广东省北江中学2010届高三模拟考试数学试卷

广东省北江中学2010届高三模拟考试

（数学理）

一、选择题

1、设集合A{1,2},则满足AB{1,2,3}的集合B的个数是

A．1 B．3

C．4

D．8

（ ）

xM{y|y3},P{x|y3x3}，则MP=（ ） 2、若集合

A{x|x1} B{y|y1} C{y|y0} D{x|x0}

1122pyqxy0,3、已知命题：若则x、全为0；命题：若ab，则ab．给出下

列四个命题：①p且q，②p或q，③p的逆否命题，④ q，其中真命题的个数为（ ）

(A)1

4．集合

(B)2 (C)3 (D)4

，

Mx2x2Ny0y2，给出下列四个图形，其中能表示以M为定

义域，N为值域的函数关系的是（ ）.

y 2 -2 0

y 2 y 2 y 2 2 x -2 0 2 -2 0 2 -2 0 x x x A. B. C . D. 5、已知集合A＝{(x，y)|

y3x2=1，x，yR}，B={(x，y)|y=ax+2，x，yR}，

若AB＝，则a的值为（ ）。

31A．a＝1或a＝2 B．ａ＝１或a＝2 C．a＝2或a＝3 D．以上都不对

k2xf(x)(a为常数)x1k26、若函数在定义域上为奇函数，则k的值为（ ）

A． 1 B. 1 C. 1 D. 0 21世纪教育网

7、若函数f(x)满足f(x2)f(x)且x[1,1]时f(x)|x|,则函数yf(x)的图象与

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函数

ylog3|x|的图像的交点个数是

B．3

C．4

D．多于4

（ ）

A．2

2f(x)ax2ax4(0a3),若x1x2,x1x21a,则（ ） 8、已知函数

A．C．

f(x1)f(x2) B．f(x1)f(x2) 21世纪教育网 f(x1)f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分,共30分)

ex,x0.1g(x)g[g()]lnx,x0.29、设则__________．

x21f(x)f()f(x),xR2x1x10．已知函数，则= ；

p11、设p:|4x3|1;q:(xa)(xa1)0，若是q的充分不必要条件，则实数a的

取值范围是 .

12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。

2y13．如图1，已知抛物线2px(p0)的焦点恰好是椭圆

y O F y2=2px x xy1a2b2的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，

则该椭圆的离心率为 ．21世纪教育网 14．函数f(x)对于任意实数x满足条件

22f(x2)1f(x)，若f(1)5，

则f(f(5))= 21世纪教育网

三、解答题（共80分，要写出必要的解题步骤）

1xf()x1x15（本题满分12分）已知函数. 21世纪教育网 求：（1）f(2)的值； （2）f(x)的表达式

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p:f(x)16（本题满分14分）已知

1x,3且|f(a)|2;

q: 集合A{x|x2(a2)x10,xR},B{x|x0}且AB.

若

17（本题满分14分）如图，在三棱锥SABC中，底面ABC是边长为4的正三角形,侧面

p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围。21世纪教育网

SAC底面ABC，SASC23,M,N分别为AB,SB的中点.

（Ⅰ）求证:ACSB;（Ⅱ）求二面角NCMB的大小的余弦值.

S

NC

AMB

18（本题满分12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 （Ⅰ）试写出

y万元。

y关于x的函数关系式；

y最小？

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使

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x2y22C:221(ab0)的离心率e,2它的左、右焦ab19（本题满分14分）已知椭圆

点分别为F1、F2，点P(2,3)，点F2在线段PF1的中垂线上。（1）求椭圆C的方程； （2）设直线l:ykxm与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为,，且，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标。

20（本题满分14分）已知数列（1）求数列

{an}满足：

a11,an11nann1(nN)22．

{an}的通项公式；21世纪教育网

1an1n12（2）证明：；

Tn22n12Tn2anknln(1Tn)Tnnn42，证明：Tn2kn． （3）设，且

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广东省北江中学2010届高三模拟考试（数学理）答案 一、选择题

1、C．A{1,2}，AB{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有24个.故选择答案C． 2、B．M{y|y0},P{x|x1}，故MP={y|y1}，选B 3、C．

2p为真命题，q为假命题，所以p且q为假，p或q为真，p的逆否命题为真，

q为真，选C

4、B

y3ll5、B．直线1：x2=1斜率为1且不过点（2，3），所以直线2：y=ax+2斜率为1或过1点（2，3）时AB＝，故ａ＝１或a＝2，选B

6、C．利用定义：f(x)f(x)，

k2xk2x12xkf(x)xf(x)恒成立，xxk1选C。 1k22k1k2此题容易错选为A，错误原因是直接利用了f(0)0，万万不可。 7、C．数形结合选C

8、B．取特值a1,x12,x22,f2f2，选B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为x1,开口向上的抛物线, 由

x1x2, x1+x2=0，需分类研究x1x2和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,

故选B;

1ln1111g()ln0,g[g()]e2222 9、2本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

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1xx211x2f(x)f()1x1x2111x21x21x2x210、由

21x21a11p:x1,q:axa1，得03C512、因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：，3C522537C概率为:：7，所以，均不少于1名的概率为：1－77。

b2(c,)a，13．研究椭圆与抛物线在第一象限得交点，对于椭圆来说，坐标为对于抛物线来说，b2pc2c(,p)b2a2c2,ea，联立解得e21． 坐标为2，所以有a，又

14、解析：

f(x2)由

11f(x4)f(x),f(5)f(1)5,f(f(5)) f(x2)f(x)得

11f(12)5

f(5)f(1)=

1x112xf(2)3，所以3. 15．解：（1）由1x，解得

1x1t1t1xtxf(t)f(x)1t，所以1t，即1x. （2）设1x，解得

|f(a)|  |16．对p：所以

1a|23．

若命题p为真，则有 5a7； 对q：∵B{x|x0}且 AB

2g(x)x(a2)x10无解或只有非正根． ∴若命题q为真，则方程

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0g(0)00a22(a2)402∴或, ∴a4.

