2021中考数学 专题训练：一元二次方程及其应
用
一、选择题
1. 一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根
2. 一元二次方程x2－4x－1＝0
B.有两个相等的实数根 D.没有实数根
配方后可化为( )
B．(x＋2)2＝5 D．(x－2)2＝5
A．(x＋2)2＝3 C．(x－2)2＝3
3. 一元二次方程x2＋2x－3＝0
的根是( )
B．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝3
A．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3
4. 关于
x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等
于( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
5. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为( ) A．10
6. 若关于
B．50 C．55 D．45
x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是
( ) A．m＜1 C．m≤1
7. 关于
B．m≥1 D．m＞1
x的一元二次方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根
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D．不能确定
8. 某市
2018年GDP比2017年增长了11.5%，由于受到国际因素的影响，2019
年的GDP比2018年增长了7%.若这两年GDP的年平均增长率为x，则x满足的关系式是( ) A．11.5%＋7%＝x
B．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝2(1＋x) C．11.5%＋7%＝2x
D．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2
9. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出
20件，每件盈利40元，为扩大销
售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价( ) A．5元 C．20元
10. 某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为
B．10元 D．10元或20元
2万元，共销售60台．根据市场
调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为( ) A．3万元 C．8万元
二、填空题
11. 一元二次方程
B．5万元
D．3万元或5万元
2x2－4＝－5x的根的判别式Δ＝________．
3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则
12. 一个三角形的两边长分别为
三角形的周长为 .
13. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出
500
张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方
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程为__________________________________．
14. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的
2倍大51，则这两
个自然数分别为________．
15. 2018·内江
已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．
16. 某校课外生物小组的试验园地是长
32 m，宽20 m的矩形，为了便于管理，
现要在试验园地开辟宽度均为x m的小道(图中的阴影部分)．
(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2(用含x的代数式表示)；
(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570 m2，则小道的宽度为________m.
三、解答题
17. 解方程:(y+2)2=(2y+1)2.
18. 解方程：
(1)3x2－4x＝2；
(2)(x－6)2＝2(6－x)； (3)x2－1＝4x(用配方法)； (4)4(x－3)2＝(3x＋5)2.
19. 2019·北京
若关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求
m的值及此时方程的根．
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20. 某公司投资新建了一商场，共有商铺
30间．据预测，当每间的年租金定为
10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加0.5万元，就会少租出商铺1间(假设年租金的增加额均为0.5万元的整数倍)．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.5万元． (1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益＝租金－各种费用)为275万元？
21. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时
古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的a《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以2和a
b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝2，则AD的长就是所求方程的解．
(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；
(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
2021中考数学 专题训练：一元二次方程及其应
用-答案
一、选择题 1. 【答案】A
2. 【答案】D
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3. 【答案】A
4. 【答案】B
【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝2－4sinα＝0，
1
∴sinα＝2，又∵α为锐角，∴α＝30°.
5. 【答案】C
6. 【答案】D
[解析] ∵方程无实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1·m＝4－4m＜0， 解得m＞1. 故选D.
7. 【答案】A
[解析] ∵a＝1，b＝k，c＝－2，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×1×(－2)＝k2
＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A.
8. 【答案】D
[解析] 设2017年的GDP为1，
∵2018年的GDP比2017年增长了11.5%， ∴2018年的GDP为1＋11.5%.
∵2019年的GDP比2018年增长了7%， ∴2019年的GDP为(1＋11.5%)×(1＋7%)． ∵这两年GDP的年平均增长率为x， ∴2019年的GDP也可表示为(1＋x)2， ∴可列方程为(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2.
9. 【答案】C
[解析] 设每件衬衫降价x元，则每天可售出(20＋2x)件，
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，解得x1＝10，x2＝20. ∵要扩大销售，减少库存，∴x＝20.
10. 【答案】D
[解析] 设这种机床每台的售价定为x万元，
x－2
＝2×则x60－60×(1＋25%)， 0.1
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解得x1＝3，x2＝5.
二、填空题
11. 【答案】57 [解析] 原方程移项得2x2＋5x－4＝0.这里a＝2，b＝5，c＝－4，∴Δ＝52－4×2×(－4)＝25＋32＝57.
12. 【答案】16 [解析]解方程x2-10x+21=0，得x1=3，x2=7，因为已知两边长为3
和6，所以第三边长x的范围为:6-313. 【答案】(0.3－0.1x)(500＋100x)＝12014. 【答案】5，6
[解析] 设较小的自然数为x，则较大的自然数为(x＋1)．
根据题意，得x2＋(x＋1)2＝2x＋51， 解得x1＝5，x2＝－5(舍去)． 则这两个自然数分别为5，6.
15. 【答案】1
[解析] 设x＋1＝t，方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根分别是
x3，x4， ∴at2＋bt＋1＝0.
由题意可知：t1＝1，t2＝2， ∴t1＋t2＝3， ∴x3＋x4＋2＝3， ∴x3＋x4＝1.
16. 【答案】(1)20(32－x)
(2)1
[解析] (1)根据题意，得剩余部分的面积为20(32－x)m2. (2)根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570， 解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)． 即小道的宽度为1 m.
三、解答题
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17. 【答案】
解:∵(y+2)2=(2y+1)2， ∴(y+2)2-(2y+1)2=0， ∴(y+2+2y+1)(y+2-2y-1)=0， ∴3y+3=0或-y+1=0， ∴y1=-1，y2=1.
18. 【答案】
解：(1)3x2－4x－2＝0，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－2)＝40， 4±402±10x＝2×
3＝3，
2＋102－10
所以x1＝3，x2＝3. (2)(x－6)2＋2(x－6)＝0， (x－6)(x－6＋2)＝0， (x－6)(x－4)＝0， x－6＝0或x－4＝0， 所以x1＝6，x2＝4.
(3)x2－4x＝1，x2－4x＋4＝5，(x－2)2＝5，x＝2±5， 所以x1＝2＋5，x2＝2－5. (4)4(x－3)2－(3x＋5)2＝0，
(2x－6＋3x＋5)(2x－6－3x－5)＝0， (5x－1)(－x－11)＝0， 5x－1＝0或－x－11＝0， 1
所以x1＝5，x2＝－11.
19. 【答案】
解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根， ∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0， 解得m≤1. ∵m为正整数，
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∴m＝1，
∴原方程为x2－2x＋1＝0， 则(x－1)2＝0， 解得x1＝x2＝1.
20. 【答案】
13－10
解：(1)30－0.5×1＝24(间)，
∴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出24间．
(2)设每间商铺的年租金增加x万元，则每间商铺的年租金为(10＋x)万元， xxx依题意有(30－0.5×1)×(10＋x)－(30－0.5×1)×1－0.5×1×0.5＝275， 即2x2－11x＋5＝0， 解得x1＝5，x2＝0.5.
∴当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为275万元．
21. 【答案】
1a解：(1)∵∠ACB＝90°，BC＝22，AC＝b， ∴AB＝∴AD＝
a2b＋4，
2
222－a＋4b＋aaa
b2＋4－2＝.
2
(2)方程x2＋ax＝b2整理， 得x2＋ax－b2＝0. Δ＝a2－4×1×(－b2) ＝a2＋4b2>0， －a±a2＋4b2∴x＝，
2
－a＋4b2＋a2－a－4b2＋a2
即x1＝，x2＝.
22正确性：AD的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
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