推荐 高等数学同济第七版上册课后习题答案

1.求下列函数的自然定义域：

(1)y3x2;11x2;(3)yx(5)ysinx;(7)yarcsin(x3);(9)yln(x1);1

(2)y;2

1x

1(4);y

4x2(6)ytan(x1);1

(8)y3xarctan;

x

1

(10)ye.

解：

ex

22

(1)3x20x，即定义域为,

33

(2)1x20x1,

即定义域为(,1)(1,1)(1,)

(3)x0且1x20x0且x1

即定义域为

1,00,1(4)4x20x2即定义域为(2,2)(5)x0,即定义域为0,(6)x1k

2

(kZ),

1即定义域为xxR且x(k)1,kZ2(7)x312x4,即定义域为2,4(8)3x0且x0，即定义域为(,0)0,3(9)x10x1即定义域为(1,)(10)x0,即定义域为(,0)(0,)

f(x)和g(x)是否相同？为什么？

2.下列各题中，函数

(1)f(x)lgx2,g(x)2lgx(2)f(x)x,g(x)x2(3)f(x)3(x4x3),g(x)x3x1(4)f(x)1,g(x)sec2xtan2x解：

（1）不同，因为定义域不同

x,x0

（2）不同，因为对应法则不同，g(x)x

x,x0

2（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同



sinx,x3

3.设(x)

0,x3

求(

),(),(),(2),并指出函数y(x)的图形

644

解：

21

()sin,()sin,6624422()sin(),(2)0,

424

y(x)的图形如图11所示

4.试证下列函数在指定区间内的单调性：

x

(1)y;

1x

(2)yxlnx,(0,)

证明：

x1

(1)yf(x)1,(,1)

1x1x

设x1x21，因为

x2x1

f(x2)f(x1)0

(1x1)(1x2)

所以

f(x2)f(x1),即f(x)在(,1)内单调增加x1x2，因为

(2)yf(x)xlnx,(0,)

设0

x2

f(x2)f(x1)x2x1ln0

x1

所以

f(x2)f(x1)即f(x)在(0,)内单调增加

f(x)为定义在(l,l)内的奇函数，若f(x)在(0,l)内单调增

f(x)在(l,0)内也单调增加

5.设

加，证明证明：设l由

x1x20，则0x2x1l

f(x)在(0,l)内单调增加，所以f(x1)f(x2)0

f(x)是奇函数，得f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x)在(l,0)内也单调增加

因为即

6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(l,l)上的。证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数

（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明：

(1)设f1(x),f2(x)均为偶数，则f1(x)f1(x),f2(x)f2(x)

令F(x)

f1(x)f2(x)

f1(x)f2(x)f1(x)f2(x)F(x)

于是F(x)

故F(x)为偶函数

设g1(x),g2(x)均为奇函数，

则g1(x)g1(x),g2(x)g2(x)令G(x)

g1(x)g2(x)

g1(x)g2(x)g1(x)g2(x)G(x)

于是G(x)

故G(x)为奇函数

则f1(x)f1(x),f2(x)f2(x)(2)设f1(x),f2(x)均为偶数，令F(x)

f1(x)f2(x)

f1(x)f2(x)f1(x)f2(x)F(x)

于是F(x)

故F(x)为偶函数

设g1(x),g2(x)均为奇函数，则

g1(x)g1(x),g2(x)g2(x)

令G(x)于是

g1(x)g2(x)

G(x)g1(x)g2(x)g1(x)g2(x)g(x1)g(x2)G(x)

故G(x)为偶函数设则

f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)f(x),g(x)g(x)

f(x)g(x)

令H(x)于是

H(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)H(x)

故H(x)为奇函数

7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？

(1)yx2(1x2);

1x2

(3)y;2

1xxx

aa(5)ysinxcosx1;(6)y

2

解：（1）因为所以

(2)y3x2x3;

(4)yx(x1)(x1);

222f(x)(x)21(x)x(1x)f(x)

f(x)为偶函数

（2）因为

f(x)3(x)(x)3xx

2323

f(x)f(x),且f(x)f(x)

所以

f(x)既非偶函数又非奇函数

1(x)21x2

f(x)（3）因为f(x)22

1(x)1x

所以

f(x)为偶函数

f(x)x(x1)(x1)f(x)

（4）因为所以

f(x)奇函数

f(x)sin(x)cos(x)1sinxcosx1,

（5）因为

f(x)f(x)且f(x)f(x)

