2020～2021学年高三年级模拟考试卷
数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2021．02
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{x|x2＋2ax－3a2＝0}，B＝{x|x2－3x>0}．若AB，则实数a的取值范围是( )
A. {0} B. {－1，3}
C. (－∞，0)∪(3，＋∞) D. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
2
2. i是虚数单位，在复平面内复数3－i＋对应的点的坐标为( )
3－i
331333A. (，－) B. (，－)
2222C. (
3133，－) D. (，－) 2222
3. 已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设函数f(x)＝aln x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，则函数y＝f(x)的增区间为( )
A. (0，1) B. (0，
222
) C. (，＋∞) D. (，1) 222
5. 用红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“任意
两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为( )
4344
A. 3 B. 3 554344C. 4 D. 4 55
6. 如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，
6.7)，则y对x的线性回归方程是( )
A. y＝0.15x＋4.05 B. y＝x＋1.45 C. y＝1.05x＋1.15 D. y＝1.15x＋1.05
7. 令(x＋1)2 020＝a1x2 020＋a2x2 019＋a3x2 018＋…＋a2 020x＋a2 021(x∈R)，则a2＋2a3＋…＋2 019a2 020＋2 020a2 021＝( )
A. 2 019·22 019 B. 2 019·22 020 C. 2 020·22 019 D. 2 020·22 020
8. 若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)＋kx＋b，A>0，φ>0，k，b∈R，则函数f(x)在区间(－π，π)上的零点最多有( )
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知a，b是平面上夹角为0，则下列结论中正确的有( )
A. |a＋b|＝1 B. |a－b|＝1
C. |c|<3 D. 向量a＋b，c的夹角是钝角
10. 已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110, 81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有( )
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5. A. 该校学生成绩的期望为110 B. 该校学生成绩的标准差为9 C. 该校学生成绩的标准差为81 D. 该校学生成绩及格率超过95%
11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的有( )
A. a8＝21 B. S7＝32
22
a21＋a2＋…＋a2 021
C. a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n D. ＝a2 022
a2 021
π
的两个单位向量，向量c在该平面上，且(a－c)·(b－c)＝3
12. 设函数y＝f(x)的定义域为D，若存在常数a满足[－a，a]D，且对任意的x1∈[－a，a]，总存在x2∈[－a，a]，使得f(x1)·f(－x2)＝1，称函数f(x)为P(a)函数，则下列结论中正确的有( )
A. 函数f(x)＝3x是P(1)函数 B. 函数f(x)＝x3是P(2)函数
C. 若函数f(x)＝log12(x＋t)是P(2)函数，则t＝4
π
D. 若函数f(x)＝tan x＋b是P()函数，则b＝±2
4三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
500π
13. 已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则
3该圆柱的表面积为________．
14. 函数f(x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|的最小正周期T＝________．
x2y2
15. 已知椭圆C1：＋＝1的右焦点F也是抛物线C2：y2＝nx的焦点，且椭圆与抛
m＋1m5
物线的交点到F的距离为，则实数n＝________，椭圆C1的离心率e＝________．
3
1
16. 已知函数f(x)＝2－ln|x－2|，则使不等式f(2t＋1)>f(t＋2)成立的实数t的取值
x－4x＋5范围是________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，前n项和为Sn. 9
(1) 若a1 ＝1，S6＝S3，求a3的值；
8
5
(2) 若q>1，am＋am＋2＝am＋1，且S2m＝9Sm，m∈N*，求m的值．
2
18. (本小题满分12分)
已知△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2＋3c2＝3a2＋2bc. (1) 求sin A的值；
(2) 若sin B＝2sin C，求tan C的值．
19. (本小题满分12分)
32
已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分
43别得1分、2分，脱靶均得0分；每次射击的结果相互独立．该射手进行3次打靶射击：向
固定靶射击1次，向移动靶射击2次．
(1) 求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率； (2) 求该射手的总得分X的分布列和数学期望．
20. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝AP＝2BC，平面PAB⊥平面ABCD，二面角PBCA的大小为45°.
