甘肃省天水一中2015届高考数学模拟试卷（文科）
一.选择题 1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（） A． （﹣∞，2] B． （﹣∞，1] C． （2，+∞） D．[2，+∞）
2．（5分）如果复数z= A． |z|=2 C． z的虚部为﹣1
，则（）
B． z的实部为1 D． z的共轭复数为1+i
3．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（3，m），∥（+），则m=（） A． ﹣2
B． 2
C． ﹣3
D．3
4．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）
A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D．﹣4
5．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
）的图象如图所示，为了
A． 向左平移 C． 向左平移
个单位长度 个单位长度
B． 向右平移D． 向右平移
个单位长度 个单位长度
6．（5分）下列命题错误的是（）
22
A． 命题“若x＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x≥1
22
B． “am＜bm”是”a＜b”的充分不必要条件
22
C． 命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x+x+1≥0 D． 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 7．（5分）如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）
A． i＜10 B． i≤10 C． i≤9 D．i＜9 8．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）
A． 中位数为83 B． 众数为85 C． 平均数为85 D．方差为19 9．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）
A． π
B． 3π
2
C． 4π D．6π
10．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：y=8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，
|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是（） A． （2，+∞） B． （4，+∞） C． （0，2） D．（0，4）
11．（5分）若函数f（x）=x+x+mx+1对任意x1，x2∈R满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数m的取值范围是（） A．
B．
C．
D．
3
2
12．（5分）已知双曲线与抛物线y=8x有一个公共的焦点F，
2
且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（） A．
二.填空题
B．
C． x±2y=0
D．2x±y=0
13．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的
一个动点，则•的取值范围是．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为．
15．（5分）数列{an}中，若Sn=nan，a1=，则an=．
16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x，函数有 个．
三.解答题
17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣（cos2B，2cos
2
2
2
，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内零点的个数
），=
﹣1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值． 18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表： 月工资
（单位：百元） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 男员工数 1 8 10 6 4 4
女员工数 4 2 5 4 1 1 （Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）； （Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；
（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．
19．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°． （1）求证：AC⊥FB
（2）求几何体EF﹣ABCD的体积．
20．（10分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2． （I）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线AP的倾斜角为
，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径
的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
21．（14分）已知f（x）=3x﹣x+m，（x∈R），g（x）=lnx
（1）若函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=x0处的切线平行，求x0的值；
（2）求当曲线y=f（x）与y=g（x）有公共切线时，实数m的取值范围；并求此时函数F（x）=f（x）﹣g（x）在区间
上的最值（用m表示）．
2
四、请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是
的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD﹣DE=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．
22
23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴．曲线C的极坐标方程为 ρ=4，已知倾斜角为
2
的直线ℓ经过点P（1，1）．
（Ⅰ）写出直线ℓ的参数方程；曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线ℓ与曲线C相交于A，B两点，求
24．已知函数f（x）=
+
．
的值．
（I）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k﹣2|有解，求实数k的取值范围．
甘肃省天水一中2015届高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题 1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（） A． （﹣∞，2] B． （﹣∞，1] C． （2，+∞） D．[2，+∞）
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．
分析： 求出A与B的并集，找出并集的补集即可． 解答： 解：∵A=（0，2]，B=（﹣∞，1）， ∴A∪B=（﹣∞，2]， ∵全集为U=R，
∴∁U（A∪B）=（2，+∞）． 故选：C．
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）如果复数z=，则（）
A． |z|=2 B． z的实部为1 C． z的虚部为﹣1 D． z的共轭复数为1+i
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题： 计算题．
分析： 直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．
解答： 解：由z==，
所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1， z的共轭复数为﹣1+i， 故选C．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（3，m），∥（+），则m=（） A． ﹣2 B． 2 C． ﹣3
考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 平面向量及应用．
D．3
分析： 由题意求出（+），利用∥（+），求出m即可． 解答： 解：向量=（﹣1，1），=（3，m），∴+=（2，1+m）， ∵∥（+），
∴1×2=﹣1（1+m）， ∴m=﹣3． 故选：C．
点评： 本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．