所以

f(x)既非偶函数又非奇函数

（6）

aa

因为f(x)f(x)

2

所以

xx

f(x)为偶函数

8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期

(1)ycos(x2);(3)y1sinx;(5)ysin2x

解：

（1）是周期函数，周期l（2）是周期函数，周期l

(2)ycos4x;(4)yxcosx;

2

2

（3）是周期函数，周期l2

（4）不是周期函数（5）是周期函数，周期l9.求下列函数的反函数

(1)y3x1;axb

(adbc0);(4)y2sin3x(x);(3)y

66cxd

(5)y1ln(x2);2x

(6)yx

21

解：（1）由y1x

;(2)y

1x

3x1解得xy31，既反函数为yx31

1x1x1y

（2）由y解得x，既反函数为y

1x1x1yaxbdxbdyb

（3）由y解得x，既反函数为y

cyacxdcxa

1y

（4）由y2sin3x(x)解得xarcsin，

66321x

既反函数为yarcsin

23

y

（5）由y1ln(x2)解得xlog，

1y

x

既反函数为ylog

1x

2xy

（6）由yx解得xlog2，

211y

x

既反函数为ylog2

1x

10.设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界

的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界解：设

f(x)在X上有界，既存在M0，使得

f(x)M,xX,

f(x)在X上有上界K1，下界K2，即

f(x)M,xX,

故M既

f(x)X上有上界M，下界M

反之，设

K2f(x)K1,xX

取M

maxK1,K2，则有

f(x)M,xX

即

f(x)在X上有界

11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值

(1)yu,usinx,x1(2)ysinu,u2x,x1

2

6,x23;;48(3)yu,u1x2,x11,x22;(4)yeu,ux2,x10,x21;(5)yu,ue,x11,x21解：

2

x

,x231

(1)ysinx,y1,y2

442(2)ysin2x,y1,y21

22

(3)y1x2,y12,y25(4)ye,y11,y2e(5)ye2x,y1e2,y2e2

12.设的定义域D

x2

0,1，求下列各函数的定义域：

(2)f(sinx)(1)f(x2);(3)f(xa)(a0);(4)f(xa)f(xa)(a0)

解：

(1)0x21x1,1(2)0sinx1x2n,(2n1),nZ(3)0xa1xa,1a0xa11(4)当0a时，xa,1a；

20xa1

1

当a时定义域为

2

13.设

1,x1f(x)0,x1,g(x)ex1,x1求

fg(x)和gf(x)，并作出这两个函数的图形

解：

1,x0

x

fg(x)f(e)0,x0

1,x0

gf(x)ef(x)e,x11,x1e1,x1fg(x)与gf(x)的图形依次如图12，图13所示

14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40（图1-4）.当过水

ABBCCD)

断面ABCD的面积为定值S0时，求湿周L(L与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域

解：

h

ABCD

sin40

1

又S0hBC(BC2cot40h)2

S0

cot40h得BCh

S02cos40

所以Lh

hsin40S0而h0且cot40h0，

h

因此湿周函数的定义域为(0,S0tan40)15.设xOy平面上有正方形D线l:x

(x,y)0x1,0y1及直

yt(t0)若S(t)表示正方形D位于直线左下方部分的

面积，试求S(t)与t之间的函数关系解：

12

当0t1时，S(t)t

21122

当1t2时，S(t)1(2t)t2t1

22

当t2时，S(t)1

12

t,0t12



12

故t2t1,1t22

1,t2



16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求（1）90

F的等价摄氏温度和5C的等价华氏温度；

（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？解：设F

mCb,其中m,b均为常数

因为F32相当于C0,F212相当于C100，

21232

1.8所以b32,m

100

5

故F1.8C32或C(F32)

95

(1)F90,C(F32)32.2

9

C5,F1.8(5)3223

(2)设温度值t符合题意，则有t1.8t2,t40

即华氏40恰好也是摄氏40



17.已知Rt󰀀ABC中，直角边AC，BC的长度分别为20，15，动点P从C出发，沿三角形边界按C

BA方向移动；动点Q从

C出发，沿三角边界按CAB方向移动，移动到两动点相遇

时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动的距离为x，󰀀CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系.解：因为AC

