＿Ｊ田 新课标下数学概念教学的几点分析 考 ， ．、 曹敬波 （遵化市堡子店中学，河北遵化摘要：概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是 基础知识和基本技能教学的核心．正确理解概念是学好数学 的基础．学好概念是学好数学最重要的一环 教师在进行数学 概念的教学时，要注重概念的本源，概念产生的基础，注重思 维品质的培养，针对概念的特点采用灵活的教学方法 关键词：数学概念数学素养思维品质 ０６４２０５） 数学是由概念与命题等内容组成的知识体系 、它是一门 以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。因此概 念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基 本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概 念是学好数学最重要的一环。～些学生数学之所以差，概念不 清往往是最直接的原冈，数学素养差的关键是在对数学概念 的理解、应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学是提高 中学数学教学质量的具有根本性意义的一环。在教学过程中 如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机， 提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的。从一定意义 上说，数学水平取决于对数学概念掌握的程度。教师在进行数 学概念的教学时有以下几个注意点。 １．注重概念的本源。概念产生的基础 由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统 教学往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以 “告诉”为主，让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思 维产生依赖性，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途 径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那 样去“想数学”．“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概 念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数 学教学中起着举足轻重的作用．我们应重视在数学概念教学 中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形 成概念的基础。在概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生 依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想 象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没 有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表 现形式的最高层次．属于创造性想象，是推动数学发展的强大 动力．因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成 数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本条件，也是培 养创造性思维的重要因素。 ２．概念的教学中注重思维品质的培养 如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开 发学生的思维品质，是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题。 （１）展示概念背景，培养思维的主动性。思维的主动性表 现为学生对数学充满热情，以学习数学为乐趣，在获得知识时 有一种惬意的满足感。（以正方体为例，观察异面直线，揭示了 异面直线所成的角出现的背景．将数学家的思维活动暴露给 学生．使学生沉浸于对新知识的期盼、探求的情境之中，积极 的思维活动得以触发。） （２）创设求知情境，培养思维的敏捷性。