广东省湛江市2018_2019学年高二数学上学期第一次大考试题理(卓越班)

湛江一中2018-2019学年度第一学期第一次大考

高二级理科数学试卷(B)

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列命题是真命题的是（ ）

①命题“xR，xsinx”的否定是“x0R，x0sinx0 ”； ②命题“x0R，；③ 命题“xR,sinx1”x03x0210”的否定是“xR，x3x21≤0”是真命题；④命题“x0R，sin2x0cos2x01”是真命题. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 2. 已知数列{an}为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10（ ）

A．7

B．5

C．－5

D．－7

x2y21是椭圆方程”的（ ） 3.“7k9”是“

9kk7A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 4. 在ABC中，AC5,BC2,B45o，则BC边上的高为（ ）

A. 2 B. 3 C.

32 D. 6 25. 已知a,b,cR，则下列命题正确的是（ ）

ab，则ab cc1111C. 若a2b2,且ab0，则 D. 若a3b3,且ab0，则

ababA. 若ab, 则ac2bc2 B. 若

x0,6.设变量x,y满足约束条件xy0,则z3x2y的最大值为（ ）

2xy20,A. 0 B. 2 C. 4 D. 6

7．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为

2的直线与抛物线C交于M，3N两点，则FMFN=

A．5

B．6

C．7 D．8

8. 已知a0，b0，若不等式

21m恒成立，则实数m的最大值是（ ） ab2abA. 10 B. 9 C. 8 D. 7

x29. 椭圆2y21(a1)的左右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且F1PF290o，

a则△F1PF2 的面积S等于( )

18 C． D．以上都不对 25nn1(nN)，其前n项和为10. 已知数列an的通项公式为an(1)(2n1)cos2A．1 B．

Sn，则S60（ ）

A. -30 B. -60 C. 90 D. 120

11. 设集合P1,2,3,,nnN，对Pn的任意非空子集A，定义M(A)为集合A中n的最大元素.当A取遍Pn的所有非空子集时，对应的M(A)的和为Sn.则Sn1（ ）

A.(n1)2n B. (n1)2n1 C.n(n1)1 D.n2n2 22x2y21的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的12.椭圆C:43取值范围是2,1,那么直线PA1斜率的取值范围是 （ ）

A．， B．， C．，1

24842

第II卷

二．填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．

13.在ABC中，D是AB边上的点，且满足AD3BD,ADACBDBC2,

33131D．，1

34CD2，则cosA= .

y214.已知x,y,zR，x2y3z0，则的最小值 ．

xzx2y215.已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，

ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则双曲线C的离心率为________．

16.有穷数列an前n项和为Sn.若把

S1S2S3Sn称为数列an的“优美和”，

n现有一个共有2017项的数列an：a1,a2,a3,,a2017.若其“优美和”为2018，则有2018项数列：1，a1,a2,a3,,a2017的“优美和”为 . 三.解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本题满分10分）已知数列an的前n项和为Sn，a11,an0,anan14Sn1. （1）证明：数列an为等差数列，并求其通项公式； （2）设bn

18. （本题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c， 且a2bcosCccosBb. （1）求cosC的值；

（2）若ABC的面积为2，ab2，求ABC的周长.

19. （本题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB2,AD23,E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把CDF折起，点C到达点P的位置，使PE1.

P （1）证明：平面PEF平面ABFD；

D （2）求二面角PDFE的正弦值.

E

A 1，求数列bn的前n项和为Tn. anan1C F B

20.（本题满分12分）

已知F是抛物线G：x24y的焦点， 过点Pa,1(a0)作抛物线G的两条切线

PA,PC,其中A,C为切点.

(1)证明：直线AC经过抛物线G的焦点F；

(2)设B为抛物线G上异于原点的点，且满足FA·FB0,延长BF交抛物线G于点D，问当a为何值时，四边形ABCD面积最小，并求其最小值.

x2y221. （本题满分12分）已知椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，

ab点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上，PF1F2是等腰直角三角形，直线PA交x轴于点M.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，证明：在y轴上存在点Q，使OQMONQ.

x2y222. （本题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的离

ab心率为

1，过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，2ABCD7.

（1）求椭圆的方程；

（2）求ABCD的取值范围.

湛江一中2018-2019学年度第一学期第一次大考

高二级理科数学（B）参考答案

一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 答案 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 D 11 A 12 A 二. 填空题:本大题共4小题．每小题5分，满分20分． 13. 0; 14. 3; 15. 三．解答题：

17. （1）证明：由anan14Sn1(1)及an1an24Sn11(2)

(2)-(1)得an1(an2an)4(Sn1Sn)4an1，an0nN，an2an4， ………………………2分

由a11,anan14Sn1得a2a1a24S114a113,

23 ; 16.2018 . 3数列a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n114(n1)2(2n1)1，

数列a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n34(n1)2(2n)1 由此得an2n1nN………………………4分

an1an2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列，其通项公式是an2n1（2）bnnN.…………5分

