高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型

一、极坐标系

1．极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 互化公式 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P的极坐标为(2,)，则点P的直角坐标为 （ ）

4A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）

2、设点P的直角坐标为(3,3)，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)，则点P的极坐标为（ ） A．(32,3553) B．(32,) C．(3,) D．(3,) 44443．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角

坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )

A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1

5．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

π

6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

4

题型二 极坐标方程的应用

由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

ππ3

1.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，4)，圆心为直线ρsinθ－3＝－2与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．

π

2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为4，3，则

|CP|＝________.

π3.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋4＝1，圆C的圆心的极坐标是

π

C1，4，圆的半径为1.

(i)则圆C的极坐标方程是________； (ii)直线l被圆C所截得的弦长等于________． π

4.在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cos θ被直线l：ρsinθ－6＝a截得的弦长为23，则实数a的值是________．

二、参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数

x＝ft，

与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．

y＝gt

2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程

直线 圆 椭圆 y－y0＝tan α(x－x0) x2＋y2＝r2 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α (t为参数) x＝rcos θ(θ为参数) y＝rsin θx＝acos φ(φ为参数) y＝bsin φ 题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： x＝3＋cos θ，(1) y＝2－sin θ；题型二 直线与圆的参数方程的应用

x＝1＋t，x＝2cos θ＋2，

1、已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈

y＝4－2ty＝2sin θ

[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．

1x＝1＋2t，(2)

3

y＝5＋2t.

2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值． 3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

，（α为参数），以原点O为极

．

点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值． 综合应用

x25t1、曲线(t为参数)与坐标轴的交点是（ ）

y12t21115A (0,)、(8,0) D (0,)、(,0) B (0,)、(,0) C (0,4)、(8,0)

525292x2sin3、参数方程（为参数）化为普通方程为（ ） 2ysinA．yx2 B．yx2 C．yx2(2x3) D．yx2(0y1)

3．判断下列结论的正误．

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )

π

(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是（2，－3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )

1xt4.参数方程为t(t为参数)表示的曲线是（ ）

y2A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线

xt(t为参数)等价的普通方程为（ ） 5．与参数方程为y21ty2y221 B．x1(0x1) A．x442y2y221(0y2) D．x1(0x1,0y2) C．x44215.参数方程

x2为参数所表示的曲线是 （ ）

ytancotB．两条射线 C．线段

2A．直线 D．圆

16.下列参数方程（t是参数）与普通方程yx表示同一曲线的方程是： ( )

1cos2txtxsin2txtxA． B． C． D．1cos2t 2ytysintytytantx2sec213.由参数方程0给出曲线在直角坐标系下的方程是 为参数，22y2tan

。

4x3t54.若直线l的参数方程是（t是参数），则过点（4，－1）且与l平行

y23t5的直线在y轴上的截距是 。

x5tsin505.方程（t是参数）表示的是过点 ，倾斜角为 直线。

y3tcos508.在极坐标系有点M(3,

3)，若规定极径＜0, 极角[0,2]，则M的极坐标为 ； 若规定极径

＜0，极角(-,)，则M的极坐标为 .

9.OP1P2的一个顶点在极点O，其它两个顶点分别为P15，，P24，，则OP1P2的面积

为

。

3412π6．(2013·北京高考)在极坐标系中，点2，到直线ρsin θ＝2的距离等于

6

________．

x2cos2(ysin7、平面直角坐标系中,将曲线为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为

C1x2原来的倍得到曲线

,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线

C2的方程为4sin

(Ⅰ)求1和2的普通方程:(Ⅱ)求1和2公共弦的垂直平分线的极坐标方程.

8、已知曲线C的极坐标方程是2cos2sin0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

12xt（t22y2t2CCCC为参数）.

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若直线l与曲线C交于A,B两点，求AB的值.

x＝2＋tcos α，x＝1＋cos θ，

7、已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α

y＝3＋tsin αy＝sin θ为直线l的倾斜角)．

2π

(1)当α＝3时，求圆上的点到直线l距离的最小值；

(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

28．参数方程xcos(sincos)(为参数)表示什么曲线？

ysin(sincos)x2y21上，求点P到直线3x4y24的最大距离和最小距离。 21．点P在椭圆

16922．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角（1）写出直线l的参数方程。

（2）设l与圆xy4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积

226，