4．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（） A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D．﹣4
考点： 等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得，a3=a1+4，a4=a1+6，根据 （a1+4）=a1 （a1+6），求得a1的值．从而得解．
解答： 解：由题意可得，a3=a1+4，a4=a1+6．∵a1，a3，a4成等比数列，
2
∴（a1+4）=a1 （a1+6）， ∴a1=﹣8， ∴a2等于﹣6， 故选：C
点评： 本题考查等差数列的通项公式，等比数列的定义，求出a1的值是解题的难点．
2
5．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
）的图象如图所示，为了
A． 向左平移 C． 向左平移
个单位长度 个单位长度
B． 向右平移D． 向右平移
个单位长度 个单位长度
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解答： 解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=合|φ|＜
，可得φ=
．
+
=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+
，∴sinφ=，结
再根据五点法作图可得ω×故把f（x）=2sin（2x+（2x+
）．
）+
]=2sin
）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+
）=2cos2x的图象，
故选：C．
点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 6．（5分）下列命题错误的是（）
22
A． 命题“若x＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x≥1
22
B． “am＜bm”是”a＜b”的充分不必要条件
22
C． 命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x+x+1≥0 D． 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
分析： 对于A，写出逆否命题，比照后可判断真假； 对于B，利用必要不充分条件的定义判断即可； 对于C，写出原命题的否定形式，判断即可．
对于D，根据复合命题真值表判断即可；
解答： 解：命题“若x＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x≥1，故A正确；
222222“am＜bm”⇒”a＜b”为真，但”a＜b”⇒“am＜bm”为假（当m=0时不成立），故“am＜bm”是”a＜b”的充分不必要条件，故B正确；
22
命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x+x+1≥0，故C正确； 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题，故D错误， 故选：D
点评： 本题借助考查命题的真假判断，考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判定． 7．（5分）如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）
2
2
A． i＜10 B． i≤10 C． i≤9 D．i＜9
考点： 伪代码． 专题： 常规题型．
分析： 先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×12×11×10×9=11880得到程序中UNTIL后面的“条件”．
解答： 解：因为输出的结果是132，即s=1×12×11×10×9，需执行4次， 则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜9． 故选D
点评： 本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能． 8．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）
A． 中位数为83
考点： 茎叶图．
B． 众数为85 C． 平均数为85 D．方差为19
专题： 概率与统计．
分析： 根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和方差即可． 解答： 解：根据茎叶图中的数据，得中位数是众数是83，∴B错误； 平均数是
2
=84，∴A错误；
=85，∴C正确；
2
2
2
2
方差是[（78﹣85）+（85﹣85）+（83﹣85）×2+（90﹣85）（91﹣85）]=19.7，∴D错误．
故选；C．
点评： 本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题． 9．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）
A． π B． 3π C． 4π D．6π
考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．
解答： 解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体． ∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．
∴此四面体的外接球的表面积为表面积为故选：B．
=3π．
点评： 本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．
10．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：y=8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是（） A． （2，+∞） B． （4，+∞） C． （0，2） D．（0，4）
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
2
分析： 由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由x0表达，由此可求x0的取值范围． 解答： 解：由条件以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，可得|FM|＞4， 由抛物线的定义|FM|=x0+2＞4，所以x0＞2， 故选：A．
点评： 本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
11．（5分）若函数f（x）=x+x+mx+1对任意x1，x2∈R满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数m的取值范围是（） A．
B．
C．
D．
3
2
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的概念及应用．
分析： 由已知可分析出函数的单调性，进而根据单调性与导数的符号的关系，可构造关于m的不等式，解不等式可得答案．
解答： 解：∵对任意x1，x2∈R满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0， ∴函数f（x）是R上的单调增函数，
∴f′（x）=3x+2x+m≥0在R上恒成立， 即△=4﹣12m≤0， ∴
．
2
故选D
点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中熟练掌握单调性与导数的符号的关系，是解答本题的关键．
12．（5分）已知双曲线
与抛物线y=8x有一个公共的焦点F，
2
且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（） A． B． C． x±2y=0
考点： 圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质． 专题： 计算题；压轴题．
D．2x±y=0
分析： 由抛物线y=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，从而得到双曲线
的关于a，b 的方程，求出a，b的值，进而求出双
2
曲线的渐近线方程．
2
解答： 解：抛物线y=8x得出其焦点坐标（2，0） 故双曲线的c=2，
又|PF|=5，设P（m，n），则|PF|=m+2 ∴m+2=5，m=3， ∴点P的坐标（3，）
∴
解得：
则双曲线的渐近线方程为 故选B．
点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，抛物线的定义等．解答的关键是学生对圆锥曲线基础知识掌握的熟练程度．
二.填空题
13．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域
