期末复习综合测试题(3)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

一．选择题（共8小题）

1．已知全集U为实数集,A{x|x23x0},B{x|x1},则A(UB)( ) A．{x|0x1}

B．{x|0x1}

C．{x|1x3}

D．{x|0x3}

2．设aR,则“(a1)(a1)0”是“a1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 3．若a0,则化简a1得( ) aB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．a B．a C．a D．a 4．若ab,cd,则下列不等式中必然成立的一个是( ) A．adbc

B．acbd

C．dacb

D．

ab cd5．若函数y|xa|与y)

a在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为( x1A．(,0)

B．(1,0)(0,1]

C．(0,1) D．(0,1]

6．Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天）的Logistic模型:I(t)K1e0.23(t52)其中K

为最大确诊病例数．当I(t*)0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为( )(ln193) A．60

B．65

C．66

D．69

7．已知指数函数f(x)的图象经过点(3,0.008),alogf(1)10,b[f（1）]10,c10f(1),则( )

A．cab B．cba C．bac D．abc

8．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0)的图象与直线ya(0aA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( ) A．[6k,6k3],kZ C．[6k,6k3],kZ 二．多选题（共5小题）

9．设集合M{y|yex4},N{x|ylg[(x2)(3x)]},则下列关系正确的是( )

B．[6k3,6k],kZ D．[6k3,6k],kZ

A．RMRN B．NM

aba2b2C．MN

D．RNM

10．已知a0,b0,设M,Nab,则下列说法正确的是( )

a2b2A．M有最小值,最小值为1 B．M有最大值,最大值为2 2 2C．N没有最小值 D．N有最大值,最大值为11．已知函数f(x)sin(3x)(2 222)的图象关于直线x

4

对称,则( )

A．f(0)B．函数f(x)的图象关于(,0)中心对称

12C．函数f(x)在(,)上单调递增

123

D．若|f(x1)f(x2)|2,则|x1x2|的最小值为

 312．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0,且当x0时,f(x)x22x,则可作为方程f(x)f(1x)实根的有( )

13 2A．B．

1 2C．13 2D．33 2三．填空题（共4小题）

13．命题:xR,x2x10的否定是 ．

14．若函数yax23,(a0,a1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为 ;若点P在角的终边上,则

2sin ．

3cossin331cosxsin(x)3cos(x)sinx的图象向左平移个单42634615．已知函数f(x)位长度,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,函数g(x)在区间[,2]上的最大值是 ．

x22x6,x016．已知函数f(x),若函数g(x)f(x)mx2有四个零点,则实数m的

lnx,x0取值范围是 ．

四．参考解答题（共6小题）

17．已知是第四象限角,且tan2,计算:

（1）

5sin()cos()22（2）sin()cos()3cos2．

3sin()2;

18．已知函数f(x)2sinxcosx2sin2x1．

（1）求f()的值及函数的最小正周期;

4（2）求f(x)在区间[2,0]上的最值及对应的x值．

3． 219．已知函数f(x)sinx(cosx3sinx)（1）求f()的值及函数f(x)的单调增区间;

3（2）若x[,],不等式mf(x)m2恒成立,求实数m的取值集合．

12220．已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元,每生产1台还需另投入20万元,设该公司一年内共生产该机器设备x台并全部销售完,每台机器设备销售的收入为R(x)万元,且80040,0x30x． R(x)280x1000,x30x（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台)的函数详细解析式;

（2）当年产量为多少台时,该工厂生产所获得的年利润最大?并求出最大年利润． 21．已知f(x)x2ax3．

1（1）若f(x)0对任意的a[,4]恒成立,求x的取值范围;

21（2）试判断yf(x)在[,4]上的零点个数．

222．已知函数f(x)ln(ex1)x是偶函数（其中e为自然对数的底数,e2.71828)． （1）求的值; （2）若方程f(x)1xb在区间[1,0]上有实数根,求实数b的取值范围． 2

