一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）如果分式A．x＝﹣3
有意义，则x的取值范围是（ ） B．x＞﹣3
C．x≠﹣3
D．x＜﹣3
2．（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ） A．a+6＞b+6
B．a﹣2＞b﹣2
C．﹣2a＞﹣2b
D．
4．（3分）将点A（1，﹣1）向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（ ） A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（2，1）
D．（2，﹣1）
5．（3分）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．10
6．（3分）下列多项式中，可以提取公因式的是（ ） A．ab+cd
B．mn+m2
C．x2﹣y2
D．x2+2xy+y2
7．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16
1 / 29
B．14 C．26 D．24
8．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形 B．三角形中，到三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点 C．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于
AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC＝3，BC＝4，则BE等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）某次知识竞赛共有30道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（ ）
A．5x﹣3（30﹣x）＞70 C．5x﹣3（30+x）≥70
2 / 29
B．5x+3（30﹣x）≤70 D．5x+3（30﹣x）＞70
11．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（ ）
A．x＞2 C．0＜x＜2
B．﹣0.5＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
12．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠A＝∠C＝60°，连接BD，将△BCD绕点B旋转，当BD（即BD′）与AD交于一点E，BC（即BC′）同时与CD交于一点F时，下列结论正确的是（ ）
①AE＝DF；②∠BEF＝60°；③∠DEB＝∠DFB；④△DEF的周长的最小值是4+2
A．①②
B．②③
C．①②④
D．①②③④
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）因式分解：3a2﹣27＝ ． 14．（3分）已知
＝，则+＝ ．
15．（3分）请观察一列分式：﹣，，﹣，
，…则第11个分式为 ．
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16．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，∠DAE＝90°，AD＝AE＝6，连接BD、CD、CE，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN的面积最大值为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题6分、第18题7分、19题题6分，第20、21、22题每题8分，第23题9分，共52分）
17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
18．（7分）先化简，再求值：（
+
）÷
，其中m＝4．
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（6分）解方程：19．
＝2﹣
20．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
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21．（8分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，E、H分别为边BA和边BC延长线上的点，连接EH交AD、CD于点F、G，且EH∥AC． （1）求证：EG＝FH；
（2）若△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝90°，F是AD的中点，AD＝6，连接BF，求BF的长．
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22．（8分）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的．
（1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？
（2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？
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23．（9分）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD＝2，OC＝6，∠A＝60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为 ； （3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM＝CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．
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2018-2019学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）如果分式A．x＝﹣3
有意义，则x的取值范围是（ ） B．x＞﹣3
C．x≠﹣3
D．x＜﹣3
【分析】根据分母不能为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x+3≠0， 解得x≠﹣3， 故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
2．（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误； B、是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
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故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ） A．a+6＞b+6
B．a﹣2＞b﹣2
C．﹣2a＞﹣2b
D．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都加6，不等号的方向不变，故A正确； B、两边都减2，不等号的方向不变，故B正确； C、两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故C错误； D、两边都除以3，不等号的方向不变，故D正确； 故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
4．（3分）将点A（1，﹣1）向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（ ） A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（2，1）
D．（2，﹣1）
【分析】让A点的横坐标减3，纵坐标加2即为点B的坐标．
【解答】解：由题中平移规律可知：点B的横坐标为1﹣3＝﹣2；纵坐标为﹣1+2＝1， ∴点B的坐标是（﹣2，1）． 故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变
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化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． 5．（3分）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．10
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180＝1080， 解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8． 故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．（3分）下列多项式中，可以提取公因式的是（ ） A．ab+cd
B．mn+m2
C．x2﹣y2
D．x2+2xy+y2
【分析】直接利用提取公因式法分解因式的步骤分析得出答案． 【解答】解：A、ab+cd，没有公因式，故此选项错误； B、mn+m2＝m（n+m），故此选项正确； C、x2﹣y2，没有公因式，故此选项错误； D、x2+2xy+y2，没有公因式，故此选项错误； 故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
