浅谈指数函数

在高三复习时，我们遇到这样一个问题：函数y2yx32与yx图象的关

3x系是（）

这实质上是一个判断指数函数yaxa0,且a1与直线yx图象的交点问题，若不

仔细考虑很容易误选A（正确答案为C），当时我们老师和同学也都误选了。做完这个题目后，我进行了反思研究，如果底数变化了，是否还有交点呢？

指数函数ya

a1 0a1

x丛函数图象可知：当0a1时，ya与直线yx必有一个交点。当a1时，显然当

xa0,且a1的图象如下：

x0时，ax0,而yx0,此时yax与直线yx无交点。

问题主要集中在x[0,)时，ya与yx有无交点。

x'x考察函数f(x)ax(x0,a1)，对f(x)求导可得:f(x)alna1,下面我'x们来确定f(x)在[0,)上的最值。令f(x)alna10，解得

xa10若x1lna,xlnaln1lna xlnln1alna1lnaa1,lna0

1,进而可得lna1，即ae，此时

lnln1alna10,可得00,即lnlna x f'x f(x) lnln1a0 lna ,0 ln1lnalna0 1 0, + y0 注：y01lnalnln1alna

而f'(x)axlna1在[0,)上为增函数，又f(x)在[0,)上的最小值为1，所以

f(x)1,即axx1,x[0,)，此时f(x)>0与直线yx无交点，即当ae时，

yax与直线yx无交点。2若0lnln1alna110,即lnln即ae a0,可得lna1,进而可得0lna1x ln0,lnlnaa 0 1lnln1a0 lna lnlnlnaa, 1f'x f(x) 1 此时在f(x)在[0,最小值为f(若f(lnlnln－ + f(lnln1alnaln) ln1alna]上为减函数，在[lnln1alna,)上为增函数，所以f(x)在[0,)上的

ln1alna)（x1lnlnalnaln1alna时）。

ln1alna)<0,即alnln1alna10，可得alogaln1alnln1alna0，进而可得

1lnalnln1alna0，即

xx1解得1aee1.444682，此时f(x)ax的值可以取到0，即函数ya 1，lnlna与直线yx有两个交点。显然当f(交点。当f(

lnlnln1alnax)>0即eae时，函数ya与直线yx无

1eln1alna)＝0即ae时，直线yx与yax相切，有一个交点。

1e

市中学数学优秀论文评选

浅谈指数函数ya与yx的交点问题

x

邹平县黄山中学

贾新