上的
一个动点，则•的取值范围是[0，2]．
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用．
分析： 由约束条件作出可行域，化•为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式，
数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案． 解答： 由约束条件
作出可行域如图，
令z=•=﹣x+y，得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过C（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于0； 当直线过B（0，2）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，等于2． ∴
•
的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
点评： 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为A．
考点： 进行简单的合情推理． 专题： 推理和证明．
分析： 可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
解答： 解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A．
点评： 本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
15．（5分）数列{an}中，若Sn=nan，a1=，则an=
考点： 数列递推式．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
2
．
分析： 利用an+1=Sn+1﹣Sn，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an．
22
解答： 解：∵Sn=nan，∴Sn+1=（n+1）an+1，
22
两式相减得：an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan， 2
∴nan=n（n+2）an+1，即nan=（n+2）an+1， ∴
=
，即
=
，
∴••…••=••…••，
∴an=
••…•••=
．
，
故答案为：
点评： 本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是2015届高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x，函数
，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内零点的个数
2
有8 个．
考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），可知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2
的函数，进而根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x，函数
2
的图象得到
交点为8个．
解答： 解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数．
2
因为x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x，所以作出它的图象， 利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，可作出y=f（x）在区间[﹣5，5]上的图象，如图所示
再作出函数的图象，
容易得出到交点为8个． 故答案为8．
点评： 本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a；若f（x+a）=
，则周期为2a．
三.解答题
17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣（cos2B，2cos
2
），=
﹣1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
考点： 解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣∴2sinB（2cos
2
），=（cos2B，2cos
2
﹣1）且∥，
﹣1）=﹣cos2B，
cos2B，
∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣∴tan2B=﹣，
又B为锐角，∴2B∈（0，π）， ∴2B=则B=
， ；…（6分）
，b=2，
（Ⅱ）当B=
由余弦定理cosB=当B=
，b=2，
得：a+c﹣ac﹣4=0，
22
由余弦定理cosB=
2
2
得：a+c+ac﹣4=0，
22
又a+c≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立）， ∴S△ABC=acsinB=
ac≤
（当且仅当a=c=2时等号成立），
则S△ABC的最大值为．…（12分）
点评： 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表： 月工资
（单位：百元） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 男员工数 1 8 10 6 4 4 女员工数 4 2 5 4 1 1 （Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）； （Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；
（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．
考点： 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据题意，分析可得各组的频率，计算可得图中各组的纵坐标，即可得频率分布直方图；
（Ⅱ）该单位员工月平均工资为各小矩形的面积与相应的底边中点的横坐标乘积之和；
（Ⅲ）计算从6名女员工中随机抽取2名的抽法种数，再计算这2人月工资差不超过1000元的抽法种数，利用古典概型概率公式计算． 解答： 解：（Ⅰ）如图
（Ⅱ） 20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（百元） 即该单位员工月平均工资估计为4300元．
（Ⅲ）由上表可知：月工资在[25，35）组的有两名女工，分别记作甲和乙； 月工资在[45，55）组的有四名女工，分别记作A，B，C，D． 现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组： （甲，乙），（甲，A），（甲，B），（甲，C），（甲，D）， （乙，A），（乙，B），（乙，C），（乙，D）， （A，B），（A，C），（A，D）， （B，C），（B，D）， （C，D）
其中月工资差不超过1000元， 即为同一组的有（甲，乙），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共7组，
∴所求概率为．
点评： 本题考查频率分布直方图、样本特征数、古典概型，简单题． 19．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°． （1）求证：AC⊥FB
（2）求几何体EF﹣ABCD的体积．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）证明AD⊥FC，然后证明FC⊥平面ABCD，推出AC⊥平面FCB，利用直线与平面垂直的性质定理证明AC⊥FB；
（2）利用几何体的体积V=VE﹣ABCD+VB﹣CEF，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算． 解答： 解：（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D， ∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…2分 ∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC 由DC∩AD=D，∴FC⊥平面ABCD ∴FC⊥AC…4分
又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
222
∴，则有AC+BC=AB ∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB， ∴AC⊥FB…6分
（2）连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，
易见BN⊥平面CDEF，且BN=2．…8分 ∵VEF﹣ABCD=VE﹣ABCD+VB﹣ECF…9分 =
=
…11分 …12分
∴几何体EF﹣ABCD的体积为
