2020年山东省聊城市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合A={x|2x-4＞0}，B={x|1＜x＜4}，则A∩B=（ ）

A. [1，+∞） B. （2，4） C. （1，4） D. （1，2） 2. 已知a，b∈R，（a-i）i=b-2i，则a+bi的共轭复数为（ ）

A. -2-i B. -2+i C. 2-i D. 2+i 3. 对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是（ ）

A.

5. 已知函数

B. C.

则f（2019）=（ ）

D.

A. 2 B. C. -2 D. e+4

6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中

点，则下列结论中正确的是（ ） A. AD1∥平面EFGH B. BD1∥GH C. BD∥EF D. 平面EFGH∥平面A1BCD1

7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它

是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

8. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图都是两个正方形，俯视图为一个

圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为（ ）

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A.

9. 函数

B. C.

的图象大致为（ ）

D. 2π

A.

B.

C.

D.

10. 将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后与y=-sin2x的图象重合，则φ

的最小值为（ ）

A. B. C. D.

11. 已知△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，若BD=1，AD=2，DC=3，则△ABC的

面积为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 12. 已知f′

g

，若

+x，方程g（x）-ax=0有且只有一个根，则a的取值范围是（ ）

A. （-∞，0）∪[e，+∞） C. {e}

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知实数x，y满足

B. （-∞，e]

D. （-∞，0）∪{e}

则z=y-2x的最小值是______

=||•||，则m=______．

的右焦点，过点F的直线在

14. 已知向量=（m，1），=（4，m），15. 已知O为坐标原点，F为椭圆

第一象限与椭圆C交与点P，且△POF为正三角形，则椭圆C的离心率为______ 16. 已知函数

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

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的最大值是，则tanθ=______

17. 已知数列{}是等比数列，且a1=3，a3=7．

（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项公式； （2）求数列

．

18. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为CD的中点，以AE为折痕把△ADE

折起，使点D到达点P的位置，且∠PAB=60°． （1）求证：平面PEC⊥平面PAB；

（2）若三棱锥E-PEC的体积为，求该三棱锥的表面积．

19. 已知点F（2，0）是抛物线C：y2=2Px（P＞0）的焦点，过点F的直线l与抛物线

C交于A，B两点．

（1）若|AB|=16，求直线l的方程；

（2）点M是点A关于x轴的对称点，O为坐标原点，试判断若是，求出该定值；若不是，说明理由，

是否为定值，

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20. 某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件

产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：

质量指标值[65，75） 分组 频数 5 [75，85） 20 [85，95） 40 [95，105） [105，115] 25 10 销售时质量指标值在[65，75）的产品每件亏损1元，在[75，105）的产品每件盈利3元，在[105，115]|的产品每件盈利5元． （1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该企业为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年年营销费用xi和年销售量yi（i=1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到如图2的散点图及一些统计量的值．

ui 16.30 vi 23.20 ui，=

0.81 vi

（ui）（vi-） 1.62 （ui）2 表中ui=lnxi，vi=lnyi，=

根据散点图判断，y=axb可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的

回归力程．

①求y关于x的回归方程；

⑦用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润营销费用，取e3.01=20）

附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回归直线v=α+βu均斜率和截距的最小二乘估计分别为=

21. 已知函数f（x）=

，=

．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若x≥1时，1-xf（x）≤ex-1，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线

（α为参数）．以原点O为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若曲线C与直线l交于A，B两点，点P（1，0），求

的值．

23. 已知函数f（x）=2|x+1|-|x-2|

（1）求不等式f（x）＞3的解集；

（2）若x∈[a，1]，（其中a＜1），f（x）≤|x-a|恒成立，求实数a的取值范围．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：∵集合A={x|2x-4＞0}={x|x＞2}， B={x|1＜x＜4}，

∴A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）． 故选：B．

分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案：A

解析：解：由（a-i）i=1+ai=b-2i， 得

，∴a+bi=-2+i，其共轭复数为-2-i．

故选：A．

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 3.答案：B

解析：解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边 故选：B．

不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件． 充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 4.答案：C

解析：【分析】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6=36，利用列举法能求出第一次向上的点数比第二次向上的点数小基本事件总数n=6×

的概率． 【解答】

解：连续投掷一颗骰子两次，

6=36． 基本事件总数n=6×

第一次向上的点数比第二次向上的点数小包含的基本事件有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），

（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个， ∴第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是P=故选：C． 5.答案：A

