期末数学试卷（A卷）
一、选择题（共40分，每题4分）A型题：每题都有ABCD四个备选答案，只许从中选取一个最佳答案，并在答案卷上相应题号下空格内填写，以示正确答案． 1．已知集合A={2，3}，B={2，3，5}，则集合A∪B=（ ） A．{2} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，2，3，5} 2．点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（ ） A．
B．
C．2
D．
3．下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一平面的两条直线互相平行．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．已知奇函数f（x），当x＞0时f（x）=x+，则f（﹣1）=（ ） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
5．下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ） A．y=x2﹣4x+5
B．
C．y=2﹣x
D．
6．如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是（ ） A．B．（2，+∞） （﹣∞，3） C．（2，3） D．（3，+∞）
7．若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（ ） A．
B．
C．2
D．﹣2
8．设a=30.3，b=logπ3，c=log0.32则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
9．已知f（x）=则f{f[f（5）]}=（ ）
A．0 B．﹣1 C．5 D．﹣5
10．函数f（x）=4﹣4x﹣ex（e为自然对数的底）的零点所在的区间为（ ） A．D．（1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） （﹣2，0）
二、填空题（共20分，每空4分） 11．已知函数f（x）=lg（x﹣1），它的定义域为 ． 12．函数y=ax﹣3+2（a＞0且a≠1）恒过定点 ．
13．如图一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则该几何体的侧面积为 ．
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14．一个球的体积是，则这个球的表面积是 ．
15．已知A（1，1），B（2，4），则直线AB的斜率为 ． 16．圆心是点（1，﹣2），且与直线2x+y﹣1=0相切的圆的方程是 ．
三、解答题（共60分）
17．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，求A∩B；A∪B．
18．已知函数f（x）=x2﹣x﹣2．求： （1）f（x）的值域； （2）f（x）的零点；
（3）f（x）＜0时x的取值范围．
19．已知直线l1：3x+4y+1=0和点A（1，2），设过A点与l1垂直的直线为l2． （1）求直线l2的方程；
（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
21．求过点A（2，﹣1），圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程．
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2015-2016学年山东省济南市历城区锦泽技工学校高一
（上）期末数学试卷（A卷）
参与试题解析
一、选择题（共40分，每题4分）A型题：每题都有ABCD四个备选答案，只许从中选取一个最佳答案，并在答案卷上相应题号下空格内填写，以示正确答案． 1．已知集合A={2，3}，B={2，3，5}，则集合A∪B=（ ） A．{2} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，2，3，5} 【考点】并集及其运算．
【分析】根据并集的定义可知，A与B的并集为属于A或属于B的所有元素组成的集合，求出两集合的并集即可．
【解答】解：因为A={2，3}，B={2，3，5}， 所以A∪B={2，3，5}． 故选C
2．点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（ ） A．
B．
C．2
D．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】把点P（﹣2，1）直接代入点到直线的距离公式进行运算．
【解答】解：由点到直线的距离公式得，点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于
=2，
故选 C．
3．下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一平面的两条直线互相平行．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】由公理4，即可判断①；垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面，即可判断②；
由线面平行的性质，即可判断③；由线面垂直的性质定理，即可判断④．
【解答】解：①由公理4，可得平行于同一条直线的两条直线互相平行，故①对； ②垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面，故②错； ③平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故③错；
④由线面垂直的性质定理，可得垂直于同一平面的两条直线互相平行．故④对． 故选：B．
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4．已知奇函数f（x），当x＞0时f（x）=x+，则f（﹣1）=（ ） A．1
C．﹣1 D．﹣2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】根据函数的奇偶性将f（﹣1）化简成﹣f（1）根据，将x=1的值代入x＞0时的解析式，即可求出所求．
【解答】解：∵奇函数f（x） ∴f（﹣1）=﹣f（1） 而f（1）=1+1=2
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2 故选D
5．下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ） A．y=x2﹣4x+5
B．
C．y=2﹣x
D．
B．2
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数的单调性的定义和性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，在区间（0，2）上是减函数，不满足条件． B.在区间（0，2）上是增函数，满足条件． C．y=2﹣x在区间（0，2）上是减函数，不满足条件． D.
