2017-2018学年贵州省铜仁一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ） A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
2．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）方程（x2+y2﹣4）
=0的曲线形状是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若=，
=，
=，则下列向量中与
相等的向量是（ ）
1
A．﹣++ B．++ C．﹣﹣+ D．﹣+
6．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．6
的位置关系是（ ）
D．不确定
9．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆A．相交
B．相切
C．相离
10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ） A．
B． C．
D．
11．（5分）若双曲线
的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长
为2，则该双曲线的实轴长为（ ） A．1
B．2
C．3
D．6
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且
12．（5分）已知椭圆C：
以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
3
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 ． 14．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ．
15．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是 ．
16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= ．
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
18．（12分）如图，M，N，K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．
（1）求证：AN∥平面A1MK； （2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK．
4
19．（12分）铜仁市某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：
生产能手 非生产能手 15 15 30 45 25 70 ．
合计 60 40 100 25周岁以上组 25周岁以下组 合计 所以得K2=
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
5
21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：为
，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为
+=1（a＞0，b＞0）的离心率，O是坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
（本小题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程； （2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．
6
2017-2018学年贵州省铜仁一中高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ） A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可
【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“ 故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．
2．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】解：由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×2%=10000×2%=200，
7
抽取的高中生人数为2000×2%=40人， 则近视人数为40×0.5=20人， 故选：A
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出． 【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件． 故选：A．
【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
4．（5分）方程（x2+y2﹣4）
=0的曲线形状是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知的方程得到答案．
【解答】解：由（x2+y2﹣4）
，或x+y+1=0，则由线性规划知识可得
=0，得，或x+y+1=0．
它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分． 故选C．
【点评】本题考查了轨迹方程，考查了学生的理解能力，是中档题．
8
5．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若=，
=，
=，则下列向量中与
相等的向量是（ ）
A．﹣++ B．++ C．﹣﹣+ D．﹣+
【分析】利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答． 【解答】解：由题意，=故选A．
【点评】本题考查了空间向量的加法，满足三角形法则；比较基础．
6．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
=
==
；
A． B． C． D．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=
，
9
则对应概率P=故选：B
=，
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为
，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右
侧是半圆柱，底面半径为1，高为2， 所求几何体的体积为：故选：A．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
=
．
10
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．
【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．
此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，
即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B．
【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．
11
9．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆A．相交
B．相切
C．相离
的位置关系是（ ）
D．不确定
【分析】直线y=kx﹣k+1恒过点（1，1），且在椭圆的内部，由此可得直线y=kx﹣k+1与椭圆
的位置关系．
【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1） ∵
∴（1，1）在椭圆的内部 ∴直线y=kx﹣k+1与椭圆故选A．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，确定直线恒过定点，且在椭圆的内部是关键．
10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ） A．
B． C．
D．
的位置关系是相交
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=
，AN=
，MB=
==
==
， ．
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=故选：C．
12
【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．
11．（5分）若双曲线
的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长
为2，则该双曲线的实轴长为（ ） A．1
B．2
C．3
D．6
的一条渐近线为y=
，
，把y=
代入圆（x﹣2），进而可得
【分析】设双曲线
2
+y2=4，并整理，得
，由此能够求出该双曲线的实轴长．
【解答】解：设双曲线把y=
的一条渐近线为y=，
代入圆（x﹣2）2+y2=4，
， ，
并整理，得
∴，
13
解得a2=1， ∴2a=2．
故该双曲线的实轴长为2． 故选B．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．
12．（5分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且
以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离
=a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e==故选：A．
=．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）若“∀x∈[0，
]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ．
【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围． 【解答】解：“∀x∈[0，
]，tanx≤m”是真命题，
可得tanx≤1，所以，m≥1，
14
实数m的最小值为：1． 故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．
14．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
．
【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出P（），再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．
【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”， 则P（）=
=
，
=
．
因此P（A）=1﹣P（）=1﹣故答案为：
．
【点评】本题考查等可能事件的概率，熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．