参考正确答案与试题详细解析

一．选择题（共8小题）

1．已知全集U为实数集,A{x|x23x0},B{x|x1},则A(UB)( ) A．{x|0x1}

B．{x|0x1}

C．{x|1x3}

D．{x|0x3}

【详细分析】可求出集合A,然后进行补集和交集的运算即可． 【参考解答】解:UB{x|x1},AA{x|0x3},B{x|x1},

(UB){x|0x1}．

故选:B．

【点评】本题考查了描述法的定义,一元二次不等式的解法,交集和补集的运算,考查了计算能力,属于基础题．

2．设aR,则“(a1)(a1)0”是“a1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【详细分析】解不等式,根据集合的包含关系判断即可． 【参考解答】解:(a1)(a1)0,

1a1,

故(1,1)是(1,)的充分不必要条件, 故选:A．

【点评】本题考查了集合的包含关系,考查充分必要条件,是一道基础题．

3．若a0,则化简a1得( ) aA．a B．a C．a D．a 【详细分析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【参考解答】解:a0,

111a2a2()a． aaaa故选:A．

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质,是基础题． 4．若ab,cd,则下列不等式中必然成立的一个是( ) A．adbc

B．acbd

C．dacb

D．

ab cd【详细分析】根据题意取特殊值即可判断ABD,利用不等式的基本性质即可判断C． 【参考解答】解:根据题意,依次详细分析选项:

对于A,若a4,b2,c2,d1,满足ab,cd,但不满足adbc,A错误, 对于B,若a4,b2,c1,d2,满足ab,cd,但不满足acbd,B错误, 对于C,若ab,则ab,又由cd,则dacb,C正确, 对于D,若a4,b2,c1,d2,满足ab,cd,但不满足

ab,D错误, cd故选:C．

【点评】本题考查了不等式的性质,属于基础题． 5．若函数y|xa|与y)

a在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为( x1A．(,0)

B．(1,0)(0,1]

C．(0,1) D．(0,1]

【详细分析】结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求． 【参考解答】解:因为y|xa|与ya在区间[1,2]上都是严格减函数, x1a1所以,

a0故0a1． 故选:D．

【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的应用,属于基础题．

6．Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天）的Logistic模型:I(t)K1e0.23(t52)其中K

为最大确诊病例数．当I(t*)0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为( )(ln193) A．60

B．65

K1e0.23(t52)K1e0.23(t52)C．66

0.95K,解出t即可．

1, 19D．69

【详细分析】由已知可得方程

【参考解答】解:由已知可得

0.95K,解得e0.23(t52)两边取对数有0.23(t52)ln193, 解得t65, 故选:B．

【点评】本题考查函数模型的实际应用,考查学生计算能力,是基础题．

7．已知指数函数f(x)的图象经过点(3,0.008),alogf(1)10,b[f（1）]10,c10f(1),则( )

A．cab B．cba C．bac D．abc

【详细分析】设f(x)ax,利用待定系数法进行求f(x)的详细解析,然后判断a,b,c的大小

关系．

【参考解答】解:设f(x)ax, f(x)的图象经过点(3,0.008),

f（3）a30.008,则a0.2,即f(x)0.2x．f（1）0.2,

alogf(1)10log0.210log0.210,

0b(0.2)10(0.2)01,c100.21001,

abc,

故选:D．

【点评】本题主要考查指数函数详细解析式和单调性,利用待定系数法求出函数的详细解析式是解决本题的关键,属基础题．

8．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0)的图象与直线ya(0aA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( ) A．[6k,6k3],kZ C．[6k,6k3],kZ

B．[6k3,6k],kZ D．[6k3,6k],kZ

【详细分析】由题意可得,第一个交点与第三个交点的差是一个周期;第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数、的值,进而利用三角函数的单调性求区间．

【参考解答】解:与直线yb(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8

24824),得, 223知函数的周期为T2(再由五点法作图可得

24322,求得2,

函数f(x)Asin(x),

32令2k23x22k3,kz,解得:6k3x6k6,kz, 2即x[6k3,6k](kZ),

故选:D．

【点评】本题主要考查三角函数的单调性的求解,根据条件求出函数的周期是解决本题的关键,属于中档题． 二．多选题（共5小题）

9．设集合M{y|yex4},N{x|ylg[(x2)(3x)]},则下列关系正确的是( )