思维的敏捷性表 现在思考问题时敏锐地感知．迅速提取有效信息，进行“由此 思彼”的联想，果断、简捷地解决问题。 （３）精确表述概念，培养思维的准确性。思维的准确性是 指思维符合逻辑，判断准确，概念清晰。新概念的引进解决了 导引中提出的问题。学生在参与形成和表述概念的过程中能培 养抽象概括能力。（用相交直线的夹角刻划异面直线的夹角。） （４）解剖新概念，培养思维的缜密性。思维的缜密性表现 在能抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系有全 面深刻的理解．对数学知识结构的严密性和科学性能够充分 认识。（两异面直线所成角的概念完全建立，在这个过程中渗 透把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。） 满．具体而生动的。 情绪性突出，观察事物往往比较粗略，缺乏精细的辨别能力。 针对学生观察过程中的特点．我利用一些电教手段，指导学生 如何观察。 （一）人们从事一项活动，总要按照合理的顺序进行，观 察活动也是如此。记得在指导写《我喜爱的一种小喜动物》一 文时，我从学校找到了《小白兔》的录像。首先让学生明确观 察的目的要求：观察小白兔的外貌特征。然后指导学生进行 有顺序的观察。先整体到部分地观察，指导学生观察白兔外 形时．录像采用定格，把最能显示小白兔样子的镜头“定下 来” 学生们都不约而同地大声说：“全身雪白的小白兔，真惹 人喜爱 ”然后再指导学生按从上到下、从头到尾、从左到右、 由远到近的顺序进行观察。在指导过程中，强调观察的顺序。 各部分仔细观察之后，再把录像完整地放一遍，配上音乐和 旁白，从整体上加深观察印象，最后训练学生说一说，再写下 来 通过指导，学生观察事物变无序为有序，为作文奠定了坚 实的基础。 （二）观察与联想相结合。小学生天真活泼，最富于想象 力，我们应正确诱发学生的联想，使联想与观察有机地结合起 来，这样学生感知到的事物才有神。平时在讲读课文教学中， 多用投影，引导学生欣赏优美句子，启发他们想象；多用录音， 借用一些与课文感情一致的音乐，进行配乐朗读。学生会有身 临其境之感，想象的翅膀会飞得很远很远．然后在脑际展现出 幅幅无限宽广的图画。这样写 来的文章才可能是内容丰 一三、善于积累养成良好的观察习惯 小学生日常接触到家庭、学校、社会中许多有情趣的事 情，但大都缺乏有意观察的习惯而未能积累下来，因此，我们 要培养他们从周围生活中积累素材，养成勤于观察的习惯。 （一）鼓励学生写生活日记，把生活中自己认为有意义、 有趣的、感受深的事物记下来，并把有新意的题材给学生讲 评．从而启发学生要善于留心观察生活，从生活中汲取作文 材料。 （二）鼓励学生广泛 读，博览群书。在看书的过程中善于 观察．发现名词佳句，可以写一写、说一说、背一背，摘抄与积 累，便于为己所用。收看趣味性、知识性较强的电影、电视节 目．开阔视野，丰富知识，写好收看心得。 总之，只有充分重视观察能力的培养，才能提高学生的作 文水平，使学生乐学乐写，常写常新。另外，在观察中还可以让 学生复述观察到的事物特点．或按事物特点列提纲、写观察日 记等．来培养学生的观察和善于抓住事物特点的能力。 上述几点．不能孤立运用，或侧重于某一点，在作文教学 中一定要注意互相渗透，综合利用，使作文训练系统化、科学 化，同时要想方设法多为学生创设观察条件和机会，培养学生 的良好的观察习惯、观察兴趣、观察方法，使学生的观察能力 逐步得到提高。随着学生观察能力的提高，学生的作文就能做 到言之有物．内容丰富多彩 考试周刊２ｏ１１年第９期 谈分类讨论题结论的归纳方式 金战龙 （长葛市第三高级中学，河南长葛４６１５００） 分类讨论是每年高考考查的重要思想方法之一，一些文 例３：若对于任意的ｘ∈［一２，１］时，不等式ｔｘ≤ｘ‘＋ｌ恒成立， 章对此作了大量的探讨，中学教师更是反复渗透，多次训练。 但即便通过教师指导与训练，大部分学生（包括一些成绩优秀 求实数ｔ的取值范围． 的学生）在分类讨论求得某个字母取值范围之后，仍不能正确 解：（１）当ｘ∈［－２，Ｏ）时，不等式即ｔ≥ｘ＋一１，而ｆ（ｘ）：ｘ＋ 使用结论归纳方式，而留下最后一点遗憾。本文旨在说明几种 Ｘ 常见的结论归纳方式及区分方法。 在［－２，０）上的最大值为ｆ（一１）：２，故ｔ≥ ＋ 恒成立，则需 Ｘ Ｘ 一般的，利用分类讨论求某个字母的取值范围之后，常见 的有三种结论归纳方式：并列形式、并集形式、交集形式。我们 ｔ≥一２： 把后两种合称为集合运算形式。 （２）当ｘ＝Ｏ时，无论ｔ取什么实数，不等式都成立，即ｔ∈Ｒ； １．