→ =→ −→ 𝐴𝑀𝑂𝑀𝑂𝐴模|𝑟|=√𝑥2+𝑦2+𝑧2 与y轴:β 与z轴：γ 𝑧𝑐𝑠𝑐𝛾= |𝑟|→ 方向角 方向余弦 → 与𝑥轴：𝛼 𝑂𝑀𝑥csc𝛼= |𝑟|𝑦𝑐𝑠𝑐𝛽= |𝑟|𝑐𝑠𝑐𝜃= |𝑎||𝑏|θ →→𝑎𝑏𝑏→ 𝑎 →×→=（𝑎𝑥→+𝑎𝑦→+𝑎𝑧→）×（𝑏𝑥→+𝑏𝑦→+𝑏𝑧→） 𝑎𝑏𝑖𝑗𝑘𝑖𝑗𝑘→=𝑏𝑥→+𝑏𝑦→+𝑏𝑧→𝑏𝑖𝑗𝑘 →𝑖𝑎=|𝑥𝑏𝑥→𝑗𝑎𝑦𝑏𝑦→𝑘𝑎𝑦𝑎𝑧|=|𝑏𝑦𝑏𝑧𝑎𝑧𝑎𝑧→+||𝑏𝑧𝑖𝑏𝑧𝑎𝑥𝑎𝑥+|𝑏𝑏𝑥|→𝑗𝑥𝑎𝑦=→ 𝑏𝑦|→𝑘𝑐→=𝑎𝑥→+𝑎𝑦→+𝑎𝑧→𝑎𝑖𝑗𝑘→𝑐→⊥→且→⊥→ 𝑎𝑐𝑏𝑐平面的点法式方程→→ =0 𝑛𝑀0𝑀→平面法线 𝑛→ 平面上的向量 𝑀0𝑀椭圆锥面 二次曲面 单叶双曲面 椭圆抛物面 𝑥2𝑦2+2=𝑧2 2𝑎𝑏𝑥2𝑦2𝑧2+−=1 𝑎2𝑏2𝑐2𝑥2𝑦2+=𝑧 𝑎2𝑏2椭圆球面 双叶双曲面 双曲抛物面 𝑥2𝑦2𝑧2++=1 𝑎2𝑏2𝑐2𝑥2𝑦2𝑧2−−=1 𝑎2𝑏2𝑐2𝑥2𝑦2−=𝑧 𝑎2𝑏2连续多元初等函数在𝑃0的极限 lim𝑃→𝑃0lim𝑓(𝑃)=𝑓(𝑃0) 𝑥𝑦+1−111√𝑥𝑦+1−1=lim=lim= (𝑥,𝑦)→(0,0)(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥𝑦(√𝑥𝑦+1+1)(𝑥,𝑦)→(0,0)√𝑥𝑦+1+1𝑥𝑦2三元函数𝑢=𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 全微分𝑑𝑢=𝜕𝑥𝑑𝑥+𝜕𝑦𝑑𝑦+𝜕𝑧𝑑𝑧 抽象函数的z偏导 𝑧=𝑓(𝑢,𝑣)，𝑢=(𝑥,𝑦)，𝑣=(𝑥,𝑦) 𝜕2𝑧𝜕(𝑓𝑢𝑢𝑥)𝜕(𝑓𝑣𝑣𝑥)=+ 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑧𝜕𝑓𝜕𝑢𝜕𝑓𝜕𝑣=+=𝑓𝑢𝑢𝑥+𝑓𝑣𝑣𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑣𝜕𝑥𝜕(𝑓𝑢𝑢𝑥)的计算 𝜕𝑦1当𝑢𝑥=C即有𝜕(𝑓𝑢𝑢𝑥)=𝑢𝑥(𝜕𝑓𝑢𝜕𝑢+𝜕𝑓𝑢𝜕𝑣)=𝑢𝑥(𝑓𝑢𝑢𝑢𝑦+𝑓𝑢𝑣𝑣𝑦) ○𝜕𝑦𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦1
——sxd
𝜕(𝑓𝑣𝑣𝑥)𝜕𝑦亦然 2当𝑢𝑥=𝑢𝑥(𝑥,𝑦)即有𝜕(𝑓𝑢𝑢𝑥)=𝑓𝑢𝜕𝑢𝑥+𝑢𝑥(𝜕𝑓𝑢𝜕𝑢+𝜕𝑓𝑢𝜕𝑣) ○𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦=𝑢𝑥𝑦𝑓𝑢+𝑢𝑥(𝑓𝑢𝑢𝑢𝑦+𝑓𝑢𝑣𝑣𝑦) 方向导数𝜕𝑓│𝜕𝑙(𝑥0,𝑦0)=𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0)cos𝛼+𝑓𝑦(𝑥0,𝑦0)cos𝛽，其中cos𝛼，cos𝛽是方向𝑙的方向余弦 梯度grad𝑓(𝑥0,𝑦0)=▽𝑓(𝑥0,𝑦0)=𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0)→+𝑓𝑦(𝑥0,𝑦0)→ 𝑖𝑗𝜑1(𝑦)≤𝑥≤𝜑2(𝑦)，𝑐≤𝑦≤𝑑 𝑑𝐷𝑐𝜑2(𝑦)y d ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝜎=∫𝑑𝑦∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 𝑥=𝜑1(𝑦) a x D 𝑥=𝜑2(𝑦) 𝜑1(𝑦)∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦=∬𝑓(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃,𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃)𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 