运筹学课程设计

2 建大学校食堂牛肉面窗口的排队论问题„„„„„„„„„17 2.1问题的提出„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„17

2.1.1排队论问题的初步认识 „„„„„„„„„„„„„„„17 2.2 所研究问题的目的„„„„„„„„„„„„„„„„„20

2.3 模型的建立 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„20

1.3.1 所研究问题的简单归类 „„„„„„„„„„„„„„20 2.3.2 最简单流 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„20 2.3.3变量的设定 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„22 2.3.4衡量排队系统的指标„„„„„„„„„„„„„„„„22

2.4 所研究问题的求解及解的分析 „„„„„„„„„„„„23

2.4.1 根据上面公式求解 „„„„„„„„„„„„„„„„23 2.4.2 解的分析和评价 „„„„„„„„„„„„„„„„24

2.5 总结 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„24

2 建大学校食堂牛肉面窗口的排队论问题

摘 要：通过对基本情况的分析，经过抽象和延伸，建立起了建大学校食堂

买饭的排队问题的模型；结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论与分析；将模型应用与案例的背景问题，的出相应的排队论的数学模型；最后，结合分析结果，对案例中的问题逐一进行分析和解答。 关键词：排队论问题，数学模型，合理性分析

2.1问题的提出

排队论是我们每个人都很熟悉的现象。因为人或者物或者是信息只要是为了得到某种服务就必须排队。有一类排队是有形的，例如在受票出等待买票的排队，加油站前汽车等待加油的排队等；还有一类排队是无形的，例如电话交接机街道的电话呼叫信号的排队，等待计算机中心处理的信息的排队等。为了叙述的方便，排队者无论是人、物或信息，以后统称为“顾客”。服务者不论是人，或者无，例如仪态电子计算机也可以是排队系统中的服务者，我们以后统称为“服务员”。

排队现象是我们不希望出现的现象，因为人的排队以为着至少是浪费时间；无的排对则说明了物资的积压。但是排队现象去无法完全消除，这是一种随机现象。由于顾客到达间隔时间的随机性和为顾客服务时间的随机性是产生排队现象的原因。如果上述的两个时间是固定的，我们就可以通过妥善安排来完全消除排队现象。

2.1.1排队论问题的初步认识 （1） 什么是排队论

所谓排队论就是研究排队问题的理论和方法

（2） 排队问题的组成元素是什么

有限源 （单内部的，即特定系统） ⅰ 顾客源

无限源 （社会服务，自然界）

单台 ⅱ 服务台

多服务台

先到先服务 ⅲ 服务规则

ⅳ 队列

（3） 研究的问题

ⅰ 顾客输入的分布及情况

ⅱ 队长

ⅲ 服务时间

i. 所研究问题的背景

西安是我国重要的高等教育，有着的高等院校，西安建筑科技大学坐落于西安雁塔路，该校孕育了无数对社会有益的人才，对社会作出了应有的贡献。 大学是我们大学生生活学习的地方，这黄金的四年承载着我们的梦想，埋藏着我们的未来。我们每日的饭食自然交给了学校食堂。有着如此之多的学生，大家又是一起下课放学，排队打饭自然是再平常不过的了，我们学校食堂也当然是人山人海，可谓是壮观。这里，我们研究的就是我们学校一楼每日都生意级好的兰州牛肉面窗口的排队问题。

顾客等待时间 排队等待时间

队长（等待的顾客数）

随机 定长 模糊

多队列 单队列

有优先级服务 后到先服务

ii.

所研究问题的基本情况

下列数据是建大学校食堂牛肉面窗口同学们的到达数和服务时间的统计表。时间是从12点到12点30分，以 1分钟为一个时间段进行统计，共统计了30个时间段同学门到达的情况和50个同学服务的时间。如下中，表3.1.1所示的是同学们到达数的统计情况，表3.1.2所示的是同学们服务时间的统计情况。

表3.1.1同学们到达数统计表

到达数 时间段 到达数 时间段 6 3 7 2 8 2 9 1 10 0 11 1 0 1 1 3 2 2 3 5 4 6 5 4 表3.1.2同学们服务时间统计表

服务时间（秒） 同学人数 0～20 14 80～100 1 20～40 15 100～120 2 40～60 8 120～140 0 60～80 9 140～160 1 服务时间（秒） 同学人数

iii. 问题的提出

根据上述情况分析以下问题： （1） 牛肉面窗口空闲的概率 （2） 该系统中顾客数的期望值

（3） 该系统中排队等待的顾客数的期望值 （4） 在系统中排队等待的时间期望值 （5） 顾客在系统中全部等待的时间期望值

2.2 所研究问题的目的

通过数据调查与研究，得出最优的排队论方案，再对所调查的数据理想化，

使得学校食堂的牛肉面窗口的情况达到最优，节约同学们更多的时间，让同学们的吃饭更加方便。

2.3 模型的建立

1.3.1 所研究问题的简单归类

由于上述问题是单个窗口，所以属于单队的排队论问题。

所谓单队排队论问题就是一个随机过程若获得独立增量性、平稳性和普通性这三个条件，就是一个泊松分布，本次方案研究的排队现象，即一个服务台，顾客源无限和系统容量无限的模型。

