40.中考数学专题24.3 正多边形和圆讲练(原卷版)

专题24.3 正多边形和圆

典例体系（本专题共77题52页）

一、知识点

1、正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示

2、特殊正多边形中各中心角、长度比：

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中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△ a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2

二、考点点拨与训练

考点1：正多边形的边数计算典例：（2020·江苏宿豫·初三期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）

A．6

方法或规律点拨

B．8 C．10 D．12

本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数． 巩固练习

1．（2020·上海市建平中学西校初三月考）如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是（ ）． A．4

B．5

C．6

D．7

2．（2020·云南麒麟·初三一模）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ） A．正五边形

B．正八边形

C．正十边形

D．正十八边形

3．（2019·河北初三月考）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为3:2，则这个多边形的内角和为（ ） A．720

B．360

C．240

D．180

4．（2020·上海浦东新·初三二模）如果一个正多边形的中心角等于72，那么这个多边形的内角和为（ ） A．360

B．540

C．720

D．900

5．（2019·浙江温州·初三月考）一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是( ) A．6

B．5

C．4

D．3

6．（2019·福建莆田八中初三期末）若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( ) A．6

B．12

C．16

D．18

7．（2020·湖北仙桃·月考）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内

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接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .

8．（2019·河北路南·初三三模）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____．

9．（2019·全国初三课时练习）如果正n边形的中心角是40°，那么n=_______. 考点2：正多边形的有关计算

典例：（2020·江西九江·初三其他）在下列正多边形中，O是中心，定义：OBC为相应正多边形的基本三角形．如图1，OBC是正三角形ABC的基本三角形；如图2，OBC是正方形ABCD的基本三角形； 如图3，将基本OBC绕点O逆时针旋转角度得OBC．OBC为正n边形ABCDEF…的基本三角形．

（1）若线段BC与线段BC相交点O，则： 图1中的取值范围是________； 图3中的取值范围是________； （2）在图1中，求证BOOC

（3）在图2中，正方形边长为4，135，边BC上的一点P旋转后的对应点为P，若BPOP有最小值时，求出该最小值及此时BP的长度； （4）如图3，当BCOC时，直接写出的值． 方法或规律点拨

本题属于多边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 巩固练习

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1．（2020·云南盈江·初三学业考试）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则SS1的值为（ ）（3.14）

A．0 B．0.14 C．0.5 D．1

2．（2020·河北遵化·初三三模）如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形

CFGHMN，若AB3，则EG的长为（ ）

A．2

B．22 C．3

D．23 3．（2018·甘肃静宁·初三期末）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于________度．

4．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）正十边形的一个中心角的度数是_____°．

5．（2020·东莞外国语学校二模）如图，要拧开一个边长为a8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为__________mm．

6．（2020·西安高新一中沣东中学初三三模）如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝_____度．

7．（2020·山东曹县·初三三模）如图，正五边形ABCDE内接于

O，P为AB上一点，连接PA,PE，则

APE的度数为__________.

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8．（2020·贵州紫云·初三期末）圆内接正六边形一边所对的圆周角的度数是__________． 9．（2020·山东岚山·初三其他）若正六边形的边长是5，则其较长的一条对角线长为_______． 10．（2020·湖南新邵·初三月考）如图所示，正六边形ABCDEF内接于的度数是___________．

O，连接AD，FD，则FDA

11．（2020·扬州中学教育集团树人学校初三二模）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝_______°．

12．（2020·浙江三门·初三其他）如图，⊙O的半径为r，则它的内接正六边形ABCDEF的周长为____．

13．（2020·江苏东台·月考）已知⊙O的半径2，则其内接正三角形的面积为 ． 14．（2020·浙江绍兴·月考）如图，

O为等边ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与

点A,B重合），连接DA，DB，DC．

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（1）求证：DC是ADB的平分线；

（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，

DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．

考点3：与正多边形有关的作图问题

典例：（2020·全国初三课时练习）已如：⊙O与⊙O上的一点A

（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．

方法或规律点拨

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质． 巩固练习

1．（2020·河北青县·初三二模）如图，AD为下：

甲：1．作OA的中垂线，交圆O于B,F两点；2．作OD的中垂线，交圆O于C,E两点；3．顺次连接

O直径，作O的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如

A,B,C,D,E,F六个点，六边形即为所求；

乙：1．以A为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于B,F两点；2．以D为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于C,E两点；3．顺次连接A,B,C,D,E,F六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）

