数列等差数列综合练习

数列等差数列综合练习

数列等差数列综合练习

一．选择题（共7小题） 1．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ ） A． 1 2 B． 16 C． 20 D． 24 2．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ） A． 5 8 B． 88 C． 143 D． 176

3．（2011•江西）设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（ ） A． 1 8 B． 20 C． 22 D． 24 4．（2009•宁夏）等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（ ） A． 7 B． 8 C． 15 D． 16

5．（2004•福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 A． 1

B． ﹣1

C． 2

=（ ）

D．

6．（2003•北京）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 7．（2002•北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A． 1 3项 B． 12项 C． 11项 D． 10项

二．填空题（共9小题）

8．（2012•江西）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= _________ ． 9．（2011•重庆）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8= _________ ． 10．（2008•海南）已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5= _________ ． 11．（2003•上海）在等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，则a4+a5+…+a10= _________ ．

12．已知等差数列{an}中，a2=5，a4=11，则前10项和S10= _________ ．

13．已知等差数列{an}前17项和S17=51，则a7+a11= _________ ．

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m= _________ ．

15．在等差数列{an} 中，Sn是它的前n项的和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当n= _________ 时，Sn最大． 16．若两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为sn，sn′，且

，则

的值为 _________ ．

三．解答题（共4小题）

17．（2012•湛江）已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn=5n2+3n；（2）Sn=3n﹣2． 18．（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12． （Ⅰ）求{an}的通项公式

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值． 19．（2012•湖北）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8． （1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

20．84已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n． （Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列，并求出an； （Ⅱ）设bn=（2﹣n）（an﹣2），求{bn}的最大项．

数列等差数列综合练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题） 1．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ ） A． 1 2 B． 16 C． 20 D． 24

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果 解答： 解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，

故选B

点评： 本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题 2．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ） A． 5 8 B． 88 C． 143 D． 176

考点： 等差数列的性质；等差数列的前n项和。 专题： 计算题。 分析：

根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=

解答：

解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11=

运算求得结果．

=88，

故选B．

点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题． 3．（2011•江西）设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（ ） A． 1 8 B． 20 C． 22 D． 24

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用

首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．

解答： 解：由s10=s11，

得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11 即a11=0，

所以a1﹣2（11﹣1）=0， 解得a1=20． 故选B

点评： 此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题． 4．（2009•宁夏）等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（ ） A． 7 B． 8 C． 15 D． 16

考点： 等差数列的性质；等比数列的前n项和。 专题： 计算题。

分析： 先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q

表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．

解答： 解：∵4a1，2a2，a3成等差数列

∴，

∴∴q=2 ∴S4=

，即

==15

故选C

点评： 本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．

5．（2004•福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 A． 1

B． ﹣1

C． 2

=（ ）

D．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题． 解答： 解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得

a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，

∴====1，

故选A．

点评： 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）an．

6．（2003•北京）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．

法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．

解答： 解：法一：

∵{an}为等差数列，

设首项为a1，公差为d，

由已知有5a1+10d=20， ∴a1+2d=4， 即a3=4． 故选A． 法二

在等差数列中， ∵a1+a5=a2+a4=2a3，

∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20， ∴a3=4． 故选A．

点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 7．（2002•北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A． 1 3项 B． 12项 C． 11项 D． 10项

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 先根据题意求出a1+an的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n． 解答： 解：依题意a1+a2+a3=34，an+an﹣1+an﹣2=146

∴a1+a2+a3+an+an﹣1+an﹣2=34+146=180 又∵a1+an=a2+an﹣1=a3+++an﹣2∴a1+an=

=60

∴Sn=∴n=13 故选A

点评：

==390

本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═个公式的灵活运用．

和Sn=a1•n+这两

二．填空题（共9小题） 8．（2012•江西）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= 35 ．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 根据等差数列的通项公式，可设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公差为d2，根据a1+b1=7，a3+b3=21，可

得2（d1+d2）=21﹣7=14．最后可得a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=2+14=35．

解答： 解：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，

∴设数列{an}的公差为d1，设数列{bn}的公差为d2， ∴a3+b3=a1+b1+2（d1+d2）=21，

而a1+b1=7，可得2（d1+d2）=21﹣7=14． ∴a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35 故答案为：35

点评： 本题给出两个等差数列首项之和与第三项之和，欲求它们的第五项之和，着重考查了等差数列的概念与通

项公式和等差数列的性质，属于基础题．

9．（2011•重庆）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8= 74 ．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的

和等于第二项与第八项的和，得到结果．

解答： 解：等差数列{an}中，a3+a7=37，

∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37 ∴a2+a4+a6+a8=37+37=74， 故答案为：74

点评： 本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误

是一个送分题目．

10．（2008•海南）已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5= 15 ．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 根据等差中项的性质可知a3+a8=a5+a6，把a3+a8=22，a6=7代入即可求得a5． 解答： 解：∵{an}为等差数列，

∴a3+a8=a5+a6∴a5=a3+a8﹣a6=22﹣7=15

点评： 本题主要考查了等差数列有关性质及应用．等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容，要予以

重点掌握并灵活应用．

11．（2003•上海）在等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，则a4+a5+…+a10= ﹣49 ．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 先根据a5=3，a6=﹣2，进而根据等差数列的求和公式根据a4+a5+…+a10=S10﹣S3求得答案． 解答：

