重庆市七校2019-2020年下学期高二数学期末联考【含答案】

重庆市七校2019-2020年下学期高二数学期末联考

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项） 1．（改编）若zA．4

2i（其中i是虚数单位）,则z（ ） 1i

B．2

C．1

D．2

2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四

种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ） A．0.55

B．0.86

C．0.65

D．0.97

3．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ） A．0.05

B．0.1

C．0.15

D．0.2

4．（改编）曲线y＝x2＋ln x在点(1，1)处的切线方程为（ ） A．3x－y－2＝0

B．x－3y＋2＝0

C．3x＋y－4＝0

D．x＋3y－4＝0

5．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ） A．180种

B．360种

C．720种

D．960种

6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5

次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝（ ） 8A．

5

6

B．

5

4

C．

5

2D．

5

7．（改编）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 销售额y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 根据上表可得回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A．63.6万元

B．65.5万元

C．67.7万元

D．72.0万元

8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A．12种

B．18种

C．24种

D．48种

9．下图是相关变量x,y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：yb1xa1，相关系数为r1；方案二：剔除点10,32，根据剩下数据，得到线性回归方程:yb2xa2，相关系数为r2；则（ ） A．1r1r20 B．0r2r11 C．0r1r21 D．1r2r10

10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是（ ）



分派方法种数为（ ） A．216

B．729

C．540

D．420

11．（原创）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不同

12．已知函数f(x)x23x5，g(x)axlnx，若对x(0,e)，x1,x2(0,e)且

x1x2，使得f(x)g(xi)(i1,2)，则实数a的取值范围是（ ）

16A．,

ee174,eB． e76716440,,e,eC． D． eee第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置） 13．（原创）若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z的虚部为 .

14．（改编）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记

事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝ 15．（改编）若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是 . 16．（改编）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只

带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有 种． 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

117．（本小题满分10分）（改编）已知二项式3x的展开式中各项的系数和为256.

x（1）求n；

（2）求展开式中的常数项.

18．（本小题满分12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银

行卡将被锁定。小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。 （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）（改编）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))

处的切线方程为y＝4x＋4. （1）求a，b的值；

（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.

20．（本小题满分12分）（改编）对甲、乙两名篮球运动员分别在

100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布

n

直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：

分值 场数 [0,10) 10 [10,20) [20,30) [30,40) 20 40 30 （1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率。

（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明)

（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分。

21．（本小题满分12分）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题

的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：

将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.

（1）根据已有数据，完成下列22列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和数学期望.

n(adbc)2参考公式：x，其中nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)2参考数据：

22．（本小题满分12分）已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1(kR). （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)0在定义域内恒成立，求实数k的取值范围；

ln2ln3ln4lnnn2n（3）证明：n2,nN*. 345n14

高二数学答案

选择题答案

1--4 D D B A 5---8 D B B C 填空题答案

13．－3

3

14．

13

15．125

16．20

9---12 C A C D

一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项） 1．（改编）若zA．4 【解析】

2i（其中i是虚数单位）,则z（ ） 1i

B．2

C．1

D．2

z2i1i2i1i,故z12122. 1i1i1i故选：D

2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四

种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ） A．0.55

B．0.86

C．0.65

D．0.97

【解析】由题意，四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55， 根据在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好， 可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97．故选D．

3．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ） A．0.05

B．0.1

C．0.15

D．0.2

解析：由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1. 答案：B

4．（改编）曲线y＝x2＋ln x在点(1，1)处的切线方程为（ ） A．3x－y－2＝0

B．x－3y＋2＝0

C．3x＋y－4＝0

D．x＋3y－4＝0

1

解析 y′＝2x＋，故y′|x＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理得3x－y

x－2＝0. 答案 A

5．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ） A．180种

B．360种

C．720种

D．960种

解析 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法。因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)。 答案 D

6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝（ ） 8A．

5

6

B．

5

4

C．

5

2D． 5

3

解析 由题意，X～B5，m＋3，



5×3

又E(X)＝＝3，∴m＝2，

m＋3

33365，，故D(X)＝5××1－＝. 则X～B5555答案 B

7．（改编）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 销售额y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）

A．63.6万元

B．65.5万元

C．67.7万元

D．72.0万元

^^^^

解析：样本中心点是(3.5,42)，a＝y－bx，则a＝y－bx＝42－9.4×3. 5＝9.1，所以回^^

归直线方程是y＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5，故选B。

8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．48种

解析 将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A2A22·2种排法。而后

2将丙、丁进行插空，有3个空，有A2A2A23种排法，故共有A2·2·3＝24种排法。

答案 C

9．下图是相关变量x,y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所

ˆb1xa1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,32)，根有数据，得到线性回归方程：yˆb2xa2，相关系数为r2；则（ ） 据剩下数据，得到线性回归方程：y

A．1r1r20 B．0r2r11 C．0r1r21 D．1r2r10

【解析】由散点图分布图可知,变量x 和y成正相关，所以0r11,0r21，在剔除点

ˆb2xa2的线性相关程度更强,r2更接近1.所以(10,32)之后，且可看出回归直线y0r1r21 .故选C.

10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是（ ）

解析 如图所示，当x∈(－∞，x0)时，函数f(x)为增函数，当x∈(x0，0)和x∈(0，＋∞)时，函数f(x)为减函数，∴x＝x0是函数f(x)的极大值点，可得f′(x0)＝0，且当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，当x∈(x0，0)和x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.由此对照各个选项，可得函数y＝f′(x)的图象只有A项符合.