15．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是 ﹣=1（x＞3） ．
【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
15
【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G， 则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|， 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为
﹣
=1（x＞3）．
故答案为：﹣=1（x＞3）．
【点评】本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= 6 ．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：|FN|=2|FM|=2故答案为：6．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0
16
，
=6．
无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
【分析】通过两个命题是真命题，求出m的范围，利用复合命题的真假推出两个命题一真一假，求出m的范围即可．
【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．
当q为真命题时，△=42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．
若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真， ①若p真q假， ∴
，∴m≥3．
②若p假q真， ∴
，∴1＜m≤2．
综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．
18．（12分）如图，M，N，K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．
（1）求证：AN∥平面A1MK； （2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK．
【分析】对于（1），要证明AN∥平面A1MK，只需证明AN平行于平面A1MK内
17
的一条直线，容易证明AN∥A1K，从而得到证明；
对于（2），要证明平面A1B1C⊥平面A1MK，只需证明平面A1MK内的直线MK垂直于平面A1B1C即可，而BC1∥MK容易证明， 从而问题得以解决．
【解答】证明：（1）连接KN，由于K、N为CD，C1D1、CD的中点，所以KN平行且等于AA1，
AA1KN为平行四边形⇒AN∥A1K，而A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，从而AN∥平面A1MK．
（2）连接BC1，由于K、M为AB、C1D1的中点，所以KC1与MB平行且相等， 从而KC1MB为平行四边形，所以MK∥BC1，而BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，从而 BC1⊥平面A1B1C，所以：
⇒MK⊥面A1B1C⇒面A1B1C⊥面A1MK．
【点评】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用，要注意其中的转化思想的应用，
即：将线面平行转化为线线平行，将面面垂直转化为线面垂直．
19．（12分）铜仁市某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
18
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：
生产能手 非生产能手 15 15 30 45 25 70 ．
合计 60 40 100 25周岁以上组 25周岁以下组 合计 所以得K2=
【分析】（1）分别列出满足条件的基本事件，求出满足条件的概率即可； （2）求出2×2列联表，求出K2的值即可．
【解答】解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中， 25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3； 25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），记为B1，B2． 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种， 它们是（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）， （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）， （A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种， 它们是（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）， （A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）． 故所求的概率P=
．
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中， “25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人）， “25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），
19
据此可得2×2列联表如下：
生产能手 非生产能手 15 15 30 45 25 70 =
合计 60 40 100 =
≈1.786．
25周岁以上组 25周岁以下组 合计 所以得K2=
【点评】本题考查了概率问题，考查了2×2列联表，是一道中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据
•
=0，可得BE⊥DC；
（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量
的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向
量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值． 【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
20
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）
∵
•
=0，
∴BE⊥DC； （Ⅱ）∵
=（﹣1，2，0），
=（1，0，﹣2），
设平面PBD的法向量=（x，y，z）， 由
，得
，
令y=1，则=（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足： sinθ=
=
=
，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．
（Ⅲ）∵
=（1，2，0），
=（﹣2，﹣2，2），
=（2，2，0），
由F点在棱PC上，设=λ
=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故
=
+
=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得•
=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，
解得λ=，
21
即=（﹣，，），
设平面FBA的法向量为=（a，b，c）， 由
，得
令c=1，则=（0，﹣3，1）， 取平面ABP的法向量=（0，1，0）， 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足： cosα=
=
=
，
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：
【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：为
，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为
+
=1（a＞0，b＞0）的离心率，O是坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
【分析】（1）设F（c，0），由已知得隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意可知，当l⊥x轴时，不合题意，设l：y=kx﹣2，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当△OPQ的面积最大时直线l的方程． 【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知∴a=2，b2=a2﹣c2=1，
22
，求得c，再由离心率求得a，结合
，得，又，
故E的方程为：；
（2）当l⊥x轴时，不合题意，
故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立
，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．
当△=16（4k2﹣3）＞0，即
，
时， ．
从而．
又点O到直线PQ的距离．
∴△OPQ的面积为设则
，
，当且仅当
，
，即t=2时取“=”．
∴，即时等号成立，且满足△＞0，
或
．
∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属中档题．
（本小题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程； （2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．
23
【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消
去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程． （2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值． 【解答】解：（1）圆C的参数方程为
所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分）， x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4， 化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分） （2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积
所以△ABM面积的最大值为
（10分）
（7分）
（θ为参数）
【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．
24
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