所求k 值较小，其条纹应在O′与O 之间）：对于第一级暗纹，有

，sin10.5bsin30osin1b，该暗纹距中心的距离

ftan1ftanarcsin0.5575mx1b

对于第二级明纹，有

bsin30osin2550.5，sin222b，该明纹距中心的距离

5ftan2ftanarcsin0.50.572mx22b

讨论 斜入射时，中央主极大移至点O′（此时φ＝i ＝30°），它距中心点O的距离为

x0ftan30o0.577m，由上述计算数据可知，此时衍射条纹不但相对点O 不对称，而且相

对中央主极大的点O′也不再严格对称了．

11-26 一单色平行光垂直照射于一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为600 nm的单色光垂直入射时的第二级明纹的位置一样，求前一种单色光的波长．

分析 采用比较法来确定波长．对应于同一观察点，两次衍射的光程差相同，由于衍射明纹条件

bsin2k12，故有2k1112k212，在两明纹级次和其中一种波长已知

的情况下，即可求出另一种未知波长．

解 根据分析，将2600nm,k22,k13代入（2k1112k212 ，得

k212122k428.6nm11