实变函数习题解答(2)-推荐下载

0中有异于P0的点P1 。

存在，使U(P，)E。

P0，1)E，故P0E 。

E2，E2 。

，E3 。上的点作成的集合，求E3=，在U(P0，)中不含异于P0的点属于E，这与条件矛盾。

中至多有有限个异于P0的点X1，X2，…，Xn属于E，令mind(P0，xi)

P0，1)中含于无穷多个属于E的点，其中必有异于P0的点P1，即U(P，)

1=- d(P0，P)>0，则U(P0，1)U(P，)。因为P0E，所以，在U(

则d(P0，P)<，令1=- d(P0，P)，则U(P0，1)U(P，)，从而U(

而P0E的充要条件则是有含P0的邻域U(P，)（同样，不一定以P0为中心）

96。P0为中心）中，恒有异于P0的点P1属于E（事实上，这样的P1还有无穷多个）

980n000E2={(x，y)|x2+y2<1}，

={(x，y)|x2+y2≤1}，解：E2解：E1=[0，1]，E1=，E1=[0，1] 。

E2={(x，y)|x2+y2≤1}。

第二章 习题解答

1sin4、设Rn=R2是普通的xoy平面，E3是函数y=x0，3、设Rn=R2是普通的xoy平面，E2={(x，y)|x2+y2<1}，求E2必要性，设U(P，)是任意一个含有P0的邻域，则d(P0，E)<，令

1、证明P0E的充要条件是对任意含有P0的邻域U(P，)（不一定以

2、设R=R是全体实数，E1是[0，1]上的全部有理点，求E1，E1，E1

证明：（1）充分性，用反证法，若P0E，则P0的某一邻域U(P0，0)

（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有P0的邻域U(P，)E，9701in当x00当x0的图形

的和集。

G－F＝GCF是开集，F－G＝FCG是闭集。

100E3=E1=020E1=E1解：E1={(x，0)|0≤x≤1}

={(x，y)|x≠0，y=sin解：E311n10yF1x6、证明点集F为闭集的充要条件是F＝F 。

5、在R中看第2题的E1，E1，E1各是由哪些点构成的。

}{(0，y)|-1≤y≤1}

x0Gn，有d(x0，F)<，即infd(x0，y)<，所以y0F，使

证明：设G是一开集，F是一闭集，则CG是闭集，CF是开集，所以

必要性，若F为闭集，则FF，所以FF＝F，即F＝F 。

8、设f(x)是（－∞，＋∞）上的实值连续函数，则对于任何常数a，

99E＝{x|f(x)>a}是开集，而E1＝{x|f(x)≥a}是闭集。证明：充分性，若F＝F，则FF＝F，故FF，即F为闭集。

7、证明开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集。

d(x0，y0)＝a，即U(x0，)E，所以x0是E的内点，故E是开集。同理可证{x|f(x)

9、证明每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集可以表示成可数个闭集

证明：若E＝{x|f(x)>a}＝，则E是开集，若E≠，x0E，有

证明：设F为闭集，令Gn＝{x|d (x，F)x，y0)≤d(x0，x)＋d(x0，y0)<ε＋＝n，于是d(x，F)＝infd(x，y)

yFf(x0)>a，因为f(x)在x0连续，所以>0，当xU(x0，)时，有f(x)>

111nn1集。

完备集。

GnF，所以F＝Gn 。

≤d(x，y0)为An，设[0，1]上不用数字7表示的小数的全体为E，则E＝C[(An)n1021n1n1n1n1n1Gn，有xGn(n＝1，2，…)、d(x，F)＝0，所以xF或xF。因为F是闭集。所以FF，故xF。于是11n1n1设G为开集，则CG为闭集，所以存在开集Gn，使CG＝Gn，而101n1∪(－∞，0)∪(1，＋∞)]而An，(－∞，0)，(1，＋∞)是可数个互不相交且

G＝C(CG)＝C(Gn)＝CGn，CGn为闭集，即G可表示为可数个闭集的和

第n位小数用到数字7的小数是(0.a1a2…an17，0.a1a2…an18)（其中a1，

小数用到7的小数是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。

a2，an1是0，1，2，…，9取完各种可能的n－1个数）记这些开区间的全体

证明：在[0，1]中，第一位小数用到数字7的小数是(0.7，0.8)，第二位

10、证明用十进位小数表示[0，1]中的数时，用不着数字7的一切数成一

以下证明F＝Gn。显然FGn(n＝1，2，…)，所以FGn。xn证明Pt0E 。

然有Ptn→Pt0，所以Pt0E 。

无公共端点的开区间，所以E是完备集。

103limf(xn)≠f(x0)，因而，0>0，xnk使|f(xnk)－f(x0)

因为xnk→x0，所以x0E，而f(x0)|≥0(k＝1，2，…)即f(xnk)≥f(x0)＋0或f(xnk)≤f(x0)－0，若

时,PtE。于是，对任意n，存在tn，满足t0tb2＋(1－t)a2，…，tbn＋(1－t)an)(0≤t≤1)，t0＝sup{t|PtE}。以下

Pt0E 。

E和E1都是闭集。

12、证明§2定理5 。

E＝{x|f(x)≥C}，与E1＝{x|f(x)≤C}都是闭集。

E为闭集矛盾；若f(xnk)≤f(x0)－0，则可导出与E1为闭集矛盾。

证明：因为E≠，E≠Rn，所以存在P0E，P1E，设

定理5：设E≠，E≠Rn，则E至少有一界点（即E≠）。

设E、E1为闭集，若f(x)在x0点不连续，则xn，使xn→x0，而

证明：若f(x)为[a，b]上的连续函数，用与第8题相同的方法可证明

f(xnk)≥f(x0)＋0，令C＝f(xnk)＋0，则xnkE＝{x|f(x)≥C}，

104(a1，a2，…，an)，P1＝(b1，b2，…，bn)，令Pt＝(tb1＋(1－t)a1，P0＝（2）若Pt0E，则t0≠0，存在tn，0（1）若Pt0E，则t0≠1（否则Pt0＝P1E）当t[0，1]，满足t011、证明f(x)为[a，b]上连续函数的充分必要条件是对任意实数C，集