MATLAB微分方程几种求解方法及程序

以一个自由振动系统实例为例进行讨论。 如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N

x b M F k 图1 弹簧-阻尼系统

假设初始条件为：t00时，将m拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，x(0)0m x(0)0m/s 求系统的响应。

)用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、

ode23、ode113、ode15s、ode23s等。 wffc1.m myfun1.m

一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 mxbxkxF 这是一个单变量二阶常微分方程。

••••将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。

令： x(1)x （位移）

x(2)xx(1) （速度）

••上式可表示成：

•x(2)x(2)x(1)• x110*x(2)20*x(1)x(2)下面就可以进行程序的编制。

%写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x)

xdot=[x(2);1-10*x(2)-20*x(1)];

% 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0];

[tt,xx]=ode45(@myfun1,t,x0);

plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') legend('位移','速度')

title('微分方程的解 x(t)')

二、方法2：

mxbxkxF

X(s)1G(s)2F(s)5ss2

%用传递函数编程求解ksys1.m num=1;

den=[5 1 2];

%printsys(num,den) %t=0:0.1:10; sys=tf(num,den); figure(1) step(sys) figure(2) impulse(sys) figure(3)

t=[0:0.1:10]'; ramp=t;

lsim(sys,ramp,t); figure(4) tt=size(t);

•••noise=rand(tt,1); lsim(sys,noise,t) figure(5) yy=0.1*t.^2;

lsim(num,den,yy,t)

w=logspace(-1,1,100)'; [m p]=bode(num,den,w); figure(6)

subplot(211);semilogx(w,20*log10(m)); grid on

subplot(212);semilogx(w,p) grid on

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(sys) figure(7) margin(sys) figure(8) nyquist(sys) figure(9) nichols(sys)

方法3：

mxbxkxF 5xx2x1 x0.20.2x0.4x

Int10.2u(t)Gs0.2G1x''1sx'Int21sxScopeG20.4x_tClockTo Workspace•••••••••

% 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0];

[tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); figure(1)

plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on

plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-.k')

legend('位移','速度','加速度') title('微分方程的解')

figure(2)

plot(yy(:,1),yy(:,2)) title('平面相轨迹')

%写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x)

xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)];