范围：
1. 典型题：年龄、余数、不定方程、多位数。
2. 看选项：选项为一组数、可转化为一组数（选项信息充分）。 3. 剩两项：只剩两项时，代一项即得答案。 4. 超复杂：题干长、主体多、关系乱。 方法：
1. 先排除：尾数、奇偶、倍数。 2. 在代入：最值、好算。
数字特性
一、 奇偶特性： 范围：
1. 知和求差、知差求和：和差同性。
2. 不定方程：一般先考虑奇偶性。注意是“先”考虑。 3. A是B的2倍，将A平均分成两份：A为偶数。 4. 质数：逢质必2. 方法：
1. 加减法：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。a+b和a-b的奇偶性相同。 2. 乘法：一偶则偶，全奇为奇。4x、6x必为偶数，3x、5x不确定。
精选
二、 倍数特性 1. 整除型（求总体）：
若A=B×C（B、C均为整数），则A能被B整除且A能被C整除。 试用范围：用于求总体，如工作量=效率×时间，S=VT，总价=数量×单价。 2. 整除判定法则： 口诀法：
a) 3/9看各位和，各位和能被3/9整除，这个数就能被3/9整除。例：
12345，能被3整除不能被9整除。
b) 4/8看末2/3位，末2/3位能被4/8整除，这个数就能被4/8整除。例：
12124，能被4整除不能被8整除。
c) 2/5看末位能否被2/5整除。2看末位能否被2整除，即是不是偶数，5是
看尾数是不是0或5。 拆分法：
要验证是否是m的倍数，只需拆分成m的若干被+-小数字n，若小数字n能被m整除，原数即能被m整除。
例：217能否被7整除？217=210+7，所以可以被7整除。 复杂倍数用因式分解：
判断一个数是否能被整除，这个数拆解后的数是否能被整除，拆分的数必须互质。 3. 比例型：
a) 某班男女生比例为3：5，即可把男生看成3份，女生看成5份。
男生是3的倍数，女生是5的倍数，全班人数是5+3=8的倍数，男生女生差值是5-3=2的倍数 b) A/B=M/N（M、N互质）
精选
A是M的倍数，B是N的倍数，A+B是M+N的倍数，A-B是M-N的倍数。 c) 做题逻辑：
想：看到比例要想到使用倍数特性。
看：直接看问题，倍数特性是技巧性方法，无需分析题目，找出与问题相关的比例。
干：找到做题方法，直接秒殺。
方程法
一、 普通方程：
找等量，设未知数，列方程，解方程。 设未知数的技巧：
1. 设小不设大（减少分数计算）。 2. 设中间值（方便列式）。 3. 问谁设谁（避免陷阱） 二、 不定方程
1. 未知数必须是整数的不定方程： a) 不定方程 ax+by=m
方法：分析奇偶、尾数、倍数等数字特性，尝试带入排除。 奇偶：a、b恰好一奇一偶。 尾数：a或b的尾数是5或0。 倍数：a或b与m有公因子。
b) 不定方程组 a1x+b1y+c1z=m a2x+b2y+c2z=n
方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
精选
2. 未知数可以不是整数的不定方程：
a) 未知数可以不是整数（时间、金钱）的方程。属于非限方程，只能考查方程组求
总体，一般的方法是凑和赋0。 b) 赋0法：
未知数个数多于方程个数，且未知数可以不是整数。
答案是一个算式的值，而非单一未知数的值，即必须是N×（x+y+z）的形式。 操作：赋其中的一个未知数为0，从而快速计算出其它未知数。 赋0法只限用于求总体的情况，如果求单一值则不适用。
工程问题
一、 工程量=效率×时间，效率=工程量÷时间，时间=工程量÷效率。
注意：工程问题在于找对切入点。 二、 工程问题切入点： 1. 给定时间型（完工时间）：
赋值工作量为完工时间的最小公倍数。 2. 给效率型：
具体值→列方程，效率比→赋值销量为对应的比值。
行程问题