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7．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16
B．14
C．26
D．24
【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案． 【解答】解：∵在▱ABCD中，AD＝8， ∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝5，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝26． 故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CED是等腰三角形是解此题的关键． 8．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形 B．三角形中，到三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点 C．.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
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D．.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据多边形对角线的定义对A进行判断；根据三角形外心的性质对B进行判断；根据三角形中线定义和三角形面积公式对C进行判断；根据平行四边形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形，所以A选项为真命题；
B、三角形中，到三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点，所以B选项为真命题；
C、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以C选项为真命题； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以D选项为假命题． 故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于
AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC＝3，BC＝4，则BE等于（ ）
A．
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B．
C．
D．
【分析】连接AE，根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据勾股定理求出AE即可． 【解答】解：连接AE， ∵∠ACB＝90°， ∴AB＝
＝5，
由题意得，MN是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，
在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即AE2＝32+（4﹣AE）2， 解得，AE＝
，
∴BE＝AE＝
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）某次知识竞赛共有30道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（ ）
A．5x﹣3（30﹣x）＞70 C．5x﹣3（30+x）≥70
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B．5x+3（30﹣x）≤70 D．5x+3（30﹣x）＞70
【分析】小明答对题的得分：5x；小明答错题的得分：﹣3（30﹣x）．不等关系：小明得分要超过70分． 【解答】解：根据题意，得 5x﹣3（30﹣x）＞70． 故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
11．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（ ）
A．x＞2 C．0＜x＜2
B．﹣0.5＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0）， ∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣0.5或x＞2， 故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
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12．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠A＝∠C＝60°，连接BD，将△BCD绕点B旋转，当BD（即BD′）与AD交于一点E，BC（即BC′）同时与CD交于一点F时，下列结论正确的是（ ）
①AE＝DF；②∠BEF＝60°；③∠DEB＝∠DFB；④△DEF的周长的最小值是4+2
A．①②
B．②③
C．①②④
D．①②③④
【分析】根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AD+EF＝4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠A＝∠C＝60° ∴△ABD，△BCD为等边三角形， ∴∠A＝∠BDC＝60°
∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置 ∴∠ABD'＝∠DBC'，且AB＝BD，∠A＝∠DBC' ∴△ABE≌△BFD
∴AE＝DF，BE＝BF，∠AEB＝∠BFD ∴∠BED+∠BFD＝180° 故①正确，③错误
∵∠ABD＝60°，∠ABE＝∠DBF
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∴∠EBF＝60° 故②正确
∵△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AD+EF＝4+EF ∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小． ∵∠EBF＝60°，BE＝BF， ∴△BEF是等边三角形 ∴EF＝BE
∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小 ∵AB＝4，∠A＝60°，BE⊥AD ∴EB＝2
∴△DEF的周长最小值为4+2故④正确， 故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）因式分解：3a2﹣27＝ 3（a+3）（a﹣3） ．
【分析】直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：3a2﹣27＝3（a2﹣9） ＝3（a+3）（a﹣3）． 故答案为：3（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式
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是解题关键． 14．（3分）已知
＝，则+＝
．
【分析】根据
＝设xy＝3k，x+y＝5k，通分后代入求出即可．
【解答】解：∵
＝，
∴设xy＝3k，x+y＝5k， ∴+＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减，能够整体代入是解此题的关键． 15．（3分）请观察一列分式：﹣
，
，﹣
，
，…则第11个分式为 ﹣
．
【分析】分母中y的次数是分式的序次的2倍加1，分子中x的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为负，分式的序次为偶数时，分式的符合为正，由此即可解决问题
【解答】解：根据规律可知：则第11个分式为﹣
．
故答案为﹣
．
【点评】此题考查了分式的定义：叫分式，其中A、B都是整式，并且B中含有字母．也
考查了从特殊到一般的规律的探究．
16．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，∠DAE＝90°，AD＝AE＝6，连接BD、CD、CE，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN的面积最大值为 32 ．
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【分析】由题意可证△ADB≌△EAC，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，由三角形中位线定理可证△MPN是等腰直角三角形，则S△PMN＝PN2＝BD2．可得BD最大时，△PMN
的面积最大，由等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，可得D是以A为圆心，AD＝6为半径的圆上一点，可求BD最大值，即可求△PMN的面积最大值． 【解答】解∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形 ∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90° ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC ∴∠BAD＝∠CAE且AB＝AC，AD＝AE ∴△ADB≌△AEC
∴DB＝EC，∠ABD＝∠ACE
∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点 ∴MP∥EC，MP＝EC，NP＝DB，NP∥BD ∴MP＝NP，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC 设∠ACE＝x°，∠ACD＝y°