20,BC15,所以,AB20152522由202152025可知，点P,Q在斜边AB上相遇

即当x20时，点P,Q相遇，令x2x152025得x20，因此所求函数的定义域为(0,20)（1）当0由CP

x10时，点P在CB上，点Q在CA上（图1-5）x15时点P在CB上点Q在AB上（图1-6）

x,CQ2x，得yx2

（2）当10

CPx,AQ2x20

设点Q到BC的距离为h，则

BQ452xh

,

202525

4

得h(452x)，故

51242

yxhx(452x)x18x

255

（3）当15x20时点P,Q都在AB上（图1-7）

BPx15,AQ2x20,PQ603x

设点C到AB的距离为h，则

1520h12

251得yPQh18x360

2

综上可得

x2,0x10

42

x18x,10x15518x360,15x20

18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口

解：

由表中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是1.100，于是在2008年后的第t年，世界人口将是

p(t)6708.2(1.011)t（百万）

2020年对应t

12，于是

p(12)6708.2(1.011)127649.3（百万）亿

即推测2020年的世界人口约为76亿

习题1-2

1.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察

xn的变化趋势，写出它们的极限：

(1)1(2)n12n;

(1)n;

(3)21(4)n1n2;n1;(5)n(1)n;(6)2n13n;(7)n1n;(8)

(1)n

1n1n解:

(1)收敛，nlim2

n

0

(2)收敛，lim(n

1

n1)

n

0(3)收敛，lim(2n1

n

2)2

(4)收敛，lim

n1

n1n1(5)n(1)n

发散

(6)收敛，lim2n1

n3

0

(7)



n1n发散

n1n

（8)(1)1n发散



2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？(2)无界数列是否一定收敛？(3)有界数列是否一定收敛？解：(1)必要条件(2)一定发散

(3)未必一定发散，如数列

n

1)(有界，但它是发散的

3.下列关于数列的极限是的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例。（1）对于任意给定的0，存在NN，当nN时，不等式0，存在NN，当nN时，有无穷多

xna成立

（2）对于任意给定的项xn，使不等式

xna成立

0，存在NN，当nN时，

N时，

（3）对于任意给定的不等式

xna成立，其中c为某个常数

（4）对于任意给定的mN，存在NN，当n

1

不等式xna成立

m

解：

1n

对任给的0(设>1)，（1）错误，如对数列(1),a1，

n

111n

(1)1但(1)存在N，当nN时，

nnn

1

n

的极限不存在

n,n2k1,



（2）错误，如对数列xnkN,a1，对任给的1

1,n2k,n

1

0(设>1)，存在N，当nN且n为偶数时时，

1

xna成立，但xn的极限不存在

n

1

（3）正确，对任给的0，取0，按假设，存在NN，

c1

当nN时，不等式xnac成立

c

1

（4）正确，对任给的0，取mN，使，按假设，

m1

成立存在NN，当nN时，不等式xnam1n，问limxn？求出，使4.设数列xn的一般项xncos

n22

当nN时，xn与其极限之差的绝对值小于正数当0.001时，

求出数N解：limxn

n

0证明如下

1n1

因为xn0cos,

nn2

11

要使xn0，只要，即n，所以0

n1

（不妨设1），取N，则当nN时，就有xn01当0.001时，取N1000，即若0.001，只要

n1000，就有xn00.001

5.根据数列极限的定义证明：

(1)lim0;

n

n2a2(3)lim1;nn证明：（1）因为要使

3n13(2)lim;n02n1291(4)lim0.999n0

n个

111

02，只要n2nn，所以0

11（不妨设1）取N，则当nN时，就有20，n1即lim20nn

（2）因为

113n133n13

，，要使

2n122n122(2n1)4n

1只要4n1

，即n

41

，所以0（不妨设），取

4

3n131

N，则当nN时，就有，

2n124

3n13

即limn2n12

显然有此结论，以下设a0，（3）当a0时，所给数列为常数列，

因为

n2a2n2a2na2a21222nnn(nan)2n

要使aa2n2a2即n1只要2，

2nn2，所以0

a12

（不妨设a），取N，则当nN

22时，就有

nana11，即limnnn1

91要使0.99991，（4）因为0.99910n个n个

22221

只要n

10

即nlg

1

，所以，取0（不妨设1）

1

Nlg，即当nN



91lim0.999

n

n个

时，就有

910.999

n个

，即

6.若limun

n

a，证明limuna，并举例说明：如果数列xnn

有极限，但数列证：因为limun

n

xn未必有极限

所以0，当nN时，有una，N，a，

从而有故lim

n

unaunauna

n

nalimulimua但由，并不能推得，例如，考虑数列(1)，nn

n

虽然lim

n

(1)n1，但(1)n没有极限

7.设数列

yn0，证明：limxnyn0xn有界，又lim

nn

证：因数列xn有界，故M0，使得对一切nyn0，故对1nM,0，由于limn

当n

有

M

0,N,

N时，就有yn1

M

cone从而有

xnyn0xnynM

所以

M

limxnyn0

n

8.对于数列证明：xn证：

xn，若x2k1a(k),x2ka(k)，

a(n)

