人教版八年级数学上册 第3讲 等腰三角形 培优讲义设计无答案

第 3 讲 等腰三角形 【知识目标】 模块一 模块二 等腰三角形 等边三角形 例 1、例 2、例 3 例 4、例 5、例 6、例 7 难度：★★ 难度：★★★

模块一 等腰三角形 题型一 等腰三角形的性质和判定 【知识导航】 1．等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边．

2．等腰三角形的性质： （1）两腰相等．（2）两底角相等．（3）“三线合一”，即顶角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合． （4）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 3．等腰三角形的判定： （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． （3）同一边上的中线、高线 、顶角的平分线中有两条重合（用时须证明）． 【例 1】利用等腰三角形的定义证明等腰三角形的下列性质 ①等腰三角形两底角相等．

②等腰三角形顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

【练习】 证明等腰三角形的下列判定 ①有两个内角相等的三角形是等腰三角形 ②如果一个三角形中，一个内角是角平分线，该内角对边上的高以及对边上的中线有两线重合，那么该三 角形是等腰三角形．

【总结归纳】等腰三角形常见辅助线：构造出等腰三角形的“三线”． 【例 2】如图，△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AE＝AF，求证： DE＝DF．

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【练习】如图，在△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且 AE＝CE，求证： BE⊥AB．

【拓展】如图，在△ABC 中，∠CAB＝∠CBA＝45°，点 E 为 BC 的中点，CN⊥AE 交 AB 于 N,连 EN，求证：（1）∠AEC＝∠BEN；（2）AE＝CN+EN．

【题型二】利用等腰三角形求角度 【例 3】在△ABC 中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝ED＝EB．求∠A．

【练习】如图，在 ABA1 中，∠B＝52°，AB＝ A1 B ，在 A1 B 上取一点 C，延长 AA1 到 A2 ，使得 A1 A2 ＝ A1C ， 在 A2C 上取一点 D，延长 A1 A2 到 A3 ，使得 A2 A3 ＝ A2 D ， ，按此做法进行下去， A7 的度数为 ．

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【模块二】等边三角形 【知识导航】 1、等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形． 2、等边三角形的性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于 60°． 3、等边三角形的判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．

【例 4】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

【练习】证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于 30 度．

【例 5】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 在边 AC 上，且∠DBC＝∠DCB． （1）求证：AD＝CD；（2）若∠A＝30°，DE⊥AC 交 AB 于点 E，求 BE

的值． AE

【练习】如图，P 是等边△ABC 边 AB 上任意一点，AB＝2，PE⊥BC 于 E，EF⊥AC 于 F，FM⊥AB 于 M．设 BP＝x（x＞0）．（1）用含 x 的代数式表示 AM;（2）当 x 等于多少时，点 P 和点 M 重合？

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【例 6】如图，等边△DEF 的顶点在等边△ABC 的边上．（1）求证：BE＝CD；（2）若 BD＝2CD，求∠DFC 的度数．

【例 7】如图，△ABC 中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD、BE 相交于 P，BQ⊥AD 于 Q． 求证：（1）①∠APB＝120°；②BP＝2PQ． （2）连接 CP，若 BP⊥CP，求 AP

的值．

PQ

【拓展 1】如图，在等腰△ABC 中，AB＝CB，M 为△ABC 内一点，∠MAC+∠MCB＝∠MCA ＝30°． （1）求证：△ABM 为等腰三角形；（2）求∠BMC 的度数．

【拓展 2】

如图，△ABC 中，∠B＝60°，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，使 AE＝BD，连 CE、DE，若 CE＝DE，求证： △ABC 为等边三角形．

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第 3 讲 本讲课后作业 1．在△ABC 中，BC 边上的高 AG 平分∠BAC（1）如图 1，求证：AB＝AC；（2）如图 2，点 D、E 在△ ABC 的边 BC 上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求 BD 的长．

2．如图，△ABC 中，AB ＝AC，D 是 BC 的中点，过点 A 的直线 EF//BC ,且 AE＝AF，求证：DE＝DF．

． 如图，在△ABC 中，AB＝BC，M、N 为 BC 边上两点，并且∠BAM＝∠CAN，MN＝AN，求∠MAC 3

的度数．

．如图，∠MON 是一个钢架，∠MON＝10°4，在其内部添加一些钢管 BC，CD，DE，EF，FG，  ， 添加的钢管长度都与 OB 相等．

（1）当添加到第五根钢管时，求∠FGM 的度数． （2）假设 OM、ON 足够长，能无限地添加下去吗？如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根？

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5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，求 BE：EA 的值．

6．如图，△ABC 中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AC 于 E，AB 的垂直平分线 FH 交 AB 于 F，交 AC 于 H，若 CE＝4，求 AH 的长度．

7．如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 上的点，且 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 为等边三角形．

．如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，P 是底边 8BC 上一动点（不与 B、C 重合），PM⊥AB 于 M，PN ⊥AC 于 N，CH⊥AB 于 H，求证： PM+PN＝CH．

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