一、 行程问题的三量关系：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速
度。
二、 火车过桥问题。总路程=火车车身长度+桥长=火车速度×过桥时间。
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三、 等距离平均速度：
1. 公式：V=2V1×V2/（V1+V2），前一半路程的速度是V1，后一半路程的速度是
V2，问全程的平均速度是多少。
推导：V=S/t，设前一半路程为S，后一半路程为S，则V=2S/（S/V1+S/V2）=2V1×V2/（V1+V2）。
2. 适用于：往返（一来一回为等距离）、上下坡（上下坡为等距离）。 四、 相遇与追击：
1. 直线相遇：总路程S=（V1+V2）×t 2. 直线追击：追击路程S=V1t-V2t=（V1-V2）t 3. 环形相遇：
a) 出发点相同，方向不同。 b) 公式：S= （V1+V2）×t
c) 相遇一次S=一圈，相遇N次，S=N圈 4. 环形追击：
a) 同点出发，同向而行。
b) 追击路程S=V1t-V2t=（V1-V2）t
c) 追上一次，S追=1圈，追上N次，S追=N圈 5. 多次相遇
a) 两端出发：第n次相遇，两人共走（2n-1）×S，n是次数，S是全程，如果第7
次相遇，共计走了13S，13个全程。
b) 同端出发：第n次相遇，两人共走2nS，2n个全程。 c) 小结：
给相遇次数，问路程或时间：根据相遇次数推路程，根据路程算时间。 给相遇时间，问相遇次数：根据时间算路程，根据路程算次数。 6. 流水行船
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a) 概念：V顺、V逆、V水、V船。 b) 公式：
顺水航行：V顺=V船+V水 逆水航行：V逆=V船-V水 V船=（V顺+V逆）/2 静水速度=船速 ，漂流=水速 7. 比例行程：S=VT
a) S一定，V与T成反比；V一定，S与T成正比；T一定，S与V成正比。 b) 方法：确定不变量，再去找比例。
经济利润问题
一、 经济利润问题涉及的公式 1. 利润=售价-成本。
2. 数量关系中，利润率=利润/成本。资料分析中，利润率=利润/收入。 3. 售价=成本×（1+利润率）。 4. 折扣=售价/原价。
5. 总价=单价×数量，总利润=单个利润×数量。 二、 经济利润问题涉及的方法：
1. 求具体价格：列式计算、方程。如：成本，售价，利润。 2. 求比例：赋值法。如：利润率，打折。
3. 赋值技巧：常设成本为1、10、100，好算的数，如果成本当中涉及数量，也可以
对数量赋值。
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分段计价
1. 在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费标准不等。 2. 计算方法：按标准，分开。计算后，汇总。
排列组合与概率
一、 分类与分布
1. 分类（要么…要么…）：相加。 2. 分布（先…后…）：相乘。 二、 排列与组合 1. 排列：与顺序有关。 2. 组合：与顺序无关。
3. 判断标准：从已选的主体中任意挑选出两个，调换顺序。有差别，与顺序有关
（A）；无差别，与顺序无关（C）。 4. 相邻捆绑法
有必须相邻的，先把相邻的捆绑起来，考虑内部顺序，捆绑后在与其它排列。 5. 不相邻插空法
先将可以相邻的进行排列，排列后行程若干个空位。再将不相邻的插入到行程的空位中去。谁不相邻，拿谁插空。 6. 枚举法
按照面额或数值的大小，从大到小列举枚举，不漏不重。注意每种数值的个数不得超过条件给的上限。
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概率
1. 给情况求概率