因为x2k有

a(k)，所以0,k1当kk1时，

x2k1a；又因为x2ka(k)，所以对上述0，

k2时，有x2ka取N2K，则当nN时，若n2k1，maxk1,k2，

当k记K则

1

kKk1xnax2k1a2

若n2k，则kKk2xnax2ka从而只要n

N，就有xna，即limxna

n

习题1-3

1.对图1-8所示的函数由

f(x)，求下列极限，如极限不存在，说明理

(1)limf(x)

x2(2)limf(x)

x1(3)limf(x)

x0解：

(1)limf(x)0

x2

(2)limf(x)1

x1

(3)limf(x)不存在，因为f(0)f(0)

x0

2.如图1-9所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？

(1)limf(x)不存在

x0

(2)limf(x)0

x0(3)limf(x)1

x0(4)limf(x)0

x1(5)limf(x)不存在

x1

(6)对每个x0(1,1)，limf(x)存在

xx0

解：

（1）错，lim

x0

f(x)存在与否，与f(0)的值无关，

事实上，lim

x0

f(x)0

f(0)f(0)0

（3）错，limf(x)的值与f(0)的值无关

（2）对，因为

x0

（4）错，

f(1)0，但f(1)1，故limf(x)不存在

x1

（5）对，因为（6）对

f(1)f(1)

3.对图1-10所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的

(1)limf(x)1

x1

(2)limf(x)不存在

x1

(3)limf(x)0

x0

(4)limf(x)1

x0

f(x)1(5)lim

x1

(6)limf(x)0

x1

(7)limf(x)0

x2

(8)limf(x)0

x2

解：（1）对

（2）对，因为当x1，（3）对，因为

x0

f(x)无定义

f(0)f(0)0

（4）错，limf(x)的值与f(0)的值无关

（5）对（6）对（7）对（8）错

xx

4.求f(x),(x)

xx

在x0时的极限是否存在解：

，当x0时的左右极限，并说明它们

xx

limf(x)lim1,limf(x)lim1x0x0xx0x0x因为limf(x)1limf(x),所以limf(x)1

x0

x0

x0

xxxx

1lim(x)limlim1,lim(x)limlim



x0xx0xx0x0xx0xx0

因为lim(x)

x0

x0

lim(x)所以lim(x)不存在

x0

5.根据函数极限的定义证明：

(1)lim(3x1)8;

x3

2

(2)lim(5x2)12;x2

2

1x4x42(3)lim4;(4)lim1

x2x2x2x12

解：（1）因为

(3x1)83x93x3,

要使(3x1)8

33

就有(3x1)8，即lim(3x1)8则当0x3时，

x3

，只要x3

，所以0，取

，

（2）因为

(5x2)125x105x2,

要使(5x2)12只要

取0，

5

就有(5x2)12x2

x2

，所以5

，则当0x2时，

即lim(5x2)12（3）因为x2,x

2,

x24

(4)x2(4)x2x(2),x2

要使只要

x24

(4),x2

x(2)，所以0，取，

则当0x(2)时，

就有

x24

x2

(4),即xlimx242x2

4（4）因为x1

12,x

2

14x22x1

212x22x(12)

