春考数学知识点

2016天津春季⾼考数学知识点⼀、解不等式

1、⼩于零，取中间；⼤于零，取两边例如：(x – 2)(x + 3) < 0 è– 3 < x < 2例如：(x + 1)( x – 4) > 0 è x < – 1或x > 4

2、除法不等式：可以变成“乘法”不等式，前提：要把右侧变成0例如：> 1 => > 0 => < 0 =>(x – 1)(x – 3) < 0 =>1 < x < 33、绝对值不等式

① |x – 1| < 3 => – 3 < x – 1 < 3 => – 2 < x < 4 “⼩于，取中间”② |x – 2| > 1 => x – 2 < – 1或 x – 2 > 1 =>x < 1或x > 3 “⼤于，取两边”4、不等式的解为R、或解为空集的问题

⼀般情况下，利⽤判别式b2– 4ac < 0 (或≤0)进⾏处理。例如：x2– mx + 1 > 0的解为R，求m的取值范围_____△= b2– 4ac = m2– 4 < 0 = > – 2 < m < 2⼆、⼀元⼆次⽅程求根公式

ax2 + bx + c = 0，则求根公式：x1,2 =①当△= b2– 4ac > 0时，有两个实根；②当△= b2– 4ac = 0时，有两个等根③当△= b2– 4ac < 0时，⽆实根三、集合

1、A∩B，表⽰求A、B的公共元素。

例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∩B = {x | 2 < x < 5 }2、A∪B，表⽰将A、B的元素全都合在⼀起，重复写⼀遍。

例如：A = { x | 1 < x < 5 }，A = { x | 2 < x < 6 }，则A∪B = {x | 1 < x < 6 }3、C u A，表⽰在全集U中求A的补集。

例如：U = {1，2，3，4，5，6}，A = {2，4，5}，则C u A = { 1，3，6 }三、⼀元⼆次函数

1、f(x) = ax2+ bx + c (a≠0)对称轴x0 =

2、x⽆范围时，f(x)的最⼤值或最⼩值，只需将x0代⼊f(x)可得最⼤值或最⼩值：①a > 0，开⼝向上，f(x0)为最⼩值；②a < 0，开⼝向下，f(x0)为最⼤值

3、若x有范围，则画出f(x)的⽰意图，再将x的范围标上，找f(x)的最⾼和最低值即可

例如：y = x2– 4x + 5，x∈[ 1,4]，求函数的最⼤值和最⼩值。

⽰意图如右，对称轴为x = 2，标出x的范围，可以看出：y min = f(2) = 1，y max = f(4) = 5四、指数与指数函数1、运算性质

a0 = 1，a m a n = a m+n，(a m)n = a mn，(ab)n = a n b n，，，，2、单调性

f(x) = a x ( a > 0，a≠1)当0 < a < 1时，f(x)为下降；当a > 1时，f(x)为上升；例如：解不等式：22x – 1 <

不等式可以化为：22x – 1 < 2–2，因为a = 2为上升的，所以：2x – 1 < – 2，得x < – 1/2五、对数与对数函数1、运算性质

a b = N < == > log a N = b，当a = 10时，log a N = lgNlog a MN = log a M + log a N，log a= log a M - log a N，log a1 = 0，log a a = 12、实⽤性质：

log a b == >当a、b同时⼤于1或同时⼩于1，则log a b > 0log a b == >当a、b中⼀个⼩于1，另⼀个⼤于1，则log a b < 0例如：< 0；> 0等。3、单调性

f(x) = log a x ( a > 0，a≠1)当0 < a < 1时，f(x)为下降；当a > 1时，f(x)为上升；六、常⽤函数

1、正⽐例函数：y = kx (k可正可负)例：正⽐例函数f(x)过点(2，6)，求f(1)

解：设y = kx，代⼊点(2，6)，得6 = 2k，∴k = 3，∴y = 3x，所以y(1) = 32、反⽐例函数：y = (k可正可负)，同法同上类似。3、⼀次函数：y = kx + b

也表⽰直线，其中k为斜率，当k > 0时，上升；当k < 0时，下降。七、定义域求法1、分母不为0

2、偶次根式内要⼤于等于03、对数内的式⼦要⼤于0

例如：求y =定义域。根据上⾯法则得：，即可求出定义域。⼋、奇函数与偶函数1、偶函数：f( – x ) = f( x )①偶函数的图像关于y轴对称；

②偶函数求参数问题，可以取x = 1进⾏求解参数。例如：已知f(x) = ( x – m )( x + 3 )为偶函数，求m

解：可以取x = 1，利⽤f(– 1) = f(1)求m，f(–1) = 2(–1 – m) = – 2 – 2m，f(1) = 4(1 – m) 由f(– 1) = f(1)，可得m = 3③常见的偶函数：y = x2，y = cosx，y = | x |2、奇函数：f( – x ) = – f( x )