A．RMRN B．NM C．MN

D．RNM

【详细分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合A,由对数函数的性质即真数大于0,解一元二次不等式得到集合B,判断两个集合的关系,结合选项可得正确正确答案． 【参考解答】解:集合M{y|yex4}{y|y4}(,4),

集合N{x|ylg[(x2)(3x)]}{x|(x2)(3x)0}{x|(x2)(x3)0}(2,3),

NM,即CRMCRN,

故选:AB．

【点评】本题考查了集合间的关系,以及指数函数和对数函数的性质,属于基础题． 10．已知a0,b0,设Maba2b2,Nab,则下列说法正确的是( )

ab22A．M有最小值,最小值为1 B．M有最大值,最大值为2 2 2C．N没有最小值 D．N有最大值,最大值为【详细分析】由已知结合基本不等式及不等式的性质分别求解M,N的取值范围,进而可求判断．

a2b22ab2ab2ab【参考解答】解:M112,当且仅当ab时取等号, 2222abab2ab2故M2,即M的最大值为2,A错误,B正确;

ab1a2b2baab111,则N0N,即N没有最小值,有最大值． 222N故选:BC．

【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的简单应用,解题的关键是不等式性质的熟练应用．

11．已知函数f(x)sin(3x)(2 222)的图象关于直线x4对称,则( )

A．f(0)B．函数f(x)的图象关于(,0)中心对称

12C．函数f(x)在(,)上单调递增

123

D．若|f(x1)f(x2)|2,则|x1x2|的最小值为

 3【详细分析】由题意利用正弦函数的图象和性质,得出结论． 【参考解答】解:函数f(x)sin(3x)(22)的图象关于直线x

4

对称,

342,Z,,函数f(x)sin(3x)． 44故有f(0)2,故A错误; 2令x,求得f(x)0,可得函数f(x)的图象关于(,0)中心对称,故B正确; 12123当x(,),3x(0,),函数f(x)没有单调性,故C错误;

12344若|f(x1)f(x2)|2,则f(x1)和f(x2)中,一个最大,另一个最小, 12|x1x2|的最小值,故D正确,

233故选:BD．

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质,属于中档题．

12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0,且当x0时,f(x)x22x,则可作为方程f(x)f(1x)实根的有( )

13 2A．B．

1 2C．13 2D．33 2【详细分析】由已知求得函数详细解析式,得到f(1x),进一步写出分段函数g(x)f(x)f(1x),求解方程g(x)0得正确答案．

【参考解答】解:f(x)f(x)0,f(x)为定义在R上的奇函数,

当x0时,f(x)x22x,设x0,则x0,

得f(x)x22xf(x),即f(x)x22x．

x22x,x0x21,x1,则f(1x)2, f(x)2x2x,x0x2x,x12x26x3,x1令g(x)f(x)f(1x)2x1,0x1,

2x22x1,x033131或x或x． 222当g(x)0时,解得x故选:ABD．

【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,考查函数与方程思想,考查逻辑思维能力与运算求解能力,是中档题． 三．填空题（共4小题）

13．命题:xR,x2x10的否定是 xR,x2x10 ． 【详细分析】利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可． 【参考解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以xR,x2x10的否定是:xR,x2x10． 故正确答案为:xR,x2x10．

【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系,考查基本知识的应用．

14．若函数yax23,(a0,a1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为 (2,4) ;若点P在角的终边上,则

2sin ．

3cossin【详细分析】令幂指数等于零,求得x、y的值,可得它的图象经过定点的坐标,再根据三角形函数的定义即可求出．

【参考解答】解:对于函数yax23,(a0,a1),令x20,求得x2,y4,可得它的的图象恒过定点P(2,4),

点P在角的终边上, tan42, 2

2sin3cossin231tan23124,

故正确答案为:(2,4),4．

【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,还考查了任意角的三角函数,属于基础题

331cosxsin(x)3cos(x)sinx的图象向左平移个单42634615．已知函数f(x)位长度,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,函数g(x)在区间[,2]上的最大值是 3 ．