点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与直线的垂直，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力． 20．（10分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2． （I）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线AP的倾斜角为
，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径
的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知
，解得即可得出．
（II）以BD为直径的圆与直线PF相切．由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=
﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．直线AP
2
的方程与椭圆的方程联立可得7x+16x+4=0．可得点P的坐标．可得直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d．只要证明d=r． 解答： 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为
（a＞b＞0），F（c，0）．
由题意知，解得．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2． 则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．
2
由得7x+16x+4=0．
设点P的坐标为（x0，y0），则
．
∵点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0． 点E到直线PF的距离d=
=2．
∴d=r．
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（14分）已知f（x）=3x﹣x+m，（x∈R），g（x）=lnx
（1）若函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=x0处的切线平行，求x0的值；
（2）求当曲线y=f（x）与y=g（x）有公共切线时，实数m的取值范围；并求此时函数F（x）=f（x）﹣g（x）在区间
上的最值（用m表示）．
2
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）先求出f（x）和g（x）的导数，根据函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=x0处的切线平行，可知斜率相等，也即f′（x）和g′（x）在x=x0处的值相等，从而求出x0的值，同时注意由于g（x）=lnx，可知x＞0判断x0的取值；
（2）由题知曲线y=f（x）与y=g（x）有公共切线时，说明有公共切点，根据（1）可知切点
横坐标为，可以求出m的范围，已知函数F（x）=f（x）﹣g（x），代入进行求导，令F′（x）=0，求出极值点，判断单调区间，列表求其最值； 解答： 解：（1）∵f′（x）=6x﹣1，由题意知解得，∵x0＞0，∴
或
，即…（4分） …（5分）
…（2分） …（3分）
（2）若曲线y=f（x）与y=g（x）相切且在交点处有公共切线
由（1）得切点横坐标为，…（6分） ∴∴∴
，
，…（8分），
，
则当曲线y=f（x）与y=g（x）有公共切线时，结合图形分析可知， 当
时，f（x）与g（x）有公共切线 …（9分）
∵函数F（x）=f（x）﹣g（x）， ∴F'（x）=f′（x）﹣g′（x）=则F'（x）与F（x）在区间x
F'（x） ﹣
F（x） ↘ …（12分） 又∵∴当x∈
0 + 极小值↗ ，时，
，（
） …（14分）
），
=
=
…（10分）
的变化如下表：
F（x）max=F（1）=m+2，（
点评： 第一问容易出错的是x＞0的隐含条件，许多同学不知道，从而得出两个x0的值；第二问对F（x）正确求导，并求出极值是解题的关键，对这类利用导数求函数最值问题，用列表的方式来求解，不会容易出错，本题难度不大；
四、请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是
2
2
的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD﹣DE=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．
考点： 相似三角形的判定；圆周角定理． 专题： 证明题．
分析： （I）由D是的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，
2
2
进而可得△BCD∽△CED，根据相似三角形性质可得CD=DE×DB，进而得到CD﹣2
DE=AE×EC
（II）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到∠ACD的大小
解答： 解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD， ∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC， ∴△BCD∽△CED， ∴
=
2
，
∴CD=DE×DB，
2
∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE+DE×BE，DE×BE=AE×EC，
22
∴CD﹣DE=AE×EC．…（6分）
（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形， ∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°， ∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）
点评： 本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角定理，其中（1）的关键是证明△BCD∽△CED，（2）的关键是求出△ODC为等边三角形．
23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴．曲线C的极坐标方程为 ρ=4，已知倾斜角为
2
的直线ℓ经过点P（1，1）．
（Ⅰ）写出直线ℓ的参数方程；曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线ℓ与曲线C相交于A，B两点，求
考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．
的值．
分析： （Ⅰ）由已知可得直线l的参数方程为，利用ρ=x+y可得曲线C的
222
方程．
2
2
（Ⅱ）将代入x+y=4，化简整理得：
．可得|PA|×|PB|=|t1|×|t2|，
由于直线l经过圆心，可得|PA|+|PB|=|AB|=4，代入即可得出．
解答： 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为
2
2
，即，
曲线C的方程x+y=4．
2
2
（Ⅱ）将代入x+y=4，化简整理得：．
∴|PA|×|PB|=|t1|×|t2|=|t1×t2|=|﹣2|=2，
∵直线l经过圆心，∴|PA|+|PB|=|AB|=4， ∴
=
．
点评： 本题考查了直线参数方程的应用、直角坐标方程与极坐标方程互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．已知函数f（x）=
+
．
（I）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k﹣2|有解，求实数k的取值范围．
考点： 绝对值不等式的解法；基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： （I）由条件利用基本不等式求得≤4，根据f（x）≤8+8=16，求得（x）
2
的最大值．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k﹣2|有解，则f（x）的最大值大于或等于|k﹣2|，即|k﹣2|≤4，由此求得k的范围． 解答： 解：（I）∵当x=4时，等号成立． 由于f（x）=x+（8﹣x）+2
2
+=8≥2，∴≤4，当且仅
=8+≤8+8=16，当且仅当x=4时，等号成
立，
故f（x）的最大值为 4．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k﹣2|有解，则f（x）的最大值大于或等于|k﹣2|，即|k﹣2|≤4， ∴﹣4≤k﹣2≤4，求得﹣2≤k≤6．
点评： 本题主要考查基本不等式的应用，函数的能成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．
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