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A．甲对，乙不对 C．两人都不对

B．甲不对，乙对 D．两人都对

2．CE，（2019·云南官渡·二模）如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AE，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．

2+1 B．+2 C．+4 D．2+1

3．（2020·日喀则·一模）下列命题是假命题的是（ ） A．半径为R的圆内接正方形的边长等于2R B．正六边形的每个中心角都等于60° C．正八边形是轴对称图形 D．正七边形是中心对称图形

4．（2020·天津南开·初三期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）

A．5cm B．53cm C．35cm D．103cm

5．（2020·江西赣州·初三）如图，某同学在一个边长为a的正六边形内，随意摆放两个相同的斜边长为a、S空白 是（ ）含有60°角的直角三角板，则． S阴影 16 / 19

A．6 C．4

B．5 D．3

6．（2020·福建厦门一中初三二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，那么圆O的面积估计值是（ ） A．3

B．23 C．π

D．2π

7．（2020·江西新余·初三一模）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．

（1）在图1中，过点O作AC的平行线； （2）在图2中，过点E作AC的平行线．

8．（2020·湖北江汉·三模）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. （1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：

①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;

②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

9．（2020·江西吉安·初三其他）如图， 已知多边形ABCDEF中，ABAF，DCDE，BCEF，

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ABCBCD，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.

(1)在图①中，画出一个以BC为边的矩形；

(2) 在图②中， 若多边形ABCDEF是正六边形，试在AF上画出点M，使AMAF

10．（2020·江苏海陵·初三一模）在8×6的正方形网格中，正方形边长为1单位，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图．

(1)在图1中画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点均在格点上； (2)在图2中画一个以点C为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与△ABC

面积相等．

考点4：同圆（正多边形）与多个正多边形（圆）问题

典例：（2020·全国初三课时练习）如图，⊙O的半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P,Q同时分别从A,D两点出发，以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动，连接PB,QE,PE,BQ．设运动时间为

ts．

（1）求证：四边形PBQE为平行四边形； （2）填空：

①当t________s时，四边形PBQE为菱形； ②当t_________s时，四边形PBQE为矩形． 方法或规律点拨

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本题主要考查平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，涉及动点问题，掌握各图形的性质及判定方法是解题关键． 巩固练习

1．（2020·湖北随州·）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ） ．．．

A．hRr B．R2r C．r3a 4D．R3a 32．（2020·浙江龙湾·初三学业考试）如图，PQR是方形，BC//QR，则QOB的度数是（ ）

O的内接正三角形，四边形ABCD是O的内接正

A．30 B．20 C．18 D．15

3．（2019·河南初三其他）如图，在半径为6的⊙O中，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．27﹣93 B．183 C．54﹣183 D．54

4．（2020·曲靖市马龙区通泉中学初三其他）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC、CD别相交于点G、H．若AE＝6，则EG的长为（ ）

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A．3 B．3﹣3 C．2 D．23﹣3

5．（2017·天津和平·初三三模）如图，ABC和DEF分别是们的面积比为（ ）

O的外切正三角形和内接正三角形，则它

A．4 B．2 C．3 D．2

6．（2019·上海交大附中初三）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．

7．（2020·四川马边·初三二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为________．

8． （2020·湖北巴东·月考）如图，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则∠FBC＝__________．

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9．（2020·四川青羊·初三二模）如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1，又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为_____．