𝐷2𝐷D与𝑥或𝑦有关就可用 𝑏Ω𝑎2∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑣=∫𝑑𝑥∫𝑦2(𝑥)𝑑𝑦∫𝑧2(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑧 𝑦1(𝑥)𝑧1(𝑥,𝑦)𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃三重积分转化为柱坐标计算{𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑧=𝑧⇒∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=∭𝑓(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃,𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃,𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ΩΩΩ与𝑥2或𝑦2或𝑧2有关就可用 对弧长的曲线积分，𝑓(𝑥,𝑦)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 𝑥=𝜑(𝑡)𝛽1{()○，(𝛼≤𝑡≤𝛽)有：∫𝑓𝑥,𝑦𝑑𝑠=𝑓[𝜑(𝑡),𝜓(𝑡)]√𝜑′2(𝑡)+𝜓′2(𝑡)𝑑𝑡 (𝛼<𝛽) ∫𝐿𝛼𝑦=𝜓(𝑡)2𝑦=𝜓(𝑥)，(𝑥0≤𝑥≤𝑋)有：∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑠=∫𝑋𝑓[𝑥,𝜓(𝑥)]√1+𝜓′2(𝑡)𝑑𝑥 (𝑥0≤𝑋) ○𝐿𝑥0对坐标的曲线积分，𝑃(𝑥,𝑦)与𝑄(𝑥,𝑦)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 𝑥=𝜑(𝑡)𝛽1{{𝑃[𝜑(𝑡),𝜓(𝑡)]𝜑′(𝑡)+𝑄[𝜑(𝑡),𝜓(𝑡)]𝜓′(𝑡)}𝑑𝑡 ()()○有：∫𝑃𝑥,𝑦𝑑𝑥+𝑄𝑥,𝑦𝑑𝑦=∫𝐿𝛼𝑦=𝜓(𝑡)2𝑦=𝜓(𝑥)有：∫{𝑃[𝑥,𝜓(𝑡)]+𝑄[𝑥,𝜓(𝑡)]𝜓′(𝑥)}𝑑𝑥 ○𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=∫𝐿𝛼当𝜕𝑦=
𝜕𝑃𝜕𝑄时，起点与终点也相同时，沿不同路径的对坐标曲线积分的值相同 𝜕𝑥𝛽
(𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽)𝑑𝑠 两类曲线积分之间的转换∫𝑃𝑑𝑥+𝑄𝑑𝑦=∫𝐿𝐿𝜑′(𝑡)𝜓′(𝑡)𝑥=𝜑(𝑡)，𝑐𝑜𝑠𝛼=，𝑐𝑜𝑠𝛽= {𝑦=𝜓(𝑡)2222√𝜑′+𝜓′√𝜑′+𝜓′格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有 一阶连续偏导数，其中L是D的取正向的边界曲线，则有 𝜕𝑄𝜕𝑃∬(+)𝑑𝑥𝑑𝑦=∮𝑃𝑑𝑥+𝑄𝑑𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦𝐷𝐿对面积的曲面积分： 2(𝑥,𝑦)+𝑧2(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ∬𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠=∬𝑓[𝑥,𝑦,𝑧(𝑥,𝑦,)]√1+𝑧𝑥𝑦∑𝐷𝑥𝑦𝐷𝑥𝑦为∑在𝑥𝑜𝑦面上的投影 