．

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解析：解：根据题意，函数，

则f（2019）=f（2017）=……=f（1）， 又由f（1）=e0+1=2； 故选：A．

根据题意，由函数的解析式分析可得f（2019）=f（2017）=……=f（1），进而求出f（1）的值，即可得答案．

本题考查分段函数的求值计算，关键是分析函数的解析式，属于基础题． 6.答案：D

解析：【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

AD1与GH相交，BD1∩CD1=D1，CD1∥GH，在A中，从而AD1不平行于平面EFGH；在B中，

从而BD1不可能平行于GH；在C中，BD∩A1B=B，A1B∥EF，从而BD与EF不可能平行；在D中，EF∥A1B，FG∥BC，进而可判定平面EFGH∥平面A1BCD1． 【解答】

解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

F，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点,如下图所示，

在A中，AD1与GH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；

在B中，BD1∩CD1=D1，CD1∥GH，故BD1不可能平行于GH，故B错误； 在C中，BD∩A1B=B，A1B∥EF，故BD与EF不可能平行，故C错误； 在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC=B，EF∩FG=F， ∴平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确． 故选：D． 7.答案：A

解析：【分析】

本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础． 根据程序框图进行模拟运算即可． 【解答】

解：a=3，a=1不满足，a是奇数满足，a=10，i=2， a=10，a=1不满足，a是奇数不满足，a=5，i=3， a=5，a=1不满足，a是奇数满足，a=16，i=4， a=16，a=1不满足，a是奇数不满足，a=8，i=5， a=8，a=1不满足，a是奇数不满足，a=4，i=6， a=4，a=1不满足，a是奇数不满足，a=2，i=7， a=2，a=1不满足，a是奇数不满足，a=1，i=8， a=1，a=1满足，输出i=8， 故选：A． 8.答案：C

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解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体为两个圆柱的组合体；上面的圆柱去掉部分的组合体，底面半径为：1，圆柱的高为1， 故体积V=

=，

故选：C．

由已知中的三视图可得：该几何体为一个长方体与半球的组合体，进而可得答案．

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题． 9.答案：A

解析：解：f（-x）=

=-f（x）则函数f（x）是奇函数，排除C，

分母2+cosx＞0，则当0＜x＜π时，sinx＞0，则f（x）＞0，排除D， f（）=

=

＜f（）=，则B不满足条件．

故选：A．

利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用f（）＜f（），进行排除即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键． 10.答案：D

解析：解：y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到y=sin2（x+φ）=sin（2x+2φ）与y=-sin2x=sin（2x+π）的图象重合， 则2φ=π+2kπ，即φ=+kπ，

当φ＞0时，当k=0时，φ=取得最小值，

故选：D．

利用三角函数的图象平移关系建立方程求出φ的值即可．

本题主要考查三角函数的图象变换，结合三角函数的性质建立方程是解决本题的关键．比较基础． 11.答案：B

解析：解：∵BD=1，AD=2，DC=3，AB=AC， 设AB=AC=x，则在△ABD中，由余弦定理可得：cos∠ADB=

=

，

=

，

在△ACD中，可得：cos∠ADC=∵cos∠ADB=-cos∠ADC， ∴

=-，解得：x=

，即：AB=AC=， =

=，sinB=可得：

=

，

cosB=∴在△ABC中，由余弦定理可得：∴S△ABC=AB•AC•sinB=

=2

．

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故选：B．

设AB=AC=x，则在△ABD中，由余弦定理可求cos∠ADB，cos∠ADC，根据

cos∠ADB=-cos∠ADC，解得x，在△ABC中，由余弦定理可得cosB，利用三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．

本题主要考查了余弦定理，三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 12.答案：D

解析：解：由

f′（x）=x-f（0）+f′（1）ex-1． ∴f′（1）=1-f′（1）e-1+f′（1）， ∴f′（1）=e．

则f（0）=e•e-1=1． 则f（x）=∴g

． +x=ex．

，得f（0）=f′（1）e-1．

方程g（x）-ax=0即ex=ax， x=0时方程显然无解；

x＜0时，对于任意a＜0，函数y=ex与y=ax有一个交点，满足题意； x＞0时，则a=， 令h（x）=，则h′（x）=

．

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0， ∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 又当x→0+时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞． ∴h（x）在（0，+∞）时的图象如图：