∵p, q中有且只有一个为真命题

5a7，即有5a4a4∴ (1) p 真，q假：则有；

a7或a5，即有a7a4(2) p 假，q 真：则有；

∴5a4或a7．

17、解: (Ⅰ)取AC的中点O,连结OS,OB.SASC,ABBC,

ACSO,ACOB.又平面SAC平面ABC,且平面SAC平面ABCAC,

SO平面ABC.故SB在平面ABC内的射影为OB, ACSB. (Ⅱ)取OB的中点D,作NECM交CM于E,连结DE，ND. 在△SOB中,N,D分别为SB,OB的中点, DN∥SO.又SO平面ABC,

DN平面ABC,由NECM得DECM.

故NED为二面角NCMB的平面角. 设OB与CM交于G,则G为△ABC的中心,

SNDBGD

1GB4.又DECM,BMCM,

DE11MB42.

DE∥MB,

在△SAC中可得SO22,

ACOGEM在△SOB中,

ND1SO22，

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tanNED 在Rt△NDE中,

22212.

1二面角NCMB的大小的余弦值为3.

解法二: (Ⅰ) 取AC的中点O,连结OS,OB. SASC,ABBC, ACSO,ACOB. 又平面SAC平面ABC, 且平面SAC平面ABCAC, SO平面ABC.

如图所示建立空间直角坐标系Oxyz,

则A(2,0,0),B(0,23,0),C(2,0,0),S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2).

zSNCOAxMByAC(4,0,0),SB(0,23,22).

则ACSB0,ACSB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得CM(3,3,0),MN(1,0,2).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,

CMn3x3y0,0,z1x2,y6MNn-x2z 取,得.

2,-6,1).又OS(0,0,22)为平面ABC的法向量, nOS13cos＜nOS＞=nOS.

1二面角NCMB的大小的余弦值为3.

(n1)xm，即n=m1x

n(18．解 （Ⅰ）设需要新建n个桥墩，

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y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(所以

mm-1)+(2x)xxx

256xmx2m256.x

f'(x) （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，

32256mx2313mmx22(x2512).22x

令f'(x)0，得x512，所以x=64

当00. f(x)在区间（64，640）内为增函数，

所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使

nm640119.x64

y最小

e19、解：（1）由椭圆C的离心率

22

c222caba2得，其中，

椭圆C的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0) 又点F2在线段PF1的中垂线上

|F1F2||PF2|,(2c)2(3)2(2c)222c1,a2,b1, 解得

x2椭圆的方程为y21.2

（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为ykxm.

x2y21,2ykxm由

222y,得(2k1)x4kmx2m20. 消去

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设M(x1,y1),N(x2,y2),

4km2m22x1x22,x1x2,22k12k1 则

且

kF2Mkx1mkxm,kF2N2x11x21 8分

由已知，

得

kF2MkF2N0,即kx1mkx2m0.x11x21

化简，得2kx1x2(mk)(x1x22m0

2m224km(mk)2k2m02k212k21

整理得m2k.

 直线MN的方程为yk(x2)，

因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

1nan1ann1n1n2220、解：（1）由，得2an12ann

n令bn2an，有bn1bnn ∴bnb1(b2b1)...(bn1bn2)(bnbn1)

1b1n(n1)2＝b1[123...(n1)] ＝

1bn2n(n1)2又b1＝2a1＝2，

（3分） （4分）

112nann(n1)2an(n2n4)·()n1(nN*)22∴ ∴

（2）证法1：（数学归纳法）

11°，当n＝1时，a1＝1，满足不等式21ak111a111 （5分）

2°，假设n＝k（k≥1，k∈N*）时结论成立 即2k111k11k2k1ak1akk1·k1k1k1kak12222222 即2(k1)1（7分） ，那么

11k1k2·2kan1ak1akk1k1k11n1222222又由1°，2°可知，n∈N*，都有成立（9分） 1n111a4·()an(n2n4)·()n1n2222n1 （3）证法2：由⑴知： ∵nn0，nN*，∴

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∵

ann2n42n1 ∵2n12n1nn112(11)n11C1n1Cn1...Cn1Cn1Cn11Cn12Cn1

3n2a11nn12222n2n2n2n2n2n2∴ ∴ 21世纪教育网

1n2n4当n＝1时，

ana11n1，综上2an1

（2）证法3：

2an1(n1)2(n1)4n2n42an2(n2n4)2n2n8

115(n)2an1nn4240122{a}an2n2n82n2n8 ∴n为递减数列

当n＝1时，an取最大值 ∴an≤1

111an1ann12nann(n1)22n122由（1）中知 综上可知2

（3）

Tn1n11n2(nn4)·()n·()22 n2n41knTn2Tn2即证

2n欲证：

T2nTn2kn （12分）

即ln（1＋Tn）－Tn＜0，构造函数f （x）＝ln（1＋x）－x ∵

f(x)1x11x1x当x＞0时，f ' （x）＜0

∴函数y＝f （x）在（0，＋∞）内递减21世纪教育网

∴f （x）在[0，＋∞）内的最大值为f （0）＝0 ∴当x≥0时，ln（1＋x）－x≤0

又∵Tn＞0，∴ln（1＋Tn）－Tn＜0 ∴不等式

T2nTn2kn成立（14分）

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