并列形式 （３）当ｘ∈（０，１］时，不等式即ｔ≤ｘ十一１，而ｆ（ｘ）：ｘ＋ 在（０ 将分类讨论的结果用并列复句的形式给出。基本格式为： Ｘ Ｘ 当ＸＸＸ时，有ＸＸＸ；当ＸＸＸ时，有ＸＸＸ。 １］上的最小值为ｆ（１）＝２，故ｔ≤ｘ十 恒成立，则需ｔ≤２． 例１：求函数Ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ＋１）‘一＿三Ｉ的值域． Ｘ ２ ４ 综上所述，ｔ的取值范围是［一２，＋∞）ｎ（一 ，２］，即［一２，２］． 解：当ａ＞Ｏ时，函数值域为［一＿三Ｉ，＋。。）； 事实上．学生主要的困难在于是用并列形式还是用集合 ４ 运算形式。 通过上述分析．参考更多的例子，我们容易发现三种结论 当ａ＝Ｏ时，函数值域为ｆ一二｝； ４ 归纳方式的简易的区分办法。 在题设Ｐ（ａ，ｘ，Ｙ）中，ａ是常量，ｘ、ｖ是变量或未知量，且ｙ随ｘ 当ａ＜Ｏ时，函数值域为（一 ，一二］． ４ 的变化而变化。对结论的归纳方式，主要看被讨论量与所求量 ２．并集形式 的关系 一般的，如果针对常量分类讨论而求变量Ｘ（或Ｙ）的范 对每类的结果求并集作为最后的结论。基本格式为：符合 围．常常把每类的结果以并列形式写出，如例１；如果被讨论量 题设的结论为Ｐ．ＵＰ，。 与所求量一致，则常常把每类的结果求并集作为最后结果，如 例３的解法二：如果针对变量Ｘ分类讨论二次变量ｖ或者常量ａ 例２：求函数ｖ＝ｆ（ｘ）＝ｘ ＋Ｉｘ一２ｌ的值域． 的范围，则常常用集合运算形式给出结果，如例２、例３的解法 解：当ｘ≥２时，ｆ（ｘ）＝（ｘ＋÷） ÷，此时ｙ≥４； 一 至于是用交集形式还是用并集形式，这不难由题意及交 集、并集的意义区分。当然变量与常量是相对的关系，即使在 ￣ｉｘ＜２Ｈ￣．ｆ（ｘ）＝（ｘ一丢） 一 ７，ｌｉｔＩｔ￣ｙ≥；． 同一道题目里，这种相对关系也可以发生变化，这就需要细 心。如：“已知ａ ［一２，１］Ｕ（１，５），求关于ｘ的方程 －ａ＋３＝ｏ 综上所述，ｆ（ｘ）的值域为［４，＋ ）ｕ［÷，４ ＋ ），即［÷，４ ＋。。）． 的解的取值范围。”在这个问题中，只考虑求根，ａ是常量，但考 ３．交集形式 虑解ｘ＝Ｉａ—ＩＩ（ａ一３）的取值范围时，ｘ是随着ａ的变化而变化，此时， 对每类的结果求交集作为最后的结论。基本格式为：符合 应把ａ当成变量。依上所述，分类求ｘ的范围后，需把每类的结 题设的结论为Ｐ，ｆ３ Ｐ１。 果求并集。 （５）运用新概念，培养思维的深刻性。思维的深刻性主要 在教学时应先列举大量具体的例子，从学生实际经验的肯定 表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联 例证中。归纳出这一类事物的特征，并与已有的概念加以区 系，准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围。在用概念判 别和联系，形成对这一特性的一种陈述性的定义，这就是形 别命题的真伪时，能抓住问题的实质：在用概念解题时，能抓 成一种概念的过程。在这一过程中同时要做到与学生认知结 住问题的关键。巩固深化阶段：在学生深刻理解数学概念之 构中原有概念相互联系、作用，从而使学生领会新概念的本 后，应立即引导学生运用所学概念解决“引入概念”时提出的 质属性，获得新概念，这就是概念的同化。在进行数学概念教 问题（或其他问题），在运用中巩固概念，使学生认识到数学概 学时．最能有效促进学生创新能力的主要是对实例的归纳及 念，既是进一步学习数学理论基础，又是进行再认识的工具。 辨析。通过对实例的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性 如此往复，使学生的学习过程成为实践、认识、再实践、再认识 的理解．继而与原有的知识结构相互联系，完成概念形成的 的过程，达到培养思维深刻性的目的。 两个步骤。 （６）分析错解成因，培养思维的批判性。思维的批判是指 搞好数学概念的教学，使学生透彻地牢固地掌握数学 思维严谨而不疏漏，能准确地辨别和判断，善于觅错、纠错．以 概念是提高数学教学质量的关键所在．数学教师首先应该 批判的眼光观察事物和审视思维的活动。 认识到数学概念教学同加强数学基础知识教学，培养学生 ３．针对概念的特点采用灵活的教学方法 运用数学知识解决实际问题的能力，以及发展学生逻辑思 对不同概念的教学．在采用不同的教学方法和模式上下 维和空间想象能力的关系，在思想上重视它，这样在教学时 工夫。概念教学主要是要完成概念的形成和概念的同化这两 就会目的明确．方法对头．既不会造成为概念而教学，又不 个环节。新知识的概念是学生初次接触或较难理解的，所以 会顾此失彼 ５７