由图可知，a=e时，方程a=有一根，

综上，a的取值范围为（-∞，0）∪{e}． 故选：D．

由已知求得f（0），把原函数求导后可得f′（1）=e，求得函数解析式，代入g

+x化简，方程g（x）-ax=0有且只有一个根，分x=0，x＜0及x＞0三

棱分析，x＞0时转化为a=有且只有一个实数根，令h（x）=，利用导数研究单调性，再数形结合得答案．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方

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法，是中档题． 13.答案：-1

解析：解：由已知得到平面区域如图：由z=y-2x，则y=2x+z，

由它在y轴的截距最小，得到z最小，

由图可知当直线过A（1，1）时，z 最小，所以最

1=-1； 小值为1-2×

故答案为：-1．

画出可行域，由z=y-2x，则y=2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小．

本题考查了简单线性规划问题；只要正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可，属于中档题． 14.答案：2

解析：解：向量=（m，1），=（4，m），可得4m+m=

，

=||•||，

解得m=2，m=-2（舍去） 故答案为：2．

直接利用向量的数量积的运算法则，化简求解即可． 本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查． 15.答案：

解析：【分析】

本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，属基础题．

由于|OF|为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率． 【解答】

解：∵椭圆上存在点P使△POF为正三角形，设F为右焦点，|OF|=c，P在第一象限， ∴点P的坐标为（，c）， 代入椭圆方程得：即+整理得解得所以解得e=

=1，

,

.因为e∈（0，1），

，

-1．

．

，e=，

故答案为：

16.答案：

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解析：解：因为f（x）=sin（x+θ）cosx=[sin（2x+θ）+sinθ]， 又y=f（x）的最大值为， 得（1+sinθ）=， 所以sinθ=， 又因为-所以cosθ=所以tanθ=

， ， =，

故答案为：．

由积化和差公式得：f（x）=sin（x+θ）cosx=[sin（2x+θ）+sinθ]，由三角函数的最值得：y=f（x）的最大值为，得（1+sinθ）=，所以sinθ=，又因为-所以tanθ=

=，得解．

，所以cosθ=

，

本题考查了积化和差公式及三角函数的最值，属中档题．

17.答案：解：（1）证明：数列{

可得

=

=8q2=128，

}是公比为q（q＞0）的等比数列，且a1=3，a3=7．

解得q=4， 即有

=q=4，即an-an-1=2，

可得数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，

可得； （2）则数列=（1-）=

． =

=（-），

）

=（1-+-+…+-

解析：（1）数列{

}是公比为q（q＞0）的等比数列，运用等比数列的定义和通项公

式可得数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，可得所求通项公式； （2）求得

=

=（-），运用数列的裂项相消求和，化简可得所求

和．

本题考查等比数列和等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．

18.答案：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴折起后PE⊥PA，且PA=AB，

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∵∠PAB=60°，∴△PAB是正三角形，∴PB=PA， ∵正方形ABCD中，E为CD的中点，∴EA=EB， ∴△PAE≌△PBE，∴∠EPB=∠EPA，∴PE⊥PB， ∵PA∩PB=P，∴PE⊥平面PAB，

又PE⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PAB．

解：（2）设正方形的边长为a，由（1）知PE⊥平面PAB，且△PAB是边长为a的正三角形，

∵三棱锥E-PEC的体积为，∴∴该三棱锥的表面积： S=S△PAE+S△PBE+S△PAB+S△EAB ==4+

．

=，解得a=2．

解析：（1）折起后PE⊥PA，且PA=AB，从而△PAB是正三角形，推导出PE⊥PB，从而PE⊥平面PAB，由此能证明平面PEC⊥平面PAB．

（2）由三棱锥E-PEC的体积为，求出正方形的边长为2，由此能求出该三棱锥的表面积．

本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.答案：解：由点F（2，0）是抛物线的焦点，得=2，p=4，

所以抛物线的方程为y2=8x．

设直线l的方程为：

x=my+2，与y2联立消x，得y2-8my-16=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=-16 （1）

|AB|=x1+x2+p=++4=

+4=

+4=16，

解得m=1或m=-1，

即直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0．

（2）点M是点A关于x轴的对称点，所以M（x）， 所以即

•=（x1，-y1）•（x2，y2）=x1x2-y1y2=•为定值20．

+16=20，

解析：由=2，得p=4，得抛物线方程为y2=8x，设出直线l：x=my+2代入抛物线，根据韦达定理得y1+y2，y1y2

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（1）根据抛物线的定义以及|AB|=16可求得m，可得直线l的方程； （2）根据A的对称点以及向量数量积公式可得． 本题考查了直线与抛物线的综合，属中档题．