11111，………………………7分

anan12n12n122n12n111111111Tnb1b2b3bn1

2335572n12n1 11n.………………………10分 122n12n118.解：(1)由正弦定理及a2bcosCccosBb得，

sinA2sinBcosCsinCcosBsinB………………………2分

A(BC)sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC3sinBcosCsinB, sinB0,cosC（2）由（1）cosC1………………………5分 3122，则sinC1cos2C， 331ABC的面积为2，absinC2,ab3，又ab2，

2解得，a3,b1.………………………9分

由余弦定理得c2a2b22abcosC8,c22.………………………11分 所以ABC的周长为422.………………………12分

19.（1）证明：E、F分别为AD,BC的中点，EF//AB且DE3 在矩形ABCD中，ADAB,ADEF，……………1分 由翻折的不变性，PD2,PFCFDE3，DF7，

222又PE1，有PDPEDEDEPE,即ADPE,………………3分

又PEEFE，PE,EF平面PEF，AD平面PEF，………………4分

AD平面ABFD，平面PEF平面ABFD.………………5分

（2）过点P作PHEF交EF于H，由平面垂直性质定理得PH平面ABFD，

过点P作PODF交DF于O，连结OH，则OHDF，

D P

C O E H

F POH为二面角PDFE的平面角. …………………8分

A B

PE2PF2EF2，EPF90o，由等面积法容易求得PH3221. ,PO27在直角△POH中，sinPOH………………………12分

PH77，即二面角PDFE的正弦值为. PO44

220.解：(1) 设抛物线G的切点A的坐标为x1,y1,其中x14y1，

则切线PA的方程是yy1k1(xx1)（k1为切线PA的斜率），

x4y121xk1xk1x1x120………… 44联立方程组yy1k1(xx1)2，消去y且将y112x1代入并整理得 411PA为抛物线G的切线，方程的判别式△=k12k1x1x12k1x10，

421得k1x1，

2x1x12x1xy1, 所以切线PA的方程为yy1xx1,即y222即x1x2y2y10…2分

2设抛物线G的切点C的坐标为x2,y2,其中x24y2，

2同理可得切线PC的方程为x2x2y2y20…………3分

因为切线PA,PC均过点Pa,1,所以ax12y120,ax22y220………4分 所以直线ax2y20经过Ax1,y1,Cx2,y2两点. 所以直线AC的方程为ax2y20.

∵a02120∴直线AC经过抛物线G的焦点F(0，1)……………6分 (2) 由(1)知， 直线AC的方程为ax2y20．

ax2y2022点A，C的坐标满足方程组2 消去x ，整理得y(2a)y10，

x4y由根与系数的关系得y1y22a2 由抛物线的定义得

2a2ACAFCFy1y224a41…………………8分．

22因为ACBD，所以BD的斜率为，

a

224同理可求得BD41412…………9分

aaSABCD1416ACBD24a2122(a282)≥32．…………11分 2aa当a2时，等号成立．所以四边形ABCD面积的最小值为32．………12分

x2y221.解（1）由于点P(0,1)在椭圆C:221上且PF1F2是等腰直角三角形，所以有

ab121,ca, 又a2b2c2，解得，a2,b1. 2b2x2y21.………………………4分 所以椭圆C的方程是2（2）在y轴上存在点Q，其坐标为0,2，使OQMONQ.………………5分 证明如下：

点B与点A关于x轴对称，Bm,n

直线PA的方程是yn1mmx1，令y0，得x，M,0， m1n1n同理得Nm,0.……………………7分 1n设Q(0,y0)，则

mm，tanONQtanOQM1n1ny0y01ny0 y0mm1nm1ny0，

m1ny0OQMONQ，tanOQMtanONQ， 即

m2y,……………………10分

1n220

m2m222n1，得， 2点A(m,n)在椭圆C上，y2,则y02 0221n所以在y轴上存在点Q，其坐标为0,2，使OQMONQ.……………12分 22.解：（1）由题意知，ec1,a2c,b23c2， a22b2. 当直线AB的斜率为0时，直线CD过椭圆的右焦点且与x轴垂直，则AB2a,CDa2b2ABCD7,2a7，将a2c,b23c2代人

a解得c1,a2,b3，

x2y21.………………………4分 椭圆的方程是43（2）①当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意可知

ABCD7.………………………5分

②当两条直线斜率都存在且不为0时，由（1）知F(1,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为yk(x1)，

1(x1)， k则直线CD的方程为y将直线AB的方程代人椭圆的方程并整理得34k2x28k2x4k2120………7分

8k24k212,x1x2其判别式△=144(k1)0,x1x2……………8分

34k234k22AB1kxx212212k2112k214x1x2，同理得CD， 2234k3k412k2112k2184k21+=， ABCD34k23k2434k23k242

令tk21t1，则34k24t1,3k243t1，

t2t2tt2424t13t1111149设f(t)12，

1844849t1,0,1,f(t)12,，ABCD,7.

t4f(t)7综合①②可知，ABCD的取值范围是

48,7.………………………12分 7