公式：概率=满足需求的情况数/全部的情况数。 注：正难则反，满足概率=1-不满足概率 2. 给概率求概率
方法：
分类：P（A）=P1+P2+…….Pn 分布：P（A）=P1×P2×…….Pn
容斥原理
1. 在计数时，先不考虑重复的部分，先把符合条件的加在一起，最后再把重复的剔
除、遗漏的补上，做到“不重不漏”。 2. 题型：两集合、三集合。 3. 方法：公式法、画图法。 4. 容斥问题在于找对题型和方法。 5. 两集合。
a) A+B-A∩B=总数-都不满足。
b) 推导：大框为总数，圈A和圈B，中间为A∩B，圆圈外的为都不满足的，可以
发现总数-都不满足的=圆覆盖的面积=A+B-A∩B。
c) AUB：合集，两个集合共同覆盖的面积。A∩B：交集，两个集合共有的面积。 6. 三集合：标准型。
a) 标准型公式（给了两两之间的交集）：全部-都不=A+B+C-（A∩B+B∩C+A∩
C）+A∩B∩C。
精选
b) 推导：全部为大框，都不为圈外的部分，三个圆分别为A、B、C，求AUBUC。
先把符合的A、B、C加在一起，即A+B+C。
刨除重复的部分：A∩B、B∩C、A∩C都加了2次，但是只要1次，因此需要减去1次。
A∩B∩C：在A+B+C中加了3次，只要1次；但是在减A∩B、B∩C、A∩C，把A∩B∩C减了3次，需要再加上一个A∩B∩C。
7. 三集合：非标准型。
a) 非标准型公式（给的为两者满足、三者满足）：全部-都不=A+B+C-两者满足-2×三者满足。
b) 推导：先把A、B、C加在一起，即A+B+C。满足两种的每部分加了2次，要
1次，因此把两者满足的部分减去1次。满足三中的加了3次，要1次，因此减去2次。
8. 容斥问题解体方法：
a) 公式法：题目当中，所给所求都是公式的一部分。 b) 画图法：公式法解决不了的，问“只”满足。
画图，标数字（从里往外标、每部分一层），列算式（尾数法）
最值问题
1. 识别：题目问法为“至少……才能保证……”。
2. 方法：保证数=最不利数+1。若要最不利就是要考虑最倒霉的情况，考虑最不利要
有思维的过度。
3. 引例：袋子中装有5个红球，8个白球，10个黄球。
a) 至少取出（）个，才能保证有红球：8+10+1=19。 b) 至少取出（）个，才能保证至少有2个同色的球：3+1=4。 c) 至少取出（）个，才能保证至少有8个同色的球：5+7+7+1=20。
精选
注意：如果拿10个球完成了8个同色，这只是一种可能出现的状况，但是不能保证一定完成，而如果拿20个球一定能保证完成8个同色球。
d) 最不利数（求保证数的关键点）：不够，全给你。够，少给一个气死你。
构造数列（和定最值）
1. 识别：和一定，求某个量的最多或最少。注：题干是否有各不相同，如果没有，默
认相同。 2. 方法（三步走）：
a) 定位：求最大还是最小。
b) 反向构造（要有最值思想）：和一定是此消彼长的关系。即若求最多，其他尽
量少；若求最少，其它尽量多。
c) 加和求解。若结果不为整，问最多往小取，问最少往大取。
3. 都……至少：“都”表示交集，如三者都喜欢，三项都参加过，问的是交集的最小
值，是命题趋势。
例：有100人，其中高的80人，富的70人，帅的60人，问“高富帅”至少有多少人。
高富帅是三者都满足的“都。。。至少”即交集最小，带入公式：80+7+60-2×100=10。
结论：Sn-（n-1）M，Sn为高富帅的和，n代表项数，M是总体。 原理：
a) 两集合公式：A+B-A∩B=全-都不，要求A∩B最小，移项得：A∩B=A+B-全+都
不，“A、B、全”是固定值，要让A∩B最小，则“都不”=0，此时：A∩B=A+B-全。
b) 三集合：A∩B∩C= A∩B+C-全=A+B-全+C-全=A+B+C-2全
四集合：A+B+C+D-3全
精选
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