答案 A

11．（原创）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不同

分派方法种数为（ ） A．216

B．729

C．540

D．420

【解析】人数进行分组共有三种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2，

41C6C132C1A390；若分组分1,2,3，共有若分组分1,1,4，共有N12A24213N2C6C3C1A3360；

222C6C4C23A90.不同分派方法种数为N540.故选若分组分2,2,2，共有N333A3C.

12．已知函数f(x)x23x5，g(x)axlnx，若对x(0,e)，x1,x2(0,e)且

x1x2，使得f(x)g(xi)(i1,2)，则实数a的取值范围是（ ） 16A．,

ee【答案】D

【详解】因为gxaxlnx，故gx下面讨论gx的单调性：

当a0时，gx0，故gx在区间0,e上单调递减； 当a0,时，x0,e时，gx0，故gx当a174B．,e

e7164C．0,,e

ee674D．,e

eax1， x1e区间0,e上单调递减；

11时，令gx0，解得x， ea110,gx故在区间单调递减，在区间,e上单调递增. aa又ga11lna,ge1，且当x趋近于零时，gx趋近于正无穷； ae11,5； 4对函数fx，当x0,e时，fx根据题意，对x(0,e)，x1,x2(0,e)且x1x2，使得f(x)g(xi)(i1,2)成立，

只需g111,ge5， a4即可得1lna11,ae15， 4674解得a,e.

e故选：D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置） 13．（原创）若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z的虚部为 ________.

解析 因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i，故z的虚部为－3

14．（改编）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记

事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝ ________

1111111解析：事件A的选法有C12C3＋C2C4＋C3C4＝26种，事件B的选法有C2C3＝6，所以P(B|A)＝

63

＝。 2613

15．（改编）若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是 ________.

解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，

7077又a0＝C0712＝1，a8＝C7(－2)＝－128，

所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.

16．（改编）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲

只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四 名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．【答案】20 【解析】

当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，

当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，

综上故有10+10＝20种， 故答案为20.

三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

117．（本小题满分10分）(改编）已知二项式3x＋的展开式中各项的系数和为256.

x

（1）求n；（2）求展开式中的常数项.

n12

解 （1）由题意得C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝256，

n

∴2n＝256，解得n＝8. ----------------------------------4分 （2）该二项展开式中的第r＋1项为

8－4r

－r1rr8

Tr＋1＝C8(x)·x3，-------------------------8分 x＝C8·

3r

令

8－4r

＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C28＝28. -----10分 3

18．（本小题满分12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银

行卡将被锁定。小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。 （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望。 解析：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A， 5431

则P(A)＝××＝。------3分

6542

（2）依题意得，X所有可能的取值是1,2,3。-----5分

1511542

又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝。----8分

6656653所以X的分布列为

X P 1 1 62 1 63 2 31125所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝。------12分

6632

19．（本小题满分12分）（改编）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))

处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值. 解 （1）f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.--------2分

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.-----5分 （2）由（1）知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

1

ex－.-------------------------7分 f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)2令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，

在(－2，－ln 2)上单调递减. ------------------------------------10分

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e2.)-----12分

20．（本小题满分12分）（改编）对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进

行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：

－

分值 场数 [0,10) 10 [10,20) 20 [20,30) 40 [30,40) 30 （1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率。 （2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明)

（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分。

解析：（1）根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048×10＋0.024×10＝0.48＋0.24＝0.72。

即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72。------4分

（2）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中在[20,30)，乙的成绩比较分散，所以甲更稳定。----------------------------------------7分 （3）因为组距为10，

8204824

所以甲在区间[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)上得分频率值分别为，，，。

100100100100设甲的平均得分为S，

1

则S＝(5×8＋15×20＋25×48＋35×24)＝23.80。--------12分

100

21．（本小题满分12分）（改编）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学

科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：

将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.

（1）根据已有数据，完成下列22列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和数学期望.

n(adbc)2参考公式：x，其中nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)2参考数据：

【解析】

【详解】（1）由题意得：

经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计 28 12 40 50 50 100 男生 22 女生 38 合计 60 100(22123828)232∵x10.6676.635

6040505032∴在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.-------5分 （2）依题意，x~B4,.

23541632； P(X0)C5562504096132 P(X1)C45562532216

P(X2)C55625242213216332 P(X3)C4556258132.-----------------------------------------8分 P(X4)C55625444031X的分布列为：

X 0 16 6251 2 3 4 P 96 62521621681 625625625----------------------------------------------------------------------------------10分

312E(X)4----------------------------------------------------------12分

5522．（本小题满分12分）已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1(kR).

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)0在定义域内恒成立，求实数k的取值范围；

ln2ln3ln4lnnn2n（3）证明：n2,nN*. 345n14试题解析：（1）定义域若k0，fx1,，fx11kkx--------2分 kx1x11k0，fx在1,上单调递增 x11kkx若k0，k， fxx1所以，当fx0时，1x111，当fx0时，x1 kk综上：若k0，fx在1,上单调递增； 若k0，fx在1,

（2）由（1）知，k0时，f21k0不可能成立； 若k0，fx0恒成立fxmaxf111上单调递增，在1,上单调递减-------5分 kk110，fk1得k1 1lnk0，

k综上，k1.------------------------------------------------9分

（3）由（2）知，当k1时，有fx0在1,上恒成立，即lnx1x2 令x1n2nN,n1，得lnn*2n21，即

lnnn1 n12ln2ln3ln4345lnn123 n1222

n1nn1，得证.-----12分 24