直线与直线方程专题复习

一、知识梳理

1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.

2.斜率公式：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k3. 直线方程的五种形式 直线形式 直线方程 点斜式 y2y1x2x1(x1x2)

局限性 不能表示与x轴垂直的直线 选择条件 ①已知斜率 ②已知一点 y—y1kx—x1 斜截式 两点式 ykxby—y1x—x1y2—y1x2—x1不能表示与x轴垂直的直线 不能表示与x轴、y轴垂直的直线 ①已知斜率 ②已知在y轴上的截距 ①已知两个定点 ②已知两个截距 x1x2，y1y2 不能表示与x轴垂 xy直、与y轴垂直、过 1ab原点的直线 （a、b分别为直线在x轴和y轴上的截距） 已知两个截距（截距可以为负） 截距式 一般式 AxByC0 表示所有的直线 求直线方程的结果均可化为一般式方程 A、B不全为0 7．斜率存在时两直线的平行：l1//l2k1=k2且b1b2. 8．斜率存在时两直线的垂直：l1l2 k1k21．

9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

二、典例精析

题型一：倾斜角与斜率

【例1】下列说法正确的个数是（ ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；

②倾斜角为30的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为tan，则倾斜角为； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

【练习】如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

0

【例2】如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则( )

A．ksinα>0 B．kcosα>0 C．ksinα≤0 D．kcosα≤0 【练习】图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )．

A．k1＜k2＜k3 C．k3＜k2＜k1

B．k3＜k1＜k2

D．k1＜k3＜k2

—1，B4,1的线段总有公共点，求【例3】经过点P1,2作直线l，若直线l与连接A0，直线l的倾斜角与斜率k的取值范围。

-1的直线l与线段AB有公共点，求直线l【练习】已知两点A-3,4，B3,2，过点P2，的斜率k的取值范围。

【例4】若直线l的方程为yxtan2，则（ ） A.一定是直线l的倾斜角 B.一定不是直线l的倾斜角 C.π—一定是直线l的倾斜角 D.不一定是直线l的倾斜角

【练习】设直线axbyc0的倾斜角为，且sincos0，则a、b满足（ ） A.ab1 B.a—b1 C.ab0 D.a—b0

题型二：斜率的应用

【例5】若点A2,2，Ba,0,C0,4共线则a的值为_________________.

11的值为_____________. aby【例6】已知实数x、y满足2xy8，当2x3时，求的最大值为_______，最小

x【练习】若三点A2,2，Ba,0,C0,b ab0共线，则值为_________________

ln2ln3ln5，则（ ） ,b,c124A.abc B.cba C.cab D.bac

【练习】1、若a2x—12、求函数yx的值域.

21

题型三：两直线位置关系的判断

已知，两直线l1,l2斜率存在且分别为k1,k2，若两直线平行或重合则有k1__________k2，若两直线垂直则有k1__________k2.

—23，判断直线【例7】已知直线l1的倾斜角为60，直线l2经过点A1，,3，B—2，l1与l2的位置关系.

，a，B2a,2当a为何值时，直线PQ与直【练习】1、已知点P2,3，Q4,5,A—1线AB相互垂直？

2、已知直线m1经过点A3，a，Ba—2,3，直线m2经过点M3，a,N6,5，若

m1m2，求a的值.

【例8】在平面直角坐标系中，对aR，直线l1:x—2ay10和l2:2axy—10（ ）

A.互相平行 B.互相垂直 C.关于原点对称 D.关于直线y—x对称

【练习】直线3a2x1—4ay80与5a—2xa4y—70垂直，求a的值.

题型四：求直线方程 （一）点斜式

【例9】根据条件写出下列直线的方程： （1）经过点A(1,2),斜率为2；

（2）经过点B（—1,4），倾斜角为135； （3）经过点C（4,2），倾斜角为90； （4）经过点D（—3，—2），且与x轴平行. 已知直线过一点，可设点斜式

，—4，B2,6，C—2,0，ADBC于D,求AD的直线【练习】已知ABC中，A1方程.

（二）斜截式

【例10】根据条件写出下列直线的方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为150，在y轴的截距为—2； （3）倾斜角为45，在y轴上的截距为0.



已知斜率时，可设斜截式： 【练习】求斜率为

3，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程. 4

（三）截距式

【例12】根据条件写出下列直线的方程：

（1)在x轴上的截距为—3，在y轴上的截距为2； （2)在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为—4； 与截距相关的问题，可设截距式

【练习】直线l过点P4,3，且在x轴、y轴上的截距之比为1:2，求直线l的方程.

（四）两点式

【例11】求经过下列两点的直线方程：

（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)

适时应用“两点确定一条直线”

【练习】过点M0,1作直线l，使他被两条已知直线l1:x—3y10和l2:xy40所截得的线段AB被点M平分.求直线l的方程.

【例12】1、已知点A（3,3）和直线l：y（1）经过点A且与直线l平行的直线方程； （2）经过点A且与直线l垂直的直线方程.

35x—.求： 42

2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A（—1,0），B（2,0），C（2,3），试求AB边上的高的直线方程.(思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？）

【例13】已知直线l的斜率为2，且l和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l的方程为________________．

【练习】已知，直线l经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线l的方程为________________

【例14】直线l不经过第三象限，其斜率为k，在y轴上的截距为b（b0），则（ ） A.k0且b0 B.k0且b0 C.k0且b0 D.k0且b0 【练习】两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）

A． B． C． D．