高中数学方法讲解之反证法

从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证

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明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

例1.[05.北京]设f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x'(0,1),使得

f(x)在[0,x']上单调递增，在[x',1]上单调递减，则称f(x)为[0,1]上的单

峰函数，x'为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。

对任意的[0,1]上单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的x1,x2(0,1),x1x2,若f(x1)f(x2)，则(0,x2)为含

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峰区间；若f(x1)f(x2),则(x1,1)为含峰区间；

【巧证】：设x'为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知,f(x)在[0,x']上单调递增，

在[x',1]上单调递减。

当f(x1)f(x2)时，假设x'(0,x2)，则x1x2x',从而

f(x')f(x2)f(x1),

这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x'(0,x2)，即(0,x2)是含峰区间。 当f(x1)f(x2)时，假设x'(x1,1)，则x'x1x2，从而

f(x')f(x1)f(x2),

这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x'(x1,1)，即(x1,1)是含峰区间。 例2. 求证：函数f(x)=sinx的最小正周期是2π． 【巧证】：由诱导公式知，对任意x∈R，有

sin(x＋2π)=sinx，

即2π是函数sinx的一个周期．下面再用反证法证明2π是sinx的最小正周期，

假设还有一个正数T也是sinx的周期，且0＜T＜2π，则对任意x∈R都有

sin(x＋T)=sinx．

特别地，对x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2π)中，只有T=π才使sinT=0，但π不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2π．

注：若直接证明比较困难，因适合0＜T＜2π的正数有无

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穷多个，我们无法直接验证．当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式，从而推得矛盾，反证原命题．

1x1＋y例3 若x、y都是正数，且x＋y＞2，求证：＜2和＜2中至yx少有一个成立．1＋x1＋y1＋x1＋y证明：如果＜2和＜2都不成立，则有≥2和≥2yxyx同时成立，因为x、y均为正数，故必有

1＋x≥2y，且1＋y≥2x． 两式相加，得2＋(x＋y)≥2(x＋y)， 即2≥x＋y，这与已知矛盾，故

1＋x1＋y＜2和＜2中至少有一个成立．yx

注：“集合M中至少有一个元素m不具有性质a”的否定是“集合M中所有元素都具有性质a”．反之亦对．因为“集合M中至少有一个元素不具有性质a”，它包含了“M中有一个元素不具有性质a、两个元素不具有性质a……所有元素都不具有性质a”等各种情形．因此它的否定是“M中所有元素都具有性质a”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有内角都小于60°”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a、b都不是零”的否定是“a，b中至少有一个是零”．

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例4 在已知锐角△ABC中，A＞B＞C，求证：sinA＞23，且sinC＜．22证明：结论的否定是sinA≤3，sinB＞2

323，或sinB≤，或sinC≥．222

3若sinA≤，因△ABC是锐角三角形，2

∴C＜B＜A≤60°．

∴A＋B＋C＜180°，这不可能．

3∴sinA＞．2 同理可证sinB＞23，sinC＜．22

3注：这里最容易出现的错误是把对结论的否定说成“若sinA≤，2 sinB≤23，sinC≥”．注意“且”的否定是“或”．例如“x∈A22

或x∈B，即x∈A∪B”的否定是“xA∪B，即xA且xB”．

例5. [88.全国理]给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝

1ax1 (其ax1中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。。

【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。

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【巧证】： ① 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2,

假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1＝y2，即理得a(x1－x2)＝x1－x2

∵x1≠x2 ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴。 ② 由y＝

y1， ay1x11x1＝2，整ax11ax21x1得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝ax1即原函数y＝

x1x1的反函数为y＝，图像一致。 ax1ax1由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝

x1的图像关于直线y＝x成轴对称图像。 ax1【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。

例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

【巧证】：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0

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同理可证：b > 0, c > 0

例7. 求证：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．

【巧证】：如图1-8-6，设平面α∥β．直线AB∩α=A，下面用反证法证明AB与β相交．

假设AB与β不相交，则必须考虑两种情形：

(1)若AB∥β，过AB作平面γ，使β∩γ=CD，则AB∥CD．∵AB∩α=A，∴A∈α，且A∈γ，设α∩γ=AB'．

又α∥β，∴AB'∥CD，于是在平面γ内过A点有两条直线AB与AB'分别平行于直线CD，这和平行公理矛盾．∴AB不能平行于平面β．

(2)若ABβ，∵AB∩α=A，则A∈α，且A∈β，于是α与β

相交于过点A的一条直线，但与已知α∥β矛盾，∴AB不在β内．

由(1)、(2)可知，直线AB与平面β相交．

注：用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可，这种反证法又叫归谬法；如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法．

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巧练一：

1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根

2. 已知a<0,－1ab> ab2 B. ab2>ab>a C. ab>a> ab2 D. ab> ab2>a

3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。 A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交

C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交 4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理)

A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 十三、反证法

巧练一：【巧解】：1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；

2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

44小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C10－C46×4－3－6,

选D。

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巧练二：设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于

巧练二：【巧证】：设(1  a)b >, (1  b)c >, (1  c)a >,

则三式相乘：ab < (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a <

1 ① 214141414(1a)a1又∵0 < a, b, c < 1 ∴0(1a)a 24同理：(1b)b, (1c)c

以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤①矛盾

∴原式成立

巧练三：若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0， x2＋(a－1)x＋a2＝0, x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。 巧练三：【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。

【巧解】： 设三个方程均无实根，则有：

13a22△116a24(4a3)03122,解得a1或a,即－第 9 页 共 10 页

32面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。

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