在区间（0，2）上是减函数，不满足条件．
．
故满足条件的函数是故选：B．
6．如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是（ ） A．B．（2，+∞） （﹣∞，3） C．（2，3） D．（3，+∞） 【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】指数函数y=ax（a＞0，且a≠1），当a＞1时单调递增，当0＜a＜1时单调递减． 【解答】解：因为指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数， 所以有0＜a﹣2＜1，解得2＜a＜3，即a的取值范围为（2，3）， 故选C．
7．若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（ ） A．
B．
C．2
D．﹣2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由两直线平行，斜率相等列出方程，解方程求得m值． 【解答】解：∵直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行 ∴它们的斜率相等 ∴﹣m= ∴m=﹣
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故选B．
8．设a=30.3，b=logπ3，c=log0.32则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和特殊点可得a=30.3＞1，b=logπ3＜1，c=log0.32＞0，从而得到a，b，c的大小关系．
【解答】解：由于a=30.3＞30=1，b=logπ3＜logππ=1，c=log0.32＞log0.31=0， 故有c＜b＜a， 故选 B．
9．已知f（x）=则f{f[f（5）]}=（ ）
A．0
B．﹣1 C．5 D．﹣5
【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
=0，=﹣1，=﹣5．【分析】先求出f（5）再求出f（0）最后求出f（﹣1）由此得到f{f[f（5）]}
的结果．
【解答】解：f{f[f（5）]}=f[f（0）]=f（﹣1）=﹣5． 故选D．
10．函数f（x）=4﹣4x﹣ex（e为自然对数的底）的零点所在的区间为（ ） A．D．（1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） （﹣2，0） 【考点】函数零点的判定定理．
【分析】先判断函数的单调性，然后结合选项，利用零点判定定理即可求解 【解答】解：∵f（x）=4﹣4x﹣ex单调递减 又∵f（0）=3＞0，f（1）=﹣e＜0
由函数 的零点判断定理可知，函数f（x）的零点在区间（0，1） 故选B
二、填空题（共20分，每空4分） 11．已知函数f（x）=lg（x﹣1），它的定义域为 （1，+∞） ． 【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0， 即x＞1，
即函数的定义域为：（1，+∞）， 故答案为：（1，+∞）
12．函数y=ax﹣3+2（a＞0且a≠1）恒过定点 （3，3） ． 【考点】指数函数的图象变换．
【分析】由指数函数图象恒过（0，1），再结合函数的图象平移得答案． 【解答】解：∵函数y=ax恒过定点（0，1），
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而函数y=ax﹣3+2（a＞0且a≠1）的图象是把y=ax向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，
∴函数y=ax﹣3+2（a＞0且a≠1）恒过定点（3，3）， 故答案为：（3，3）．
13．如图一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则该几何体的侧面积为 4π ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，且底面圆的半径以及圆柱的高已知，故可以求出底面圆的周长与圆柱的高，计算出其侧面积． 【解答】解：此几何体是一个底面直径为2，高为2的圆柱 底面周长是2π
故侧面积为2×2π=4π 故答案为：4π．
14．一个球的体积是
，则这个球的表面积是 16π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．
【解答】解：一个球的体积V=π×r3=设这个球的半径r=2，则4πr2=16π， 故答案为：16π．
15．已知A（1，1），B（2，4），则直线AB的斜率为 【考点】直线的斜率．
【分析】直接利用过两点的直线的斜率公式，可得结论． 【解答】解：∵A（1，1），B（4，2）， ∴直线AB的斜率为故答案为：．
=．
．
，
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16．圆心是点（1，﹣2），且与直线2x+y﹣1=0相切的圆的方程是 ．【考点】圆的切线方程．
【分析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离即为圆的半径．利用点到直线的距离公式求出半径即可得到圆的方程．
【解答】解；圆心（1，﹣2）到直线2x+y﹣1=0的距离为
=
．
∵圆与直线直线2x+y﹣1=0相切， ∴半径r=
．
∴所求圆的方程为
．
故答案为：
．
三、解答题（共60分）
17．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，求A∩B；A∪B． 【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集及并集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}， ∴A∩B={x|2≤x＜3}，A∪B={x|x≥﹣1}．
18．已知函数f（x）=x2﹣x﹣2．求： （1）f（x）的值域； （2）f（x）的零点；
（3）f（x）＜0时x的取值范围． 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）根据二次函数的性质，即可求出值域， （2）根据零点的定义即可求出，
（3）根据一元二次不等式的解法即可求出．
【解答】解：（1）f（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣≥﹣，故f（x）的值域为[﹣，+∞），（2）令f（x）=x2﹣x﹣2=0，解得x=2或x=﹣1，故函数的零点为﹣1，2，
（3）x2﹣x﹣2＜0，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，故不等式的解集为（﹣1，2）．
19．已知直线l1：3x+4y+1=0和点A（1，2），设过A点与l1垂直的直线为l2． （1）求直线l2的方程；
（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积． 【考点】待定系数法求直线方程． 【分析】（1）由题意，设直线l2的方程为4x﹣3y+c=0，代入点A（1，2），可得c，即可求出直线方程．
（2）根据直线方程求出在x轴和y轴的截距，然后根据面积公式即可求出结果．
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【解答】解：（1）由题意，设直线l2的方程为4x﹣3y+c=0， 代入点A（1，2），可得4﹣6+c=0，∴c=2 ∴l2的方程为4x﹣3y+2=0； （2）由l2的方程4x﹣3y+2=0 解得，当x=0时，y= 当y=0时，x=﹣，
所以该直线与两坐标轴围成的面积
=．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】（1）利用ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，证明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2，说明AC⊥CB，证明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1．
（2）设CB1∩BC1=E，说明E为C1B的中点，说明AC1∥DE，然后证明AC1∥平面CDB1．
【解答】（本题满分为14分） 解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， ∴CC1⊥AC…
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2， ∴AC⊥CB … 又C1C∩CB=C，
∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B， ∴AC⊥BC1…
（2）设CB1∩BC1=E， ∵C1CBB1为平行四边形， ∴E为C1B的中点… 又D为AB中点， ∴AC1∥DE…
DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1…
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21．求过点A（2，﹣1），圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程． 【考点】圆的标准方程．
【分析】设出圆的方程，利用已知条件列出方程，求出圆的几何量，即可得到圆的方程． 【解答】解：设圆心为（a，﹣2a），圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2
则
解得a=1，r=
因此，所求得圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2
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