要使

14x22x1

2,只要x(12)2，所以0，取2，

则当0x(1

2

)时，

就有

14x22x12,14x2

即limx

12

2x12

6.根据函数定义证明：

(1)lim1x31sinxx2x32;(2)xlimx0证：

1x311x311

，（1）因为，要使333

2x222x2x

只要

12x

3，即

1x321，所以0，取X32，则

1x311x31

，即lim当xX时，就有33x2x2x22

（2）

sinx10因为，

xxsinx11

0，只要要使，即x2，所以0，

xxsinxsinx0，取X2，则当xX时，就有即lim0

xxx1

7.当x2时，y

x24问等于多少，使当x2时，

y40.001？

解：由于x2,要使

x20，不妨设x21，即1x3

x24x2x25x20.001，只要

0.001

x20.0002

5

取0.0002，则当0x2时，就有x240.001

x21

8.当x时，y21问X等于多少，

x3

使当解：因为

xX时，y10.01？

x21x2144

10.01，2，要使2122x3x3x3x

4

只要20.01，即x20，取X20，

x

则当xX时，就有y10.01

9.证明函数证:因为

f(x)x当x0时极限为零

x0xx0，所以0，取，

x0时，就有x0，即lim0

x0

则当0

10.证明：若x及x时，函数等于A，则lim证：因为就有

x

x

f(x)的极限都存在且都

f(x)A

limf(x)A，所以0,X10，当xX1时，f(x)Ax

又因为

所以对上面的0,X20，当xX2limf(x)A，

时，就有即x

f(x)A，取XmaxX1,X2

，则

x

xX当，

X或xX时，就有f(x)A即limf(x)A

11.根据函数极限的定义证明:函数

f(x)当xx0时极限存在的充

分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等证：

必要性，若lim时，就有

xx0

f(x)A，则0,0当0xx0f(x)A特别,当0当0

f(x)A；xx0时，有f(x)A，即lim

xx0

xx0

x0x时，有f(x)A，即limf(x)A

xx0

充分性，若lim当0当0

f(x)Alimf(x)，则0,10，

xx0

xx01时，就有f(x)A；又20x0x时，就有f(x)A即limf(x)A

xx0

12.试给出x时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明解：

局部有界性定理，如果lim

x

f(x)A，那么存在常数M0和

X0，使得当xX时，有f(x)M

证明如下：因为lim当

x

f(x)A，所以对10,X0，

xX时，就有f(x)A1，从而A1，即有当xX时，f(x)M

f(x)f(x)AA1A

取M

习题1-4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。解：

不一定，例如(x)2x与(x)3x，都是当x0时的无穷小，

(x)2但却不是当x0时的无穷小(x)3

2.根据定义证明：

x29

为当x3时的无穷小(1)y

x31

(2)yxsin为当x0时的无穷小

x

证：（1）因为

x29

x3，所以0，取，

x3

x3时，就有

则当0

x29

x3

x29即为当x3时的无穷小

x3

（2）

1

因为xsinx，所以0，取，则当0x时，

x

1

就有xsinx

1

即xsin为当x0时的无穷小

x

12x

3.根据定义证明：函数y为当x0时的无穷大，问x应

x4

满足什么条件，能使y10？

证：

112x112x

因为22，要使M，

xxxx

只要

1112M，即x，所以M0，取，xM2M2

12x则当0x0时，就有M

x

12x即为当x0时的无穷大

x

114

当0x0时，令M10，取44

102102

12x

104就能使

x

4.求下列极限并说明理由

2x11x2

(1)lim;(2)limxx01xx

解：

2x11(1)limlim(2)2xxxx

1

理由：由定理2，为当x时的无穷小；

x再由定理1lim(21

xx

)2，

(2)lim1x2

x01x

lim(1x0x)1

理由：由定理1，lim(1x0



x)1

5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表：

6.函数ycosx在(,)内是否有界？这个函数是否

0，总有x0(M,)，使cosx01，

为x时的无穷小？为什么？解：因为M从而y

所以ycosx在(,)内无界x0cosx0x0M，

又因为M从而y

0,X0，总有x0(X,)，使cosx00，

x0cosx00M，所以yf(x)xcosx，

不是当x时的无穷大

11

7.证明：函数ysin在区间0,1内无界，但这函数不是

xx

x0时的无穷大

证：

11

先证函数ysin在区间0,1内无界

xx

因为M0在0,1中总可找到点x0，使f(x0)M，例如，

可取x012k2(kN)，则f(x0)2k

2

，当k充分大

11

时，可使f(x0)M，所以ysin在0,1内无界

xx



再证函数不是x0时的无穷大

因为M

使0x0，但f(x0)M，0,0总可找到点x0，

1

(kN)，当k充分大时，0x0例如，可取x02k但f(x0)2ksin2k0M，11

所以ysin不是x0时的无穷大

xx4

8.求函数f(x)的图形渐近线2

2x

解：因为lim

x

f(x)0，所以y0是函数图形的水平渐近线

x2因为

x2limf(x),limf(x)，所以x2及x2都是函数图形的铅直渐近线

习题1-5

1.计算下列极限；

2

x25x3;(1)lim;(2)lim2x2x3x3x132

x22x14x2xx(3)lim;;(4)lim22x1x0x13x2x(xh)2x211(5)lim;(6)lim(22);h0xhxxx21x2x(7)lim2;(8)lim4;2x2xx1xx3x111x26x8

