高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)

§1.1.1、任意角

1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 终边相同的角的集合：      2k , k  Z. §1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.

sin     sin  ,

cos      cos ,

tan     tan.

3、诱导公式三：

sin    sin  ,

cos    cos ,

tan     tan .

4、诱导公式四：

l  . 2、 r

nR

3、弧长公式： l   R .

180

sin     sin  , cos      cos ,

tan      tan .

5、诱导公式五：

nR 2  1 lR .

4、扇形面积公式： S 360 2

§1.2.1、任意角的三角函数

1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

Px, y，那么： sin   y, cos  x, tan   y x

2、 设点 A x , y  为角 终边上任意一点，那么：（设

    cos ,   2    cos   sin .  2 sin   sin   cos ,

2

  cos     sin .

2  6、诱导公式六：

r  x2  y2 ）

y x y x

sin   ， cos  ， tan   ， cot  

y r r x

3、 sin  ， cos ， tan  在四个象限的符号 §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系： sin   cos2、 商数关系： tan   22

§1. 4. 1 、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：

y=sinx

-52

-2 -3 -

2

y  - 1 2   1.

sin 

.

-4 -7 -3

2

cos3、 倒数关系： tan  cot   1

§1. 3 、三角函数的诱导公式

（概括为“奇变偶不变，符号看象限” k  Z ） 1、 诱导公式一：

 3-5- 1 - -32 2 2

o   -2-32-4 -7 -1

2

2

2

y=cosx

-1 y

o  

2

32

2 5 32

72

4

x

73 2 52

4 x

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义

域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

sin  2k   sin  ,

cos  2k   cos , （其中： k  Z ） tan  2k   tan .

2、 诱导公式二：

y  sin x 在 x [0, 2 ] 上的五个关键点为：

 3

（0，0）（，，1）（，，0）（，，-1）（，2，0）.

2 2

- 1 -

§1. 4. 3 、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：

y 2、记住余切函数的图象：

y

y=tanx y=cotx 3- 2 -- 2 o  2  3 x 2 -- 2 o  2 32 2 x 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y  sin x y  cos x y  tan x 图象 定义域 值域 R [-1,1] x  2k  , k  Z时，y  1 max 2 x  2k  , k  Z时，y min  1 2 R [-1,1]  {x | x   k , k  Z} 2 R 最值  x  2k , k  Z时，y  1 max x  2k   , k  Z时，y min  1 无 周期性 奇偶性 T  2奇 在[2k   , 2k   ] 上单调递增 2  2 T  2偶 在[2k   , 2k ] 上单调递增 T  奇 单调性 k  Z 2 在(k   , k   ) 上单调递增 2 2 在[2k  , 2k  3 ] 上单调递减 在[2k , 2k  ]上单调递减 2 对称轴方程： x  k 对称性 对称轴方程： x  k对称中心(k  无对称轴 对称中心( k  Z 2 2 对称中心(k , 0) , 0) k2 , 0)

- 2 -

§1. 5 、函数 y  Asinx   的图象 1、对于函数：

：振y  Asin x     B  A  0,  0 有 幅A，周期T 

y  Asin x   

（左加右减） 平移| B| 个单位 2 ，初相 ，相位x   ，

y  Asin x     B

（上加下减）

 . 频率 f  1 T 22、能够讲出函数 y  sin x 的图象与

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数 y  sin( x   ) ，x∈R 及函数

y  Asin  x     B 的图象之间的平移伸缩变换关系. ① 先平移后伸缩： y  sin x

平 移

|  |

个 单 位

y  cos( x   ) ，x∈R(A, , 为常数，且

2A≠0)的周期T  ；函数

|  |

 x  k  , k  Z (A, y  tan( x   ) ， 2

ω, 为常数，且 A≠0)的周期T  y  sin  x   

（左加右减） 横坐标不变

|  |

对 y  Asin( x   ) 和 y  A cos( x  )

来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

求函数 y  Asin( x   ) 图像的对称轴与

.

y  Asin  x   纵坐标变为原来的 A 倍

对称中心，只需令x    k 

纵坐标不变 x    k (k  Z )

2

(k  Z ) 与

y  Asin x   横坐标变为原来的 | 平移| B| 个单位 1

解出 x 即可. 余弦函数可与正弦函数类比可得.

4、由图像确定三角函数的解析式

| 倍

利用图像特征： A  ymax  ymin 2

，

B  求.

ymax  ymin

. 2 y  Asin x     B

（上加下减）

 要根据周期来求, 要用图像的关键点来

② 先伸缩后平移：

三角恒等变换

y  Asin x

§3.1. 1 、两角差的余弦公式

记住 15°的三角函数值：   sin  cos y  sin x

横坐标不变

纵坐标变为原来的 A 倍

tan  2 3

纵坐标不变

y  Asin x

横坐标变为原来的 |



1

 12 6  2 4 6  2 4 §3. 1. 2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 | 倍

个

单

位

1、sin     sin  cos   cos sin  2、sin     sin  cos   cos sin 

平 移 

3

3、cos     cos cos   sin  sin  4、cos     cos cos   sin  sin  （其中 R 为ABC 外接圆的半径）

 a  2R sin A, b  2R sin B, c  2R sin C; 5、 tan     

tan tan  1tan tan . 6、 tan     

tan tan  §3. 1. 3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式tan tan . 1 1、sin 2  2 sin  cos ， 变形： sin  cos  1 sin 2 .

2

2、cos 2  cos2   sin 2 

 2 cos2   1

 1  2 sin 2  .

变形如下： 1  cos 2

 2 cos2

 升幂公式：  1  cos 2  2 sin 2

cos2   1 (1 cos 2 ) 降幂公式：  sin2 2

  1 (1  cos 2 )

 2 3 、 tan 2 

2 tan . 1 tan2 tan   sin 21 cos 24、 §3. 2 、简单的三角恒等变换1  cos 2

sin 21、 注意正切化弦、平方降次. 

2、辅助角公式

y  a sin x  b cos x a 2

 b2

sin( x   )（其中辅助角 所在象限由点(a, b) 的象限决定, tan   b ) .

a

解三角形

1、正弦定理：

a

bsin A  sin B  c sin C

 2R .  sin A a

2R , sin B b 2R , sin C c

2R

;  a : b : c  sin A : sin B : sin C.

2、余弦定理： a 2  b2  c2  2bc cos A, b 2  a 2 c 2

2ac cos B,

c2  a2  b2  2ab cos C. b2  c2  a2 cos 

A , 

a2 2 cbc2

 b2

cos B , 2ac a2

 cos 

C 

b2  c2

2ab . 3、三角形面积公式： S  1 ab sin C  1 bc sin A  1 ac sin B ABC

2 2 2 4、三角形内角和定理： A 在△ABC 中，有 B  C   

C    ( A  B)

 C  A  B 2  2 2

 2C  2  2( A  B) .

5、一个常用结论：

在

ABC 中 ，

a  b  sin A  sin B  A  B;

若 sin 2 A  sin 2B,则A  B或A  B   .

2

特 别 注 意 ， 在 三 角 函 数 中 ，

sin A  sin B  A  B 不成立。

4