对坐标的曲面积分： ∬𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧+𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥+𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦∑=∬𝑃[𝑥(𝑦,𝑧),𝑦,𝑧]𝑑𝑦𝑑𝑧+∬𝑄[𝑥,𝑦(𝑥,𝑧),𝑧]𝑑𝑧𝑑𝑥+∬𝑅[𝑥,𝑦,𝑧(𝑥,𝑦)]𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷𝑦𝑧𝐷𝑧𝑥𝐷𝑥𝑦符号为∑的外侧平面法向量与投影面垂直的轴所成的角α所定cosα>0取正，cosα<0取负 两类曲面积分的联系： ∬𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧+𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥+𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦=∬(𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑅𝑐𝑜𝑠𝛾)𝑑𝑠 ∑∑𝑐𝑜𝑠𝛼=−𝑧𝑥2+𝑧2√1+𝑧𝑥𝑦，𝑐𝑜𝑠𝛽=−𝑧𝑦2+𝑧2√1+𝑧𝑥𝑦，𝑐𝑜𝑠𝛾=12+𝑧2√1+𝑧𝑥𝑦 等比级数： ∞∑𝑎𝑞𝑖=𝑎+𝑎𝑞+𝑎𝑞2+⋯+𝑎𝑞𝑖+⋯ 𝑖=0 1调和级数∑发散 𝑛𝑛=1∞当|𝑞|<1时，级数收敛 当|𝑞|>1时，级数发散 当|𝑞|=1时，级数发散
基本性质： ∞∞如果级数∑𝑢𝑛收敛于和 s ，那么级数∑𝑘𝑢𝑛也收敛于和 𝑘𝑠 (𝑘为常数) 𝑛=1∞∞∞𝑛=1∑𝑢𝑛=𝑠，∑𝑣𝑛=𝜎，那么∑（𝑢𝑛）=𝑠±𝜎 当级数收敛有𝑢𝑛→0 𝑛=1𝑛=1𝑛=1审敛法： ∞正项级数∑𝑢𝑛收敛的充要条件：和数列{𝑆𝑛}有界 𝑛=1比值审敛法lim𝑢𝑛+1=𝜌，𝜌<1收敛，𝜌>1发散，𝜌=1都有可能 𝑛→∞𝑢𝑛𝑛→∞极限审敛：lim𝑛𝑝𝑢𝑛=𝑙>0 ，当𝑝=1发散，当𝑝>1收敛 ∞交错级数∑(−1)𝑛−1𝑢𝑛 满足𝑢𝑛≥𝑢𝑛+1(𝑛=1,2,3…)且lim𝑢𝑛=0 𝑛=1𝑛→∞时为收敛，不满足不一定发散 ∞∞∞如果级数∑𝑢𝑛各项绝对值所构成的正项级数∑|𝑢𝑛|收敛，那么称级数∑𝑢𝑛绝对收敛； 𝑛=1∞∞𝑛=1∞𝑛=1如级数∑𝑢𝑛收敛，而级数∑|𝑢𝑛|发散，那么称级数∑𝑢𝑛条件收敛 𝑛=1𝑛=1∞𝑛=1幂级数展开式： 1𝑒𝑥=∑𝑥𝑛 (−∞<𝑥<+∞) 𝑛!𝑛=0∞∞(−1)𝑛2𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥=∑𝑥 (−∞<𝑥<+∞) (2𝑛)!𝑛=0𝑎=𝑒𝑥𝑥𝑙𝑛𝑎(𝑙𝑛𝑎)𝑛𝑛=∑𝑥 (−∞<𝑥<+∞) 𝑛!𝑛=0∞∞𝑠𝑖𝑛𝑥=∑𝑛=0(−1)𝑥2𝑛+1 (−∞<𝑥<+∞) (2𝑛+1)!∞𝑛1=∑(−1)𝑛𝑥2𝑛 (−1<𝑥<1) 21+𝑥𝑛=0∞1=∑(−1)𝑛𝑥𝑛 (−1<𝑥<1) 1+𝑥𝑛=0(−1)𝑛2𝑛+1𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥=∑𝑥 (−1≤𝑥≤1) 2𝑛+1𝑛=0
傅里叶级数： 𝑎0+∑(𝑎𝑛cos𝑛𝑥+𝑏𝑛sin𝑛𝑥) 2𝑛=1∞傅里叶系数： 1𝜋𝑎0=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (𝑛=1,2,3,…) 𝜋−𝜋1𝜋𝑎𝑛=∫𝑓(𝑥)cos𝑛𝑥𝑑𝑥 (𝑛=1,2,3,…) 𝜋−𝜋1𝜋𝑏𝑛=∫𝑓(𝑥)sin𝑛𝑥𝑑𝑥 (𝑛=1,2,3,…) 𝜋−𝜋𝑎0()()𝑓𝑥为偶函数有正弦级数∑𝑏𝑛sin𝑛𝑥 ，𝑓𝑥为偶奇函数有余弦级数+∑𝑎𝑛cos𝑛𝑥 2𝑛=1𝑛=1∞∞有些可能不是很正确，重要的还是看书的例题会做题，好好复习，天天向上 (๑╹◡╹)ﾉ\"\"\"
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