解：由题意知，解得a1=23，d=﹣5

∴a4+a5+…+a10=S10﹣S3=

﹣=﹣49

故答案为﹣49

点评： 本题主要考查了等差数列的性质．要熟练记忆等差数列的通项公式和求和公式．

12．已知等差数列{an}中，a2=5，a4=11，则前10项和S10= 155 ．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 根据已知等差数列{an}中，a2=5，a4=11，我们易构造出基本项（首项与公差）的方程组，解方程组后，即

可得到首项与公差，代入前n项和公式，即可得到答案．

解答： 解：∵等差数列{an}中，a2=5，a4=11，

a1+d=5，a1+3d=11， 解得a1=2，d=3，

则S10=2×10+

=155

故答案为：155

点评： 本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据已知构造出基本项（首项与公差）的方程组，是解答本题

的关键．

13．已知等差数列{an}前17项和S17=51，则a7+a11= 6 ．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 先根据S17=51求出2a1+16d的值，再把2a1+16d代入a7+a11即可得到答案． 解答：

解：∵S17===51

∴2a1+16d=6

∴a7+a11=a1+6d+a1+10d=2a1+16d=6 故答案为6

点评： 本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式．由于公式较多，应注意平时多积累．

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m= 20 ．

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。

分析： 利用等差数列的性质am﹣1+am+1=2am，根据已知中am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0，我们易求出am的值，再根据am

为等差数列{an}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．

解答： 解：∵数列{an}为等差数列

则am﹣1+am+1=2am

则am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0可化为 2am﹣am2﹣1=0

解得：am=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）am=39 则m=20

故答案为：20

点评： 本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，是解答

本题的关键．

15．在等差数列{an} 中，Sn是它的前n项的和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当n= 8 时，Sn最大．

考点： 等差数列的性质；数列的函数特性。 专题： 计算题。

分析： 根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第九项小于0，第八项和第

九项的和大于0，得到第八项大于0，这样前8项的和最大．

解答： 解：∵等差数列{an}中，S16＞0且S17＜0

∴a8+a9＞0，并且a9＜0， ∴a8＞0，

∴数列的前8项和最大 故答案为8．

点评： 本题考查等差数列的性质和前n项和，本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负，本题是一个基础题．

16．若两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为sn，sn′，且

考点： 等差数列的性质。 专题： 计算题。 分析：

利用等差数列的性质，把要求的式子变形为

，则的值为 ．

，把 n=8代入运算可得结果．

解答：

解：则

=

=

=

=

=

=

．

故答案为 ．

点评： 本题考查等差数列的性质，式子的变形是解题的关键．

三．解答题（共4小题） 17．（2012•湛江）已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn=5n2+3n；（2）Sn=3n﹣2．

考点： 数列递推式。

分析： 先利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），再求出a1，即可得到数列的通项． 解答： 解：（1）n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（5n2+3n）﹣[（5（n﹣1）2+3（n﹣1）]=10n﹣2

n=1时，a1=S1=8也满足上式 ∴an=10n﹣2；

（2）n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n﹣2）﹣（3n1﹣2）=2•3n1 n=1时，a1=S1=1不满足上式

﹣

﹣

∴

点评： 本题考查数列通项的求解，解题的关键是先求出a1，再利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），属于中档题． 18．（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12． （Ⅰ）求{an}的通项公式

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．

考点： 等比数列的性质；等差数列的通项公式。 专题： 计算题。 分析：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{an}的通项

公式．

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn =的值．

=n（n+1），再由

=a1 Sk+2 ，求得正整数k

解答：

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得∴{an}的通项公式 an =2+（n﹣1）2=2n． （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn =∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴

=a1 Sk+2 ，

=n（n+1）．

，解得 a1=2，d=2．

∴4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故 k=6．

点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．

19．（2012•湖北）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8． （1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质。 专题： 计算题。 分析：

（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，

，解方程可求a1，d，进而可求

通项

（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n﹣7，则|an|=|3n﹣7|=根据等差数列的求和公式可求

解答： 解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d

由题意可得，

，

解得或

由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7 （II）当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比

当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件 故|an|=|3n﹣7|=

设数列{|an|}的前n项和为Sn

当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5

当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7） =5+

=

，当n=2时，满足此式

综上可得

点评： 本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用

及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用

20．84已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n． （Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列，并求出an； （Ⅱ）设bn=（2﹣n）（an﹣2），求{bn}的最大项．

考点： 等比关系的确定。

专题： 综合题；转化思想；综合法。

分析： （Ⅰ）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证．

（Ⅱ）求出bn=（2﹣n）（an﹣2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项．

解答： 解：（Ⅰ）证明：由a1+s1=2a1=2得a1=1；

由an+Sn=2n得

an+1+Sn+1=2（n+1）

两式相减得2an+1﹣an=2，即2an+1﹣4=an﹣2，即an+1﹣2=（an﹣2） 是首项为a1﹣2=﹣1，公比为的等比数列．故an﹣2=﹣（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

，故an=2﹣

，．

由

由bn+1﹣bn＜0得n＞3，所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn 故bn的最大项为

．

点评： 本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答

题者有较好的观察能力及转化化归的能力．