∴∠ABD＝x°，∠DBC＝45°﹣x°＝∠PNC，∠DCB＝45°﹣y° ∴∠DPM＝x°+y°，∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝90°﹣x°﹣y° ∴∠MPN＝90°且PN＝PM ∴△PMN是等腰直角三角形．
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∴S△PMN＝PN2＝BD2．
∴当BD最大时，△PMN的面积最大． ∵D是以A点为圆心，AD＝6为半径的圆上一点 ∴A，B，D共线且D在BA的延长线时，BD最大 此时BD＝AB+AD＝16 ∴，△PMN的面积最大值为32 故答案为32
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题6分、第18题7分、19题题6分，第20、21、22题每题8分，第23题9分，共52分）
17．（6分）解不等式组
，并写出它的整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，从而得出答案． 【解答】解：解不等式x+4＞1﹣x，得：x＞﹣，
解不等式x≤（x+1），得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣＜x≤2， 所以不等式组的整数解为﹣1、0、1、2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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18．（7分）先化简，再求值：（+）÷
，其中m＝4．
【分析】先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝[
+
]÷
＝•
＝
，
当m＝4时， 原式＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
19．（6分）解方程：
＝2﹣
【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：分式方程整理得：
＝2+
，
去分母得：3x＝6﹣2x+3， 解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 20．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
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（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点得到△A1B1C1；
（2）根据△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，得到点A2、B2、C2的位置，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣3，3）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，﹣3）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换依据平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的
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线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．（8分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，E、H分别为边BA和边BC延长线上的点，连接EH交AD、CD于点F、G，且EH∥AC． （1）求证：EG＝FH；
（2）若△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝90°，F是AD的中点，AD＝6，连接BF，求BF的长．
【分析】（1）只要证明四边形ACHF是平行四边形，四边形ACGE是平行四边形，可得AC＝HF＝EG，即可推出EF＝GH．
（2）首先证明∠BCF＝90°，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵AC∥EH，
∴四边形ACHF是平行四边形，四边形ACGE是平行四边形， ∴AC＝HF，AC＝EG， ∴FH＝EG， ∴EG＝FH．
（2）解：连接CF．
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∵CA＝CD，∠ACD＝90°，AF＝DF， ∴CF⊥AD， ∵AD∥BC， ∴CF⊥BC， ∴∠BCF＝90°，
∵BC＝AD＝6，CF＝AD＝3， ∴BF＝
＝3
．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． （1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？
（2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？
【分析】（1）设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米，然后依据甲工
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程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的列方程求解
即可；
（2）设甲队改造a米，则乙队改造（24﹣a）米，然后依据两个工程队施工的总费用不超过7万元列不等式求得a的范围，从而可求得甲工程队至多施工的天数． 【解答】解：（1）设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米． 根据题意得：
＝
×，
解得：x＝2.4．
经检验，x＝2.4是原方程的解． 2.4﹣0.4＝2．
答：甲队每天修2.4千米，乙队每天修2千米． （2）设甲队改造a米，则乙队改造（24﹣a）米． 根据题意得
×0.8+
×0.5≤7，
解得：a≤12．
＝5，
答：甲工程队至多施工5天．
【点评】本题主要考查的是分式方程、一元一次不等式的应用，依据题意列出方程或不等式是解题的关键．
23．（9分）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD＝2，OC＝6，∠A＝60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x
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轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为 （﹣2，2） ，点B的坐标为 （4，2） ； ） ；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为 （2，（3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM＝CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP＝EM，因为PM是定值，推出PB+ME′＝OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小； （3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A＝60°，AD＝2， ∴OD＝2•tan60°＝2
，
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∴A（﹣2，2
），
∵四边形ABCO是平行四边形， ∴AB＝OC＝6， ∴DB＝6﹣2＝4， ∴B（4，2
）
（2）如图1中，连接OP． ∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC， ∴∠PEO＝∠EOM＝∠PMO＝90°， ∴四边形OMPE是矩形， ∴PM＝OE＝∵OE＝OE′，
∴PM＝OE′，PM∥OE′， ∴四边形OPME′是平行四边形， ∴OP＝EM， ∵PM是定值，
∴PB+ME′＝OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小， ∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小， ∵直线OB的解析式为y＝
x，
，
∴P（2，
）．
）
故答案为（2，
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（3）如图2中，当PM＝PN＝
时，
∵△MNC是等边三角形， ∴∠CMN＝∠CNM＝60°， ∵PM⊥OC，
∴∠PMN＝∠PNM＝30°， ∴∠PNF＝30°+60°＝90°， ∵∠PFN＝∠BCO＝60°， ∴PF＝PN÷cos30°＝2， ∵EF＝
＝5，
∴PE＝5﹣2＝3．
如图3中，当PM＝MN时，
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∵PM＝MN＝CM＝∴EP＝OM＝6﹣
， ．
如图4中，当点P与F重合时，NP＝NM，此时PE＝EF＝5．
综上所述，满足条件的EP的值为3或6﹣
或5．
【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
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