【详细分析】由题意利用三角恒等变换化简f(x)的详细解析式,再利用函数yAsin(x)的图象变换规律,得到g(x)的详细解析式,再根据正弦函数的定义域和值域,求得g(x)在区间[,2]上的最大值．

331cosxsin(x)3cos(x)sinx 42634【参考解答】解:函数f(x)3331131cosx(sinxcosx)3(cosxsinx)sinx2sinx, 4222224把f(x)的图象向左平移

个单位长度,得到y2sin(x)的图象, 661然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)2sin(x) 的图象．

26127122当x[,2],x[,时,g(x)取得最大值为2sin],故当x3,

26362633故正确答案为:3．

【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数yAsin(x)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于中档题．

x22x6,x016．已知函数f(x),若函数g(x)f(x)mx2有四个零点,则实数m的

lnx,x0取值范围是 (2,e) ．

【详细分析】对分段函数进行分类讨论,分别研究当x0时,函数f(x)lnx和ymx2的交点个数,然后再研究当x0时,ymx2与yx22x6有两个交点,利用数形结合的方法进行详细分析求解,即可得到正确答案．

【参考解答】解:若函数g(x)f(x)mx2有四个零点,需yf(x)和ymx2有四个交点, 当x0时,作出函数f(x)lnx和ymx2的图象如下图所示,

直线ymx2恒过定点(0,2),

设ymx2于ylnx相切于点(x0,y0),则y0mx02,y0lnx0,

111,所以m,解得x0,me,

x0xe由ylnx,得y即当0me时,函数f(x)lnx与ymx2有两个交点,

当x0时,若ymx2与yx22x6有两个交点,需mxx22x4(x0)有两个不相等的实根, 当x0时,m无解; 当x0时,m2x4, x4有两个交点, x由对勾函数图象可得,当m24,即m2时,ym2与yx故ymx2与yx22x6有两个交点,

综上可得,当2me时,函数g(x)f(x)mx2有四个零点． 故正确答案为:(2,e)．

【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系,涉及了分段函数的应用、对数函数的图象和性质、曲线的切线方程的应用,对于分段函数的问题,解题的方法一般是分类讨论和数形结合

四．参考解答题（共6小题）

17．已知是第四象限角,且tan2,计算:

（1）

5sin()cos()22（2）sin()cos()3cos2．

【详细分析】又已知利用同角三角函数基本关系式化简可得cos,sin的值, （1）利用诱导公式,同角三角函数基本关系式化简即可求解; （2）利用诱导公式化简即可代入求解;

3sin()2;

【参考解答】解:是第四象限角,且tansin2, cos可得sin2cos2(2cos)2cos25cos21,

525,sin, 55可得cos（1）

5sin()cos()22（

3sin()23cos331;

5cossin5tan5(2)2）

2555353()2． 55555sin()cos()3cos2sincos3cos2【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 18．已知函数f(x)2sinxcosx2sin2x1．

（1）求f()的值及函数的最小正周期;

4（2）求f(x)在区间[2,0]上的最值及对应的x值．

【详细分析】（1）利用二倍角公式,两角和的正弦公式化简函数详细解析式可得f(x)2sin(2x),利用特殊角的三角函数值可得解f()的值,利用正弦函数的周期公式

44即可求解f(x)的最小正周期．

34（2）由已知可求范围2x44,利用正弦函数的性质即可求解．

【参考解答】解:（1）因为f(x)2sinxcosx2sin2x1sin2xcos2x2sin(2x),

4所以f()2sin()1,

424f(x)的最小正周期为T22． ||23（2）因为x[,0],可得242], 所以sin(2x)[1,242x44,

当2x42,即x3时,f(x)取得最小值为2, 8当2x44,即x0时,f(x)取得最大值为1．

【点评】本题主要考查了二倍角公式,两角和的正弦公式,特殊角的三角函数值,以及正弦函数的性质,考查了函数思想,属于基础题．

3． 219．已知函数f(x)sinx(cosx3sinx)（1）求f()的值及函数f(x)的单调增区间;

3（2）若x[,],不等式mf(x)m2恒成立,求实数m的取值集合．

122【详细分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数详细解析式,代入计算可求f()的

3值,结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间;