10．（2017·天津和平·初三一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为_____．

11．（2020·全国初三课时练习）如图，

O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．

1正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______； 2连接BE，BE是否为

O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．

考点5：正多边形的图形变换问题

典例： （2019·江苏六合·初三月考）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是_____．

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方法或规律点拨

本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度． 巩固练习

1．（2020·江苏南京·初三一模）如图，将正六边形ABCDEF绕点D逆时针旋转27°得正六边形A′B′C′DE′F′，则∠1＝___°．

2．（2020·全国初三课时练习）如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

3．（2020·全国初三课时练习）如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（ ）

A．12° B．16° C．20° D．24°

4．（2020·福建省泉州实验中学初一期中）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，

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还需（ ）个五边形完成这一圆环．

A．6 B．7 C．8 D．9

5．（2020·河北滦州·初三一模）如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（ ）

A．30 B．36 C．72 D．90

6．（2019·湖北洪山·初三期中）下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ） A．正方形 C．正六边形

B．正五边形 D．正八边形

7．（2020·浙江余杭·育海外国语学校初三一模）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（ ）

A．0.5 B．0.7

C．2﹣1

D．3﹣1

8．（2020·浙江临安·初三期末）如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是（ ）

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A．100° B．80° C．60° D．50°

9．（2019·河北迁安·初三一模）如图，将边长为5的正六边形ABCDEF沿直线MN折叠，则图中阴影部分周长为（ ）

A．20 B．24 C．30 D．35

10．（2020·江苏镇江市索普初级中学月考）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧AD的度数等于（ ）

A．40° B．50 C．80° D．100

11．（2016·石家庄市第九中学初三二模）如图，边长为3的正六边形ABCDEF的顶点A、B在圆O上，顶点C、D、E、F在该圆内，∠AOB＝36°，将正六边形ABCDEF绕点A逆时针旋转，当点F第一次落在圆上时，点E运动的路线长是_____（结果保留π）．

考点6：与正多边形有关的阴影面积计算

典例：（2019·河北初三二模）如图在正六边形ABCDEF中，有两点P,Q同时、同速从AB中点M出发，P沿ABBCCDDEEF方向运动，Q点沿AB方向指向运动，10秒后，两点与多边形中心连线及多边形（延长线）所围成图形的面积如图（阴影部分的面积）有两部分为S1,S2，则S1,S2之间的数量

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关系是（ ）

A．S1S2 方法或规律点拨

B．S1S2

C．S1S2 D．2S1S2

本题考查正多边形与圆，多边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 巩固练习

S阴影1．（2019·黑龙江南岗·初三其他）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则的值为

S空白（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．（2020·浙江湖州·初三二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（ ）

A．33 B．43 C．33 2D．23 3．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG的面积为4，则五边形ABCDEF的面积为（ ）

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A．6 B．8 C．10 D．12

4．（2020·富顺第三中学校初三二模）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）

A．

4 5B．

3 4C．

2 3D．

1 25．（2019·云南官渡·初三二模）如图，O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AE，CE．若半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．

O的

A．

21 B．2 C．4 D．21

6．（2019·湖北黄冈·初三）如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于（ ）．

A．51 2B．

2 2C．

1 3D．

1 27． 如图，G，H分别是AB，CD的中点，（2019·福建思明·厦门一中初三一模）正六边形ABCDEF中，△AGF绕正六边形的中心经逆时针旋转后与△CHB重合，则旋转角度是（ ）

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A．60° B．90° C．120° D．180°

9．（2020·广西田东·初三一模）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____．

10．（2020·河北初三二模）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为_______．

11．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为__．

12．（2020·山西寿阳·初三期末）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为123cm2，则⊙O的半径为______．

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14．（2019·衡阳市逸夫中学）如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为123，正六边形的周长为______．

15．（2020·江苏铜山·初三期中）如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为______________．

16．（2020·山东济宁·初三月考）如图，正六边形ABCDEF内接于形ABCDEF的面积是__________．

O，若ADE的面积是4，则正六边

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