圆的方程讲义

知识梳理：

一、圆的标准方程

1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径． 2．确定圆的几何要素：

(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．

(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个条件．

3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为：(x－a)＋(y－b)＝r，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x＋y＝r. 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)＋(y－b)＝r的位置关系．

2

2

22

2

2

2

2

2

P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2， P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2， P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2二、圆的一般方程

D2E2D＋E－4F.

1．圆的一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得x＋＋y＋＝

422

2

2

22

E122D22

(1)当D＋E－4F>0时，方程表示以－，－为圆心，D＋E－4F为半径的圆；

222

22

(2)当D＋E－4F＝0时，方程表示一个点－，－；

22

(3)当D＋E－4F<0 时，方程没有实数解，它不表示任何图形．

2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0 .

3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是： P在圆内⇔P在圆上⇔ P在圆外⇔

4．求轨迹方程的五个步骤：

(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0； (4)化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；

(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

， ， .

2

2

DE

典型例题：

类型一 圆的标准方程

例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．

2222

(1)x＋y＝2； (2)(x－3)＋y＝4；

2222

(3)x＋(y－1)＝9； (4)(x＋1)＋(y＋2)＝8.

练习1：已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：

(1)圆心在x轴上； (2)圆与y轴相切；

(3)圆过原点且与y轴相切； (4)圆与两坐标轴均相切．

练习2：已知圆C的方程为x5y610，试判断点M6,9,N3,3,Q5,3是在圆上，

22圆内，还是在圆外？

例2：过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是( )

2222

A．(x－3)＋(y－3)＝2 B．(x＋3)＋(y＋3)＝2

C．(x－3)＋(y－3)＝2 D．(x＋3)＋(y＋3)＝2

练习1：求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．

练习2：求满足下列条件的方程

2

2

2

2

（1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C3,4上，半径半径是5； （3）圆心在直线5x3y8上，又圆与坐标轴相切

练习3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．

类型二 圆的一般方程

2222

例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m＋m－1)x＋(m－m＋2)y＋m＋2＝0表示一个圆？

222

练习1：已知方程x＋y＋2mx－2y＋m＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．

练习2：xyxyR0表示一个圆，则R的取值范围是（ ） A．,2 B．,2 C．,2211, D． 22

例4：已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．

练习1：求过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．

练习2：ABC的三个顶点坐标分别为A1,5,B2,2,C5,5，求其外接圆的方程．

例5：等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

练习2：已知动点M到定点8,0的距离等于M到2,0的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是（ ）

A．xy32 B．xy16

C．x1y216 D．x2y116

222222小练习：

1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足( )

A．是圆心 B．在圆上

C．在圆内 D．在圆外 2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为( )

A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4

3．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是( )

A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100

1

4．圆x2＋y2－2x＋y＋＝0的圆心坐标和半径分别是( )

4

11

A．(－1，)；1 B．(1，－)；1

221616C．(1，－)； D．(－1，)； 2222

5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )

22

A．a<－2或a> B．－33

2

C．－23

6．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( )

A.2π C．22π

B．2π D．4π

7. 若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.

8. 点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________ 9.求经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)的圆的标准方程．

课后练习：

1－t22t221．点P2，1＋t2与圆x＋y＝1的位置关系是( ) 1＋t

A．在圆内

C．在圆上

B．在圆外 D．与t有关

2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )

A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5

D．x2＋(y＋2)2＝5

3．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )

A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在

4．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于( )

A．10 B．－10 C．20 D．－20

5．过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25 B．(x－1)2＋(y－3)2＝2 C．(x－5)2＋(y－5)2＝25 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1

6．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是( )

A．5－10

B．5＋10

C.10 D．10

7. 一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0上的最短路程是( )

A．4 B．5

C．32－1

D．26

8.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________． 9.经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．

10．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．