22二次根式

第22章 二次根式 ................................................................................... 2 §22.1 二次根式 ............................................................................. 3 阅读材料 ........................................................................................ 5 §22.2 二次根式的乘除法 ................................................................ 5 1．二次根式的乘法 ...................................................................... 5 2．积的算术平方根 ...................................................................... 6 3．二次根式的除法 ...................................................................... 7 §22.3 二次根式的加减法 ................................................................... 9 小结 ..................................................................................................... 12 复习题 ................................................................................................. 12

第22章 二次根式

人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是

gR，

其中g为重力加速度，R为地球半径．

§22.1 二次根式

在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号a．

回顾

当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根． 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a是负数时，a没有意义．

概括

a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a．即有： （1）a≥0（a≥0）； （2）(a)2=a（a≥0）．

形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意 在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．

例 分析 解 x是怎样的实数时，二次根式x1有意义？

要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 被开方数x-1≥0，即x≥1． 所以，当x≥1时，二次根式x1有意义．

思考 a2等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，„„分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

22=4=2； (2)2=4=2； 32=9=3； (3)2=9=3；

„„

概括

当a≥0时，a2a； 当a＜0时，a2a．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：

4x2(2x)2=2x（x≥0）；

x4(x2)2x2．

练习

1．计算：

（1）(8)2；（2）(9)2；（3）81；（4）100． 2．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）x3；（2）2x5；（3）

51；（4）． 1xx3．(a)2与a2是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流．

习题22.1 1．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）x1；（2）3x2；（3）2．计算： （1）(7)2；（2）(31；（4）． 2x132x224（3）；（4）9a4． )；3923．已知2＜x＜3，化简：(x2)x3． 4．边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可3以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．

（第4题）

阅读材料

蚂蚁和大象一样重吗

同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！

我们这里谈论的话题是： 蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却会让你大吃一惊： 蚂蚁和大象一样重！

设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，即

x+y=2a．

两边同乘以（x-y），得

(x+y)(x-y)=2a(x-y)． 即

2

x2y22ax2ay． x22axy22ay． (xa)2(ya)2． (xa)2(ya)2， 可变形为

两边都加上a，得 于是 可得 所以 xaya， xy．

这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？ §22.2 二次根式的乘除法

1．二次根式的乘法 计算： （1）425与425； （2）169与169． 思考 对于23与23呢？ 从计算的结果我们发现，

23=23

这是什么道理呢？

事实上，根据积的乘方法则，有

(23)2(2)2(3)223，

并且23＞0，

所以23是2×3的算术平方根，即

23=23

一般地，有

． abab（a≥0，b≥0）

这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．

注意，在上式中，a、b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．

例1

计算：

（1）76；（2）

132． 2解（1）767642．

（2）113232164． 222．积的算术平方根 上面得到的等式ab，也可以写成 ab（a≥0，b≥0）

． abab（a≥0，b≥0）这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．

利用这个性质可以进行二次根式的化简． 例2 化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：

（1）12；（2）4a3；（3）a4b． 解（1）12223 223 23．

（2）4a34a2a

2a2a 2aa．

（3）a4ba4b

(a2)2b

a2b．

例2各题中给出的二次根式，被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（或因数），如（1）中1223，（2）中4a2aa，（3）中a4b(a2)2b，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用a2a（a≥0），将这个因式（或因数）“开方”出来．

2322做一做

计算下列各式，并将所得的结果化简： （1）36；（2）3a15a．

3．二次根式的除法 讨论 两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解． 概括 一般地，有 ab． ________（a≥0，b＞0）这就是说，两个二次根式相除，___________________________．

例3 （1）计算： 153；（2）246． 解 （1）153155． 3（2）

2462442． 6

小题（2）也可先将分子化简为26，从而容易算得结果． 上面得到的等式，也可以写成

ab． ______（a≥0，b＞0）

这就是说，商的算术平方根，等于__________________．

利用这个性质可以进行二次根式的化简．

例4

化简

12．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）

解

12112222． 2222222212的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方这里，二次根式

数，再“开方”出来．

按照例2和例4的要求化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式． 二次根式的除法，也可采用化去分母中根号的办法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式（也是二次根式）就可以了．如例4，将分子、分母同乘以2，得

1212222(2)22． 2练习 1．化简： （1）27；（2）25a3；（3）2．计算： （1）2135；（2）2b6b；（3）13；（4）2． 5820；（4）

65a39a．

3．现有一张边长为5cm的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01） 习题22.2 1．化简： （1）250；（2）32x4；（3）2．计算：