(1) 求证：PA⊥平面ABCD；
(2) 求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．
21. (本小题满分12分)
b
已知函数f(x)＝x－aln x＋，a，b∈R.
x
12
(1) 若a>0，b>0，且1是函数f(x)的极值点，求＋的最小值；
ab
1
(2) 若b＝a＋1，且存在x0∈[，1]，使f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．(其中e是
e自然对数的底数)
22. (本小题满分12分)
x2y251
已知等轴双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)经过点(，)．
ab22
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 已知点B(0，1)．
① 过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值； ② 点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，kAP＋kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．
2020～2021学年高三年级模拟考试卷(常州)
数学参考答案及评分标准
1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. BC 10. ABD 11. ACD 12. AD 13. 80π 14.
π1111
15. 4， 16. (，)∪(，1) 22322
17. 解：(1) S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋a1q3＋a2q3＋a3q3＝S3(q3＋1)． 911
∵ S6＝9S3，∴ S3(q3＋1)＝S3，解得q＝，∴ a3＝a1q2＝.(4分)
824
555
(2) ∵ am＋am＋2＝am＋1，∴ am＋amq2＝amq，得q2－q＋1＝0.∵ q＞1，∴ q＝2.
222a1（1－22m）a1（1－2m）
由S2m＝9Sm，＝9×，又a1≠0，∴ 1－22m＝9(1－2m)，(7分)
1－21－2即(1－2m)(1＋2m)＝9(1－2m)．
∵ m∈N*，则1－2m≠0，∴ 1＋2m＝9，解得m＝3.(10分)
b2＋c2－a2
2bc
2bc31
＝＝；(3分) 2bc3
18. 解：(1) 因为3b2＋3c2＝3a2＋2bc，由余弦定理得cos A＝因为A∈(0，π)，所以sin A＝1－cos2A＝(2) △ABC中，B＝π－(A＋C)，(6分)
1221－＝.(5分) 93
221
所以2sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C，(9分)
3322sin C22sin C＝cos C，cos C≠0，所以tan C＝＝.(12分)
5cos C5
19. 解：记“该射手射中固定靶”为事件A，“该射手第1次射击移动靶射中”为事件B，
“该射手第2次射击移动靶射中”为事件C.(1分)
3
(1) 记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，则P(A)＝，
4
2
P(B)＝P(C)＝，D＝ABC＋ABC，其中ABC，ABC互斥，A，B，C，B，C相互独立．(3
3分)
3221
从而P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××(1－)＝，
43363221
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝×(1－)×＝，
43361
有P(D)＝P(ABC＋ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＝.
3
1
答：“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率为.(5分)
3(2) X的可能取值为0，1，2，3，4，5.(6分)
3221
P(X＝0)＝P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝(1－)(1－)(1－)＝，
433363111
P(X＝1)＝P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，
43312
1211121
P(X＝2)＝P(ABC＋A BC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝××＋××＝，
43343393213121
P(X＝3)＝P(ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝××＋××＝，
43343331221
P(X＝4)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，
43393221
P(X＝5)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，(10分)
4333该射手的总得分X的分布列为
X P 0 1 361 1 122 1 93 1 34 1 95 1 311111141
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.(12分)
361293931220. (1) 证明：四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD， 所以BC⊥平面PAB.(2分)
因为AB，BP，PA平面PAB，所以BC⊥AB，BC⊥PB，BC⊥PA， 从而∠PBA是二面角PBCA的平面角．
因为二面角PBCA的大小为45°，所以∠PBA＝45°.
因为△PAB中AB＝AP，所以∠BPA＝∠PBA＝45°，(5分) 所以∠PAB＝90°，即AB⊥PA.
因为BC⊥PA，AB∩BC＝B，AB，BC平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.(7分) (2) 解：底面ABCD内，过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接PH， 由(1)知PA⊥平面ABCD，又BH平面ABCD，所以PA⊥BH.