（2）求出f(x)在[,]上的值域,根据题意列出不等式组即可解出m的范围．

122【

参

考

解

答

】

解

:

（

1

）

f(x)sinx(cosx3sinx)3311cos2x3sinxcosx3sin2xsin2x3sin(2x)222223,

3f()sin(2)sin,

33332令222x322,解得12x5,Z． 12f(x)的单调递增区间是[12,

5],Z． 12（2）

2], x[,],可得2x[,

122363当2x32时,f(x)取得最大值1,当2x31时,f(x)取得最小值． 6211mmf(x)m2恒成立,2,解得1m．

2m211实数m的取值范围是(,1)．

2【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,三角函数的单调性,三角函数的值域,考查了转化思想和函数思想,属于中档题．

20．已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元,每生产1台还需另投入20万元,设该公司一年内共生产该机器设备x台并全部销售完,每台机器设备销售的收入为R(x)万元,且80040,0x30x． R(x)280x1000,x30x（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台)的函数详细解析式;

（2）当年产量为多少台时,该工厂生产所获得的年利润最大?并求出最大年利润． 【详细分析】（1）由yxR(x)(20x200)分段写出函数详细解析式;

（2）分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值,取最大值中的最大者得结论． 【参考解答】解:（1）当0x30时,yxR(x)(20x200)20x600;

当x30时,yxR(x)(20x200)20x280x800．

20x600,0x30y;

20x280x800,x30（2）①当0x30时,y20x600在(0,30]上为增函数,

当x30时,ymax1200（万元）;

②当x30时,y20x280x800,

令xt(t30),y20(t7)21780,

． 当t7,即x49时,ymax1780（万元）

综上,当年产量为49台时,获得的年利润最大,最大为1780万元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用,训练了利用换元法及配方法求最值,考查运算求解能力,是中档题．

21．已知f(x)x2ax3．

1（1）若f(x)0对任意的a[,4]恒成立,求x的取值范围;

21（2）试判断yf(x)在[,4]上的零点个数．

2【详细分析】（1）将a看成自变量,得到关于a为自变量的一次函数,根据一次函数在指定区间的端点处取得最小值,由此构造出关于x的不等式组,求解即可;

（2）分离参数,利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况,据此构造出a的不等式组,求解．

1【参考解答】解:（1）原函数式可化为g（a）xax23,a[,2]．

2121xRg()0xx30由题意可得2,即,解得, 2x3,或x12g(4)0x4x30故x的取值范围是{x|x3,或x1}．

1（2）令f(x)0得x2ax30,因为x[,4],

2故ax3131,x[,4],令h(x)x,x[,4], x2x21由对勾函数的性质可知,函数h(x)在[,3]上单调递减,在(3,4]上单调递增,

211319且h(3)23,h(),h（4）．

2241913故当a(,]{3}时,函数f(x)只有一个零点;

42当a(3,19]时,原函数有两个零点; 413时,原函数没有零点． 2当a3或a【点评】本题考查函数思想在解决不等式恒成立、方程的根与函数的零点问题中的应用．属于中档题．

22．已知函数f(x)ln(ex1)x是偶函数（其中e为自然对数的底数,e2.71828)． （1）求的值; （2）若方程f(x)1xb在区间[1,0]上有实数根,求实数b的取值范围． 2【详细分析】（1）利用偶函数的定义,求出的值;

（2）分离参数b,然后构造函数并结合单调性求出新函数的值域,则b的范围可求． 【参考解答】解:（1）由f(x)是偶函数得:

f(x)f(x)ln(ex1)xln(ex1)(x)

ex1ex1lnx2xln2xlnex2x x1ee1ex1(21)x0恒成立,故210,即．

21（2）由（1）知f(x)ln(ex1)x．

2由f(x)1xb得bln(ex1)x,x[1,0]． 21),x[1,0]． ex令g(x)ln(ex1)xln(1当x[1,0]时,1111e],,故[2ln(1)[ln2,ln(1e)]．

exex故b[ln2,ln(1e)]时,方程f(x)1xb在区间[1,0]上有实数根． 2即b的取值范围是[ln2,ln(1e)]．

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断,函数的零点与函数值域间的关系．属于中档题．