①奇函数的图像关于原点对称（即斜对称）；②若f(0)有意义，则f(0) = 0

③奇函数求参数问题：可利⽤f(0) = 0求解参数；若f(0) = 0求解失效，可取x = 1求解参数。例如：已知f(x) =为奇函数，求m

解：取x = 0，利⽤f(0) = 0求m，f(0) = m – 2 = 0，可得m = 2④常见的奇函数：y = x，y =，y = x3，y = sinx，y = tanx九、向量

1、设向量a，则| a |表⽰向量a的模，即向量a的长度。2、向量平⾏于垂直定理：①若a、b平⾏，则a = k b②若a⊥b，则ab = 03、a2 = | a |2

4、向量夹⾓公式：，其中θ为两向量的夹⾓。

说明：只要题⽬中牵涉到⾓的问题，则必须⽤上⾯的公式。5、向量的坐标运算：设a = (x1，y1)，b = (x2，y2)①a±b = (x1±x2，y1±y2 )②ab = x1x2 + y1y2③ | a | =

④设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量=(x2– x1，y2– y1)④若a // b，则：x1y2 = x2y1，若a⊥b，则：ab = x1x2 + y1y2 = 0例1：a = (m + 1，3)，b = ( - 2m，8)，若a⊥b，求m。

解：因为垂直，所以ab= 0，∴- 2m(m + 1) + 24 = 0，解得m = 3或m = - 4⼗、数列1、等差数列

①通项公式：a n = a1 + (n – 1)d

②前n项和公式：Sn =，⼀般情况下，均利⽤第1个公式。

③等差中项：若a、b、c为等差数列，则a + c = 2b，b称为等差中项。说明：做等差题⽬，只需将题⽬中的有关数，全都更换为a1和d，即可求解。2、等⽐数列

①通项公式：a n = a1 q n - 1

②前n项和公式：Sn =，⼀般情况下，均利⽤第1个公式。

③等⽐中项：若a、b、c为等⽐数列，则ac = b2，b称为等⽐中项。

说明：做等⽐题⽬，只需将题⽬中的有关数，全都更换为a1和q，再利⽤除法运算可求解。⼗⼀、排列、组合

1、排列：= n(n –1)…(n – m + 1)，即从n开始向下乘，共乘m个数。2、组合：=，其中分⼦是从n开始向下乘，共乘m个数。

说明：如果顺序变化，结果不相同，则为排列；若结果与顺序⽆关，则为组合。3、常见排列：站队、排值⽇、组成3位数字、选课代表、选班长等。4、常见组合：任取⼏个球、任取⼏个⼈、任取⼏件产品等均为组合。5、排列组合的常见模型

①捆绑法：例如6个⼈站队，甲、⼄需要相邻，有多少种站法？

可以将甲、⼄捆绑为1⼈进⾏处理，相等于5⼈，共有种站法，其中甲、⼄两⼈之间还可以排列，所以共种站法。②插空法：例如5男3⼥站队，要求⼥⽣不相邻，求排法？先排男⽣，产⽣6个空位，再从6个空位选择3个给⼥⽣，所以为③骰⼦题⽬：只需列出36种可能，再按照题⽬要求进⾏排查即可。

④住房问题：例如：4⼈住3个不同房间，每个房间⾄少⼀⼈，共有多少种住法？

同⼀个房间的⼆⼈⽆顺序，因此，先要绑定⼆⼈，相当于3⼈，再安排到每个房间，所以共有住法⼗⼆、概率、统计1、概率

①排列组合算概率：概率p = 相关数 / 总数②概率算概率：这类题⽬⼀般不需要排列。

例如：甲投篮命中率为0.9，⼄命中率为0.8，两⼈各投⼀次，求⾄少⼀⼈命中的概率。所求为：甲命中·⼄未命中 + 甲未命中·⼄命中 + 甲⼄均命中= 0.9×0.2 + 0.1×0.8 + 0.9×0.8 = 0.98

处理这类题⽬，⼀定将过程弄清楚，过程清楚了，式⼦⾃然就出来了。③伯努⼒公式：

设单次试验发⽣的概率为p，则重复做n次试验，恰好发⽣k次的概率：特点：连续试验，恰好发⽣k次。

例如：投篮命中率为0.9，现连续投篮3次，则恰好投中两次的概率是多少？解：此题为伯努⼒题型，n = 3，k = 2，p = 0.9所以：p = = 0.243

其中各组⼈数即为频数。频率也是百分⽐，或概率。④频率直⽅图频率直⽅图左侧的此，

组距

注意：左侧的所有数之和30°45°60°120°135°150°---三⾓

函数：设⾓α终边上⼀点P(x ，y)，r =，则：sinα = cosα = tanα =4、同⾓三⾓函数关闭sin 2α + cos 2α = 1 tanα =

5、诱导公式：纵变横不变，正负看象限

纵变横不变：若⾓为纵⾓，如，等，诱导时就需要变，sinα，cosα之间变。

例2：cos(+ α)，因为π/2为纵⾓，所以需要变为sinα，⼜因为π/2 + α表⽰第⼆象限，余弦在第⼆象限为负的，因此，诱导结果为：cos(+ α) = - sinα

②cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ③tan(α + β) = tan(α – β) =

②cos2α = 2cos α – 1 = 1 – 2sin α = cos α – sin α③tan2α =--