因为PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，所以BH⊥平面PAC，(10分)
BA×BC2
从而∠BPH为直线PB与平面PAC所成的角，其中BH＝＝BC，
AC5BH10
PB＝2AB＝22BC，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为＝.(12分)
PB10ab
21. 解：(1) f′(x)＝1－－2，因为1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝1－a－b＝0，
xxabx2－ax－bx2－（1－b）x－b（x－1）（x＋b）
即a＋b＝1，此时f′(x)＝1－－2＝＝＝，
xxx2x2x2当0＜x＜1，f′(x)＜0，当x＞1，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取极小值．(2分) 1212b2a
所以＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋. ababab因为a＞0，b＞0，
b2a所以＋≥2
abb2a·＝22(当且仅当b＝2－2，a＝2－1时等号成立) ab
12
此时＋有最小值3＋22，(5分)
aba＋1
(2) 当b＝a＋1时，f(x)＝x－aln x＋，
x
11
存在x0∈[，1]，使f(x0)＜0成立，即函数f(x)在[，1]上的最小值小于0.(7分)
eeaa＋1（x＋1）[x－（1＋a）]
f′(x)＝1－－2＝(x＞0)，
xxx21
① 当1＋a≥1，即a≥0时，f(x)在[，1]上单调递减，
e1
所以f(x)在[，1]上的最小值为f(1)＝1＋a＋1＝a＋2＜0，
e所以a＜－2，不符，舍去；(8分)
111
② 当1＋a≤，即a≤－1时，f(x)在[，1]上单调递增，
eee
1111
所以f(x)在[，1]上的最小值为f()＝＋a＋e(a＋1)＝(e＋1)a＋e＋＜0，
eeeee2＋1
所以a＜－. e（e＋1）
e2＋11
又a≤－1，所以a＜－；(9分)
ee（e＋1）11
③ 当＜1＋a＜1，即－1＜a＜0时，
ee
1
f(x)在[，1＋a]上单调递减，在[1＋a，1]上单调递增，
e
1
所以f(x)在[，1]上的最小值为f(1＋a)＝a＋1＋1－aln(a＋1)＝a[1－ln(a＋1)]＋2.
e1
因为＜1＋a＜1，所以－1＜ln(a＋1)＜0，所以1＜1－ln(a＋1)＜2，
e所以a＞a[1－ln(a＋1)]＞2a，
所以f(1＋a)＝a[1－ln(a＋1)]＋2＞2a＋2＞0，不符，舍去，(11分) e2＋1
综上可得，实数a的取值范围是a＜－.(12分)
e（e＋1）5144
22. 解：(1) 由题意a＝b，且2－2＝1，解得a＝b＝1，
ab所以双曲线C的标准方程为x2－y2＝1.(2分) (2) ① 由对称性可设E(x，y)，F(－x，－y)， →→
则BE·BF＝(x，y－1)·(－x，－y－1)＝－x2－y2＋1. 因为点E在双曲线C上，所以x2－y2＝1，所以y2＝x2－1， →→
所以BE·BF＝2(1－x2)≤0，
→→
当|x|＝1时，BE·BF＝0，∠EBF为直角， →→
当|x|＞1时，BE·BF＜0，∠EBF为钝角． 因此，∠EBF最小时，|x|＝1，k＝0.(5分) ② 设A(m，n)，过点B的动直线为y＝tx＋1.
22x－y＝1，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(1－t2)x2－2tx－2＝0，
y＝tx＋1，
1－t）＞0，
Δ＝4t＋82（
t
所以x＋x＝ ，1－t2xx＝－.1－t
2
2
1
2
2
12
2
1－t2≠0，
由1－t2≠0，且Δ＞0，解得t2＜2且t2≠1，(7分) kAP＋kAQ＝λ，即
y1－ny2－ntx1＋1－ntx2＋1－n
＋＝λ，即＋＝λ， x1－mx2－mx1－mx2－m
化简得(2t－λ)x1x2＋(－mt＋1－n＋λm)(x1＋x2)－2m＋2mn－λm2＝0， －22t
所以(2t－λ)＋(－mt＋1－n＋λm)－2m＋2mn－λm2＝0，
1－t21－t2化简得(λm2－2mn)t2＋2(λm－n－1)t＋2λ－2m＋2mn－λm2＝0.
由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，
λm2－2mn＝0， ①
所以λm－n－1＝0，(10分)
2λ－2m＋2mn－λm2＝0， ②
3m＝2mn，将①代入②得到λ＝m，从而2
m＝n＋1，
如果m＝0，那么n＝－1，此时A(0，－1)不在双曲线C上，舍去． 因此m≠0，从而m2＝2n，代入m2＝n＋1解得n＝1，m＝±2.
此时A(±2，1)在双曲线C上．
综上，A(2，1)，λ＝2或者A(－2，1)，λ＝－2.(12分)
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