20.答案：解：（1）抽取的100件产品平均一件的利润为

．

即可估计该企业生产的产品平均一件的利润为3元； （2）①y=axb得，lny=lna+blnx，

令u=lnx，v=lny，c=lna，则v=c+bu，

由表中数据可得，．

则=．

∴v=3.01+0.5u，即lny=3.01+0.5lnx=ln（e3.01•x0.5）． ∵e3.01=20，∴y=20x0.5．

故所求的回归方程为y=20x0.5；

20x0.5-x． ②设年收益为z万元，则z=3y-x=3×

令t=x0.5，则z=60t-t2=-（t-30）2+900．

∴当t=30时，即x=900时，z有最大值900． 即该企业应该投入900万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大900万元．

解析：（1）由频率分布表结合已知数据即可求解；

（2）①由y=axb得，lny=lna+blnx，令u=lnx，v=lny，c=lna，则v=c+bu，结合表中数据求得与的值，得到v=3.01+0.5u，进一步求得y关于x的回归方程；

20x0.5-x，然后利用换元法求解． ②设年收益为z万元，则z=3y-x=3×

本题考查线性回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．

21.答案：解：（1）∵f（x）=

，

．

∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=

令f′（x）＞0，得lnx＜1-a，解得0＜x＜e1-a， 令f′（x）＜0，得lnx＞1-a，解得x＞e1-a．

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e1-a），递减区间为（e1-a，+∞）； （2）当x≥1时，1-xf（x）≤ex-1等价于ex-1+lnx-ax+a-1≥0．

, 设g（x）=则g′（x）=

，

．

设h（x）=g′（x），有h′（x）=

∵当x≥1时，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，

即g′（x）在[1，+∞）上单调递增， 因此g′（x）min=g′（1）=2-a．

当a≤2时，g′（1）≥0，g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立， ∴g（x）在[1，+∞）上单调递增．

又g（1）=0，∴g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，符合题意．

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当a＞2时，g′（1）＜0，存在x0∈（1，+∞）， 使得当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，

从而g（x）在[1，x0]上单调递减，又∵g（1）=0， ∴当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，不合题意． 综上，a的取值范围为（-∞，2]．

解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，以及恒成立求参数的取值范围，属中档题．

（1）求出原函数的导函数，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的增区间与减区间；

1-xf≤ex-1等价于ex-1+lnx-ax+a-1≥0，=（2）当x≥1时，（x）设g（x），

利用两次求导求解a的取值范围．

22.答案：解：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程为：（x-1）2+（y+1）2=4，利用互化公式可将直线l的极坐标方程ρcos（θ+）=化为直角坐标方程为x-y-1=0．

（2）点P（1，0）在直线l上，直线l的参数方程为（t为参数），

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程化简得t2+t-3=0， 设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-3， 所以

+

=

+=

=

=

=．

解析：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程为：（x-1）2+（y+1）2=4，利用互化公式可将直线l的极坐标方程ρcos（θ+）=化为直角坐标方程为x-y-1=0； （2）利用直线参数方程中参数t的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

23.答案：解：（1）函数f（x）=2|x+1|-|x-2|=

；

当x≥2时，不等式f（x）＞3化为x+4＞3，解得x＞-1，所以x≥2；

当-1＜x＜2时，不等式f（x）＞3化为3x＞3，解得x＞1，所以1＜x＜2； 当x≤-1时，不等式f（x）＞3化为-x-4＞3，解得x＜-7； 综上所述，不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜-7或x＞1}；

（2）x∈[a，1]时，不等式f（x）≤|x-a|等价于2|x+1|-（2-x）≤x-a， 等价于x∈[a，1]时，2|x+1|≤2-a恒成立， 等价于x∈[a，1]时，a-2≤2x+2≤2-a恒成立， 即所以

≤x≤-恒成立； ≤a，且1≤-，

解得-4≤a≤-2，

所以实数a的取值范围是[-4，-2]．

解析：（1）利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞3的解集即可； （2）x∈[a，1]时不等式等价于2|x+1|-（2-x）≤x-a，即2|x+1|≤2-a，解得

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≤x≤-，再转

化为≤a，且1≤-，从而求得a的取值范围．

本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．

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