2.3.2 最简单流 顾客源 顾客进入排队系服务台

顾客服务完离开系图1 一般排队系统模型图

用单队单排的模型，顾客到达数是最简单流。即满足无后效性、平稳性和普遍性三个条件，现在对这三个条件进行分析、论证：

无后效性：在[a,a+t]内，有k个顾客到达系统的概率与a以前顾客到达情况无关。

平稳性：在[a,a+t]内，有k个顾客到达系统的概率与a无关。

普遍性：当t很小时，在[a,a+t]内，有2个或2个以上顾客到达系统的概率为零（小概率事件）。也就是说在同一瞬间来到两个或两个以上顾客（车辆）实际上是不可能的。即在充分小的时间间隔中最多来一个顾客（车辆）。这个在本例中满足，因为每辆车在系统中停留总是占一定的时间段的。

可见用排队论的理论来分析车辆通过的过程是合适的。 在最简单流的基础上，我们讨论的排队系统

在间隔时间t内，系统有k个顾客到达的概率服从泊松分布，即

Vk（t）=

(t)k!ket (1)

其中Vk（t）代表在间隔时间为t内有k个顾客到达系统的概率（k=0,1,2…）, λ为单位时间到达系统的平均顾客数。

在间隔时间t内，系统有k个顾客服务完毕的概率服从泊松分布：

Uk（t）=

(t)k!ket (2)

其中Uk（t）表在间隔时间为t内有k个顾客服务完的概率（k=0,1,2…）, μ为单位时间服务完的平均顾客数。

在整个排队系统中，有关顾客到达与服务的间隔时间服从负指数分布： a. 系统有k个顾客到达的时间服从负指数分布

1et t≥0

F(t)= (3)

b. 系统有

0 t＜0

k个顾客服务完毕的时间服从负指数分布

1et t≥0

(4)

∮(t)=

0 t＜0

排队论模型基础m/m/1//,即单队单台模型，顾客源无限，系统容量无限。

2.3.3变量的设定

根据运筹学中排队论的知识，设车辆的平均到达率，为单位时间内服务的车辆数，为服务台服务强度，P0为车辆零等待的概率，Lq为系统中期望等待的车辆，L为平衡状态下队长的期望值，Wq为车辆在系统中期望等待时间，W为车辆平均逗留时间。

由表3.1.1和表3.1.2可得到和的值，再通过计算可得其它变量的值，进而可用来分析同学们买饭的排队问题。

2.3.4衡量排队系统的指标：

a) 系统的服务强度

ρ=

 (5)

b) 系统空闲的概率

P=1-ρ=1- (6)

c) 系统繁忙的概率

P=1-P。=ρ

d) 系统内有n个顾客概率

Pn=P。ρ =(1-ρ) ρ e) 系统中顾客数的期望值

L=

1(7)

n n (8)

（9）

f) 系统中排队等待的顾客数的期望值

Lq=

212() (10)

g) 顾客在系统中排队等待的期望值

Wq=

 (11)

h) 顾客在系统中的全部时间的期望值

W=

11 （12）

其中λ为单位时间到达系统的平均顾客数，μ为单位时间服务完的平均顾客数。

2.4 所研究问题的求解及解的分析

2.4.1 根据上面公式求解

由以上假设知窗口服务系统是一个单队单排模型，带入数据可以求得：

同学的平均到达率：

λ=（0×2+1×3+2×2+3×5+4×6+5×4+6×3+7×2+8×2+9×1+10×0

+11×1）÷30=2. 2512 （人/分钟） 同学平均服务时间： 1/=0.3385（人/分钟） 可知：=2.9545（人/分钟） 服务台服务强度：

ρ==0.7612

系统中空闲的概率：

P0=1-=1-0.7612=0.2388

系统中顾客数的期望值：

L=

1=3.1876（人）

该系统中排队等待的顾客数的期望值 Lq=

21=2.4264（人）

在系统中排队等待的时间期望值：

W=1/(μ-)=0.7033（分钟）

顾客在系统中全部等待的时间期望值：

Wq=/[μ(μ- )]=0.5359(分钟)

2.4.2 解的分析和评价

由本次调查的数据计算可知，服务台服务强度0.7612，系统中空闲的概率为0.2388，系统中顾客数的期望值3.1876人，该系统中排队等待的顾客数的期望值2.4264人，在系统中排队等待的时间期望值0.7033分钟，顾客在系统中全部等待的时间期望值0.5359分钟。从这些数据中可以看出食堂牛肉面窗口的排队情况较为理想，没有出现让同学们等待时间过长或所排队队伍过长等

情况。

2.5 总结

从调查的结果可以看出，学校食堂牛肉面窗口打饭还算是合理的，没有出现让同学们等待时间过长或所排队队伍过长等问题，但是，同学们时间的浪费还是在所难免的。这次采用排队论的方法解决问题是符合实际要求的，这种随机的数学模型对于解决排队论问题是符合理论要求的。当然，在统计数据是难免会有一些误差和限制，因此其也存在着一些缺陷和不足，有待进一步调查研究。

参考文献

［1］蒋绍中. 管理运筹学教程[M]. 杭州：浙大学出版社，2006 ［2］徐玖平. 运筹学(第二版). 北京： 科学出版社, 2004

［3］胡运权. 运筹学应用. 哈尔滨： 哈尔滨工业大学出版社, 1998

［4］H. P. Williams. 数学规划模型建立与计算机应用. 北京： 国防工业出版社,

1991

［5］杨茂盛. 运筹学（第三版）.陕西：陕西科学技术出版社，2006