147；（4）

5． 6

（1）1830；（2）32；（3）8ab6ab3； 75（4）

4098；（5）

2015；（6）

2x38x．

3．某液晶显示屏的对角线长36cm，其长与宽之比为4∶3，试求该液晶显示屏的面积． 4．本章导图中给出了第一宇宙速度的计算公式：gR，其中g通常取9.8米/秒2，R

约为6370千米．试计算第一宇宙速度．（结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）

§22.3 二次根式的加减法

试一试

计算：

（1）3323；（2）3a2a4a． 概括

与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与23，3a、2a与4a这样的几个二次根式，称为同类二次根式．

二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．

例1 解 计算：3232233． 3232233 (3222)(333) 223． 思考 计算：81812． 分析 先将各二次根式化简： 8424222， 18______________________， 12______________________． 解

81812

=22________+___________

=____________________．

二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．

例2

计算：

（1）271245；（2）

25x16x9x． 4解 （1）271245

332335 335．

（2）

25x16x9x 45x4x3x 25(43)x 27x． 2例3 计算： （1）(21)(21)； （2）(a2b)(a2b)． 解 （1）(21)(21) (2)212211． （2）(a2b)(a2b) (a)2(2b)2a2b． 练习 1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？ （1）212，27；（2）50，38；

（3）2ab，38ab；（4）3a2b，27ab2．

2．下列二次根式中，哪些与42是同类二次根式？

12,24,27,50,3．计算： （1）2334．计算：

1． 233；（2）53375． 4（1）(32)(32)；（2）(2a3)(2a3)．

习题22.3

1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？ （1）320,50；（2）28,27； 3（3）

2m2m3y27x；（4）． ,,nn4x25y2．计算：

（1）352542；（2）27532712；

（3）72183．计算： （1）(132． 2（2）(ab)(ab)． x)(1x)；4．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm的圆中（如图），求这根

铁丝的长度．（结果精确到0.1cm） （第4题） 5．已知二次根式2a1与7是同类二次根式，试写出三个a的可能取值．

小结

一、 知识结构

二次根式的化简 二次根式 二次根式的运算

二、 概括

1 理解符号a的意义是研究二次根式的关键．a表示非负数a的算术平方根，即有： （1）a≥0(a≥0）；（2）(a)2=a（a≥0）．

要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数． 2 二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简主要包括两个方面： （1） 如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来．

（2） 如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来． 在化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来，在这里，二次根式的性质“(a)2=a（a≥0）”起着举足轻重的作用． 3 二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减．

（1） 二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是： ；abab（a≥0，b≥0）aba（a≥0，b＞0）． b（2） 二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式．通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并． 二次根式运算的结果应尽可能化简． 复习题

A组

1．计算： （1）52；（2）510；

（3）

1435；（4）52213；

（5）

5242；（6）(1258)3； 3232（7）ab；（8）5a24a2（a≥0）； a；（10）(（9）

1263mnmn)()． 23232．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？ （1）

21827（2）； ,,40；

235m2ma32ab3（3）；（4）． ,,2nn2b253．x取何值时，下列各二次根式有意义？ （1）3x4；（2）22x． 34．x是怎样的实数时，(x2)(3x)x23x？

5．钳工车间用圆钢做正方形螺母，所需螺母边长为a，问下料时至少要用直径多大的圆钢？

（第5题） 6．如图，边长为8米的正方形大厅，地面由大小完全相同的黑、白正方形方砖相间铺成．求每块方砖的边长． （第6题）

B组

7 若a2a0，则a的取值范围是__________________． 8 若a33a有意义，则a的值为______________．

229 若(x2)(x2)，则x的取值范围是________________．

10 试写出一个式子，使它与21之积不含二次根式．

211 数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(a1)(b1)2(ab)2． (第11题)

C组 12 化简：

112123189． 13 19世纪文学巨匠列夫·托尔斯泰曾在作品《一个人需要很多土地吗》中写了这样一个故事：

有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，卖地的酋长出了一个非常奇怪的地价“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，只要他日出时从规定地点出发，日落前返回出发点，所走过的路线圈起的土地就全部归他．如果日落前不能回到出发点，那么他就得不到半点土地，白出1000卢布．

巴霍姆觉得这个条件对自己有利，便付了1000卢布．第二天天刚亮，他就连忙在草原上大步向前走去．他走了足足有10俄里（1俄里≈1.0668公里），才朝左拐弯；接着又走了许久，才再向左拐弯；这样又走了2俄里，这时他发现天色不早，而自己离出发点还足有15俄里的路程，于是只得改变方向，径直朝出发点奔去„„最后，他总算如期赶到了出发点，却因过度劳累，口吐鲜血而死． 请你算一算，巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？（结果保留二次根式）