(10)lim(1)(22);(9)lim2;xx4x5x4xx111

(11)lim(1n);n242

123(n1)

(12)lim;2nn

(n1)(n2)(n3)(13)lim;3n5n13(14)lim()3x11x1x解：

x5x30(1)lim2x2x3lim(x1)x32lim(x23)x230

(2)lim20x3x14

x22x1x1(3)limlim02x1x1x1x14x2xx(4)lim2x03x2x

3

2

lim(4x22x1)

x0

lim(3x2)

x0

1

2

(xh)2x2

(5)limlim(2xh)2x

hh0h1111

(6)lim(22)lim2limlim22xxxxxxxx

1lim(12)2

x11xx(7)lim2x2xx1112lim(22)xxx11lim(23)2

xxxxx0(8)lim42xx3x131lim(124)xxx(x4)(x2)2x26x8

(9)lim2lim

x4x5x4x4(x4)(x1)3

11

(10)lim(1)(22)122

xxx

1111

(11)lim(1n)lim2(1n)2

nn24221

111123(n1)

(12)limlim(1)2nn2nn2

(n1)(n2)(n3)11231(13)limlim(1)(1)(1)3n5nnnn55n3(x1)(x2)1(14)lim()lim123x11xx1(1x)(1xx)1x2.计算下列极限:

x32x2

;(1)lim2x2(x2)x2

(2)lim;x2x1

(3)lim(2x3x1)

x

解：

(x2)2

（1）因为，lim30

x2x2x2

x32x2

所以lim2x2(x2)

2x121（2）因为limlim(2)02xxxxx

x2所以lim

x2x1

131x0lim（3）因为lim3xx2xx111223

xx所以lim(2x

x

3

x1)

3.计算下列极限：

1

(1)limxsin;x0x

2arctanx

(2)limxx

解：

1

（1）因为x0(x0),sin1，

x

2

1

所以limxsin0

x0x

1（2）因为，0(x),arctanx

x2arctanx

所以lim0

xx

2

4.设

a,b,c均为非负数列，

0,limbn1,limcn，下列陈述中哪些是对的，哪

n

n

且liman

n

些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例

(1)anbn,nN;(2)bncn,nN;

(3)limancn不存在；

n

(4)limbncn不存在

n

解：

（1）错，例如

1n

an,bn,nN,

nn1

当

n1

时，

1

a11b1故对任意nN，anbn不成立

2

n

,cn(1)n,nN,当n为奇数时，（2）错，例如bn

n1

bncn不成立

1

（3）错，例如an2,cnn,nN,limancn0

nn

1

（4）对，因为，若limbncn存在，则limcnlim(bncn)lim也

nnnnbn

存在，与已知条件矛盾

5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例（1）如果lim

xx0

f(x)存在，但limg(x)不存在，

xx0

那么

limf(x)limg(x)不存在

xx0xx0

xx0

（2）如果limf(x)和limg(x)都不存在，

xx0

那么

limf(x)limg(x)不存在

xx0xx0

xx0

（3）如果limf(x)存在，但limg(x)不存在，

xx0

那么解：

limf(x)limg(x)不存在xx0xx0

（1）对，因为，若

limf(x)limg(x)存在，xx0xx0

则limg(x)limf(x)limg(x)limf(x)也存在，与已xx0xx0xx0xx0

f(x)sgnx,g(x)sgnx在x0时的极限都

知条件矛盾（2）错，例如不存在，但

f(x)g(x)0在x0时的极限存在

1

（3）错，例如limx0,limsin在时的极限不存在，

xx0xx0x1

但limxsin0xx0x

6.证明本节定理3中的（2）定理3（2）如果lim那么lim证：因lim有

f(x)A,limg(x)B，

f(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

f(x)A,limg(x)B，由上节定理1，

fxA,gxB,，其中,都是无穷小，fxgxABABABB于是

由本节定理2推论1，2，A,B,B都是无穷小，再由本节定理1，

ABB也是无穷小，由上节定理1，得limfxgxABlimfxlimgx